初三数学竞赛试题
班 姓名
一、选择题
1．一条抛物线
的顶点为
，
，且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（ ）.
（A）只有
（B）只有
（C）只有
（D）只有和
|
往返跑训练．已知：甲上山的速度是a米
|
；乙
上山的速度是
a米/分，下山的速度是
2b米/分．如果甲、乙二人同时从点A出发，时间为t（分），离开点A的路程为S（米）．那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A出发后的时间t（分）与离开点A的路程S（米）之间的函数关系的是（ ）
3．已知方程
的两根之比为1∶2，判别式的值为1，则p，q的值分别是
（ ）
（A） p=1，q= 2
（B） p=3，q= 2
（C） p=
3，q= 2 （D） p=3，q=2
4．如图，在锐角△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB，
AC与D，E两点，且cosA=
，则S△ADE∶S四边形DBCE的值为
（ ）
（A） （B） 
（C） 
（D）
5．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的
距离之比为1:2. 若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，
则△CFG的面积S等于 （ ）.
（A）6 （B）8
| |
6．如果x和y是非零实数，使得
和
，7．请用计算器计算下列各式，
（A）3 （B）
（C）
（D）
二、填空题
7．请用计算器计算下列各式，
3×4，33×34，333×334，3333×3334．
根据各式中的规律，直接写出333333×333334的结果是 ．
8．如果将字母a，b，c，d，e按“aababcabcdabcdeaababcabcdabcde…”这样的方式进行排列，那么第2004个字母应该是 ．
9．已知，
（
＞0），则
．
10．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两城市间的距离d（单位：km）有
的关系(k为常数) . 现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为
次（用t表示）.
11．已知：如图，在△ABC中，BC边的长为12，且这边上的高AD的长为3，则△ABC的周长的最小值为 ．
12．实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是 .
三、解答题（共3题，每小题20分，满分60分）
13．一列客车始终作匀速运动，它通过长为450米的桥时，从车头上桥到车尾下桥共用33秒；它穿过长760米的隧道时，整个车身都在隧道里的时间为22秒. 从客车的对面开来一列长度为a米，速度为每秒v米的货车，两车交错，从车头相遇到车尾相离共用t秒.
（1）写出用a、v表示t的函数解析式；
（2）若货车的速度不低于每秒12米，且不到每秒15米，其长度为324米，求两车交错所用时间的取值范围.
14．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）. 当
时，图象是抛物线的一部分，当
和
时，图象是线段.
（1）当时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.
15．设点E、F、G、H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，且
（k是正数），求四边形EFGH的面积.
参考答案：
一、选择题
1．（A）2、（C）．3、（C）．4、（A）．5、（B）6、（D）
二、填空题
7． 333333×333334=．8、c． 9． 
10． 
11． 12+
12． 
三、解答题（共3题，每小题20分，满分60分）
13．
解：（1）设客车的速度为每秒x米，客车的长度为y米. 依题意知
解出
所以，
.
（2）当
，
时，
由（1）得
.
又因为
，所以，
.
故t的取值范围为.
14． 解：（1）当时，设抛物线的函数关系式为，由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，48），所以
解得，
，
，
.
所以
，.
（2）当
时，
.
所以，当
时，令y=36，得
，
解得x=4，
（舍去）；
当时，令 y=36，得
，解得
.
因为
，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题.
15．解：连结AC，过点G作GP∥AC交DH于点P，有
.
由已知
，则
.
于是有
，从而
.
又由于△DPG∽△DAC，我们有
，故
.
因此
.
①
同理 
.
②
①+②得
.
连结BD，同理可证
.所以
.
答：四边形EFGH的面积是
.