初三数学竞赛试题
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一、选择题：(每小题5分,共30分)
1．已知n是奇数，m是偶数，方程组 有整数解（x0，y0）则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（ ）
A、x0，y0均为偶数 B、x0，y0均为奇数
C、x0为偶数，y0为奇数 D 、y0为偶数，x0为奇数
2．若ab≠0,则等式 成立的条件是∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（ ）
A、a>0,b>0 B.a<0,b>0 C. a>0,b<0 D. a<0,b<0
3.设a,b,c,d都是非零实数，则-ab,ac,bd,cd∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ( )
A、都是正数 B、都是负数 C、是两正两负 D、是一正三负或一负三正
4．如果某商品进价降低5%而售价不变，利润率（利润率=
）可由目前的a%增加到（a+15）%，则a的值∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（ ）
A、185 B、175 C、155 D、145
5．若x0是一元二次方程ax2+x+c=0(a≠0)的根，则判别式△=b2-4ac与平方式M=（2ax0+b）2的大小关系是∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（ ）
A、△=M B、△>M C、△<M D、不能确定
6．用四条线段a=14，b=13，c=9，d=7作为四条边构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值是∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ （ ）
A、13．5 B、11.5 C、11 D、10.5
二、填空题(每小题5分,共30分)
7．已知
则m+n的值是 .
8.一个均匀的立方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，
5，6.右图是这个立方体的侧面展开图.抛掷这个立方体,
则朝上一面的数恰好等于朝下一面上的数的
的概率
是 .
9.己知a,b是方程x2-4x+m=0的两根，b,c是方程x2-8x+5m=0的根.m= .
10.若x1、x2都满足条件∣2x-1∣+∣2x+3∣=4,且x1<x2,则x1-x2
的取值范围是 .
11.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，
AB=2，CD=1，则BC=
.
12 ..如图，OA=
,AB=1的矩形OABC在直角坐标
系中，将矩形OABC沿OB对折，点A落在点A’，
则点A’的坐标是 .
三、解答题(每小题15分,共60分)
13. 已知关于x的方程
（1） 求证：无论k取何实数值，方程总的实数根；
（2） 若等腰三角形ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长。
14．如图，已知3个边长相等的正方形相邻并排。
求∠EBF+∠EBG.
15．城区某环城河道进行整理，如图，在C段
和D段河岸需要土方数分别为1025方和1390方，
现离河道不远有两建筑工地A和B分别需运走土
方数是781方和1584方，利用这些土先填满河岸
C段，余下的土填入河岸D段.已知每方土运费：
从A处运到C和D段分别是1元和3元；从B处
运到C段D和段，分别是0.6元和2.4元.问怎
样安排运土，才能使总费用最少，并求出总运费的值.
16．从1，2，3，┅，2004中任选k个数，使所选的k个数中，一定可以找到能构成三角形边长的3个数（这里要求三角形三边长互不相等）.试问：满足条件的k的最小值是多少？
参考答案:
一、CBDAAD；
二、7．0；由已知条件知(m+n)2+p2=0；8.
；因为只有3的对面是6，所以3在上面的概率是；9. 0或3，因为两方程有一个共公根b；10. -2≤x1-x2<0，同解不等式只能相加；11.
-2；延长AD、BC构成含300的直角三角形；
12. 过A1作x轴、y轴的垂线，利用含300的直角三角形求得（
）.
13. （1）、证明△≥0即可；
（2）、从a=6是腰或底两种情况讨论得16或22
.
14. 解法1：如图将已知3个边长相等的正方形
以BE为轴进行翻折，连结BG/，FG/，设AB=a
则有∠EBG=∠EBG/
∠EBG+∠EBF=∠EBG/+∠EBF=∠FBG/
又BG/2=a2+(2a)2=5a2
FG/2= a2+(2a)2=5a2,BF2=a2+(3a)2=10a2
所以BG/2+ FG/2= BF2
∠FBG/=450 ∠EBG+∠EBF=450.
解法2：如图连结BH，证△BHG∽△FHB
∠HBG=∠HFB, ∠HGB=∠HBF得证.
15.如图所示，设从A运到C是x方，总运费为y元，
则从A运到D是（781-x）方，从B运到C
是（1025-x）方，从B运到D是（459+x）方，
故，y=x+3（781-x）+0.6（1025-x）+2.4（459+x）(0≤x≤781)
从A运到C、D土方数分别是781、0方；
从B运到C、D土方数分别是244、1340方，
运费最少为4143.4元.
16.这一问题等价于:在1,2,┅2004中选k-1个数,
使其中任意3个数都不能成为一个三角形三边(互不相等)的长.试问满足这一条件的k的最大值是多少?
符合条件的数组中,
当k=4时,最小的3个数是1,2,3.不能构成三角形,由此可不断扩大该数组:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597共16个数,只有在这16个数中,任何三个数不能构成三角形,故n≤16≤k-1从而，k≥17.