江苏第十八届数学竞赛试卷华师大版

江苏省第十八届初中数学竞赛试题

初三年级

　　一、选择题(每小题7分，共42分)

　　1.在直角坐标系中，若一点的纵、横坐标都是整数，则称该点为整点.设k为整数，当直线y=x-2与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取(　)

　　(A)4个　　　　　　(B)5个　　　　　　(C)6个　　　　　　(D)7个

2.如图，AB是⊙O的直径，C为AB上的一个动点(C点不与A、B重合)，

CD⊥AB，AD、CD分别交⊙O于E、F，则与AB·AC相等的一定是(　)

　　(A)AE·AD　(B)AE·ED　(C)CF·CD　 (D)CF·FD

　　3.在△ABC与△A′B′C′中，已知AB＜A′B′，BC＜B′C′，CA＜C′A′.下列结论：

　　(1)△ABC的边AB上的高小于△A′B′C′的边A′B′上的高；

　　(2)△ABC的面积小于△A′B′C′的面积；

　　(3)△ABC的外接圆半径小于△A′B′C′的外接圆半径；

　　(4)△ABC的内切圆半径小于△A′B′C′的内切圆半径.

　　其中，正确结论的个数为(　)

　　(A)0　　　　　　　(B)1　　　　　　　(C)2　　　　　　　(D) 4

　4.设，那么S与2的大小关系是(　)

　　(A)S=2　　　　　　　　　　　　　　　(B)S＜2

　　(C)S＞2　　　　　 　　　　　　　　　(D)S与2之间的大小与x的取值有关

　　5.折叠圆心为O、半径为10cm的圆纸片，使圆周上的某一点A与圆心O重合.对圆周上的每一点，都这样折叠纸片，从而都有一条折痕.那么，所有折痕所在直线上点的全体为(　)

　　(A)以O为圆心、半径为10cm的圆周　　　(B)以O为圆心、半径为5cm的圆周

　　(C)以O为圆心、半径为5cm的圆内部分　 (D)以O为圆心，半径为5cm的圆周及圆外部分

　　6.已知x，y，z都是实数，且x²+y²+z²=1，则m=xy+yz+zx(　)

　　(A)只有最大值　　　　　　　　　　　 (B)只有最小值

　　(C)既有最大值又有最小值　　　　　　 (D)既无最大值又无最小值

　　二、填空题(每小题7分，共56分)

7.如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第15行的实心圆点的个数等于______.

　　

　　8.设0.为四位十进制纯小数，a_i(i=1,2,3)只取0或1.记T是所有这些四位小数的个数 ，S是所有这些四位小数的和，则=______.

　　9.如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=5cm，然后以虚线CE(E点在AD上)为折痕，使D点落在AB边上.则AE=_____cm，∠DCE=______°.

　　10.直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=5cm，AC=4cm，则∠A的平分线AD的长为______cm.

　　

　　11.房间里有凳子(3条腿)、椅子(4条腿)若干张，每张凳子或椅子只能坐1人.一些人进来开会，只坐凳子或只坐椅子都不够坐，但每人都有椅子或凳子坐，且还有空位，已知人腿、凳腿、椅腿之和为32，则房间里共有______个人、______张凳子、______张椅子.

　　12.如图，⊙C通过原点，并与坐标轴分别交于A，D两点.已知∠OBA=30°，点D的坐标为(0,2)，则点A，C的坐标分别为A(　,　)；C(　,　).

　　13.若关于x的方程rx²-(2r+7)x+(r+7)=0的根是正整数，则整数r的值可以是______.

　　14.将2,3,4,5,…,n(n为大于4的整数)分成两组，使得每组中任意两数之和都不是完全平方数.那么，整数n可以取得的最大值是______.

　　三、解答题(每题13分，共52分)

　　15.初三(8)班尚剩班费m(m为小于400的整数)元，拟为每位同学买1本相册.某批发兼零售文具店规定：购相册50本起可按批发价出售，少于50本则按零售价出售，批发价比零售价每本便宜2元，班长若为每位同学买1本，刚好用完m元；但若多买12本给任课教师，可按批发价结算，也恰好只要m元.问该班有多少名同学？每本相册的零售价是多少元？

　　16.已知关于x的方程x²+4x+3k-1=0的两个实根的平方和不小于这两个根的积；反比例函数的图像的两个分支在各自的象限内，点的纵坐标y随点的横坐标x的增大而减小.求满足上述条件的k的整数值.

　　17.求360的所有正约数的倒数和.

　　18.如图，在△ABC中，BC=6，AC=4，∠C=45°，P为BC上的动点，过P作PD∥AB交AC于点D，连结AP，△ABP、△APD、△CDP的面积分别记为S₁，S₂，S₃，设BP=x.

　　

　　(1)试用x的代数式分别表示S₁，S₂，S₃；

　　(2)当P点位于BC上某处使得△APD的面积最大时，你能得出S₁、S₂、S₃之间或S₁、S₂、S₃两两之间的哪些数量关系(要求写出不少于3条)？

参考答案

　　 一、选择题

　　1.A　　2.A　　3.A　　4.D　　5.D　　6.C

　　二、填空题

　　7.377

　　8.0.0556

　　9.，30

　　10.

　　11.5,2,4

　　12.(,0)，(,1)

　　13.0，1或7

　　14.28

　　三、解答题

　　15.设该班共有x名同学，相册零售价每本y元.由题设，得

　　xy=(x+12)(y-2)，　　　　 ①

　　且整数x满足38＜x＜50.　　②

　　由①得12y-2x-24=0，y=+2，xy=+2x.　　③

　　由③及xy=m为整数，知整数x必为6的倍数，再由②，x只可能为42或48.

　　此时相应的y为9或10.

　　但m＜400，

　　∴x=42，y=9.

　　答：(略).

　　16.由题意，方程x²+4x+3k-1=0　　①

　　有实数根，故△=4²-4(3k-1)≥0，

　　解之，得k≤.　　②

　　设x₁，x₂为①的根，由根与系数关系知

　　x₁+x₂=-4，x₁·x₂=3k-1，

　　因≥x₁x₂，故

　　(x₁+x₂)²-3x₁x₂≥0，

　　即(-4)²-3(3k-1)≥0，

　　∴k≤.　　③

　　又由当x＞0或x＜0时，分别随x值增大而减小，知

　　1+5k＞0，即k＞-.　　④

　　综合②③④，得-＜k≤.

　　∴满足题中条件的k可取整数值为0, 1.

　　17.设正整数a的所有正约数之和为b，d₁,d₂,d₃,…,d_n为a的所有正约数从小到大的排列，于是d₁=1，d_n=a.由于

　　

　　中各分数分母的最小公倍数为d_n=a，故

　　.

　　而a=360=2³×3²×5，故

　　b=(1+2+2²+2³)×(1+3+3²)×(1+5)=1170，

　　∴360的所有正约数的倒数和为

　　.

　　18.(1)由题意知：

　　BP=x，0＜x＜6，且有，

　　故AD=·BP=x=x.

　　过P作PM⊥AC交AC于M点，过A作AN⊥BC交BC于N

点，则

　　PM=PC·sinC=(BC-PB)sin45°=(6-x)，

　　S₂=S_△APD=AD·PM=·x·(6-x)=2x-x²；

　　又AN=AC·sinC=4·sin45°=4，

　　故S₁=S_△ABP=BP·AN=2x；

　　S₃=S_△CDP=CD·PM

　　　=(AC-AD)·PM

　　　=(4-x)·(6-x)

　　　=(6-x)². 　

　　(2)因为S₂=2x-x²=3-(x-3)²，

　　　 所以当x=3时，S₂取最大值S₂=3，

　　　 此时S₁=6，S₃=3，

　　 　因此，S₁，S₂，S₃之间的数量关系有S₁=S₂+S₃，S₂=S₃，S₁=2S₂，S₁=2S₃.

　　 　(以上4个关系只要写出3个即可)