重庆市2005年初中毕业暨高中招生统一考试
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（本卷共三大题，满分150分，考试时间120分钟）
注：未加“﹡”的为毕业考试题
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）每小题只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填入题后的括号内。
1、5的相反数是（ ）
A、－5
B、5
C、
D、
2、下列四个数中，大于－3的数是（ ）
A、－5 B、－4 C、－3 D、－2
3、已知∠A＝400，则∠A的补角等于（ ）
A、500 B、900 C、1400 D、1800
4、下列运算中，错误的是（ ）
A、
B、
C、
D、
5、函数
中自变量
的取值范围是（ ）
A、＞3 B、≥3
C、＞－3
D、≥－3
6、如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（ ）
A、4cm
B、6cm
C、8cm D、10cm
7、抛物线
的顶点坐标是（ ）
A、（－2，3） B、（2，3）
C、（－2，－3） D、（2，－3）
8、顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形
9、点A（
，
）在第三象限，则
的取值范围是（ ）
A、
B、
C、
D、
10、如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）
A、AB⊥CD B、∠AOB＝4∠ACD C、
D、PO＝PD
11﹡、为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新修建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同）一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天0点到6点（到少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图2所示，并给出以下三个论断：①0点到1点不进水，只出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只进水，不出水。则一定正确的论断是（ ）
A、①③ B、②③ C、③ D、①②③
12﹡、如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则
△DMN∶四边形ANME 等于（ ）
A、1∶5 B、1∶4 C、2∶5 D、2∶7
二、填空题：（本大题12个小题，每小题3分，共36分）请将答案直接填写在题后的横线上。
13、分解因式：
＝
。
14、计算：
＝ 。
15、受国际油价上涨的影响，某地今年四月份93号的汽油价格是每升3.80元，五月份93号的汽油价格是每升3.99元，则四月到五月93号的油价上涨的百分数是 。
16、方程
的解是
。
17、如图，在△ABC中，DE∥BC，若
，DE＝2，则BC的长为 。
18、如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为300的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80米，那么点B离水平面的高度BC的长为 米。
19、已知方程
的一个根是1，则的值是
。
20、如图，OB、OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点，若已知∠B＝200，∠C＝300，则∠A＝ 。
21、如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第
个图形中，互不重叠的三角形共有 个（用含的代数式表示）。
22、如图，水平放置的圆柱形油桶的截面半径是
，油面高为
，截面上有油的弓形（阴影部分）的面积为
。
23﹡、直线
与轴、
轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在轴上的点
处，则直线AM的解析式为 。
24、如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，P是
的中点，PD与AB交于E点，则
＝
。
三、解答题：（本大题8个小题，共66分）下列各题解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤。
25、（每小题4分，共8分）
（1）计算：
（2）化简：
26、（7分）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：∠BAE＝∠DCF。
27、（8分）据2005年5月10日《重庆晨报》报道：我市四月份空气质量优良，高居全国榜首，某校初三年级课外兴趣小组据此提出了“今年究竟能有多少天空气质量达到优良”的问题，他们根据国家环保总局所公布的空气质量级别表（见表1）以及市环保监测站提供的资料，从中随机抽查了今年1～4月份中30天空气综合污染指数，统计数据如下：
表1：空气质量级别表
| 空气污染指数 | 0～50 | 51～100 | 101～150 | 151～200 | 201～250 | 251～300 | 大于300 |
| 空气质量级别 | Ⅰ级（优） | Ⅱ级（良） | Ⅲ级1（轻微污染） | Ⅲ级2（轻度污染） | Ⅳ1（中度污染） | Ⅳ2（中度重污染） | Ⅴ（重度污染） |
空气综合污染指数
30，32，40，42，45，45，77，83，85，87，90，113，127，153，167
38，45，48，53，57，64，66，77，92，98，130，184，201，235，243
请根据空气质量级别表和抽查的空气综合污染指数，解答以下问题：
（1）填写频率分布表中未完成的空格：
| 分组 | 频数统计 | 频数 | 频率 |
| 0～50 |
| 0.30 | |
| 51～100 |
| 12 | 0.40 |
| 101～150 | |||
| 151～200 |
| 3 | 0.10 |
| 201～250 |
| 3 | 0.10 |
| 合计 | 30 | 30 | 1.00 |
（2）写出统计数据中的中位数、众数；
（3）请根据抽样数据，估计我市今年（按360天计算）空气质量是优良（包括Ⅰ、Ⅱ级的天数）。
28、（7分）随着海峡两岸交流日益增强，通过“零关税”进入我市的一种台湾水果，其进货成本是每吨0.5万元，这种水果市场上的销售量（吨）是每吨的销售价（万元）的一次函数，且
时，
；
时，
。
（1）求出销售量（吨）与每吨的销售价（万元）之间的函数关系式；
（2）若销售利润为
（万元），请写出与之间的函数关系式，并求出销售价为每吨2万元时的销售利润。
29﹡、（8分）为了解决农民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”。据统计，2004年秋季有5000名农民工子女进入主城区中小学学习，预测2005年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女将比2004年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样，2005年秋季将新增1160名农民工子女在主城区中小学学习。
（1）如果按小学每生每年收“借读费”500元，中学每生每年收“借读费”1000元计算，求2005年新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”？
（2）如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，若按2005年秋季入学后，农民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需要配备多少名中小学教师？
30﹡、（8分）如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D是⊙O上的一点，DE⊥AB于点E，且DE的延长线分别交AC、⊙O、BC的延长线于F、M、G。
（1）求证：AE·BE＝EF·EG；
（2）连结BD，若BD⊥BC，且EF＝MF＝2，求AE和MG的长。
31﹡、（10分）已知抛物线
与轴交于A、B两点，且点A在轴的负半轴上，点B在轴的正半轴上。
（1）求实数
的取值范围；
（2）设OA、OB的长分别为
、
，且∶＝1∶5，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，以AB为直径的⊙D与轴的正半轴交于P点，过P点作⊙D的切线交轴于E点，求点E的坐标。
32﹡、（10分）已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设＝PM·PE，＝PN·PF，解答下列问题：
（1）当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断与的大小关系，并说明理由；
（2）当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，设
，是否存在这样的实数，使得
？若存在，请求出满足条件的所有的值；若不存在，请说明理由。
重庆市2005年初中毕业暨高中招生统一考试
数学试题参考答案及评分意见
一、选择题：
1、A 2、D 3、C 4、B 5、B 6、C
7、B 8、A 9、C 10、D 11、C 12、A
二、填空题：
13、
；14、2；15、5%；16、
；17、6；18、40；19、6；
20、500；21、
；22、
；23、
；24、
三、解答题：
25、解；（1）原式＝
……………………………………………（2分）
＝
…………………………………………………………（3分）
＝
…………………………………………………………………（4分）
（2）原式＝
……………………………………………（1分）
＝
……………………………………………………（3分）
＝
………………………………………………………………（4分）
26、证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD且AB＝CD……………………………………………………（2分）
∴∠ABE＝∠CDF……………………………………………………………（3分）
又∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴∠AEB＝∠CFD＝900……………………………………………………（4分）
∴Rt△ABE≌Rt△CDF………………………………………………………（6分）
∴∠BAE＝∠DCF……………………………………………………………（7分）
27、解：（1）9，
，3，0.10…………………………………………………………（2分）
（2）中位数是80，众数是45………………………………………………（6分）
（3）∵
（天）
∴估计我市今年空气质量是优良的天数有252天……………………（8分）
28、（1）设
∵已知时，；时，
∴
………………………………………………………………（2分）
∴
…………………………………………………………………………（3分）
∴函数关系式为
……………………………………………………（4分）
（2）∵由已知
…………………………………………………………………………（6分）
当
时，
故此时的销售利润是1.5万元………………………………………………（7分）
29、（8分）
解：（1）设2004年秋季在主城区小学学习的农民工子女有人，在主城区中学学习的农民工子女有人，由题意可得：…………………………………………………（1分）
……………………………………………………（3分）
解得
∴
，
∴500×680＋1000×480＝820000（元）＝82（万元）
答：共免收82万元（或820000元）“借读费”。……… …………………（5分）
（2）2005年秋季入学后，在小学就读的学生有
（名），在中学就读的学生有
（名）………………………………（6分）
∴
（名）
答：一共需要配备360名中小学教师…………………………………………（8分）
30、证明：（1）∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB
∴∠ACB＝∠BEG＝∠AEF＝900
∴∠G＋∠B＝∠A＋∠B＝900
即∠G＝∠A……………………………………………………………（2分）
∴Rt△AEF∽Rt△GEB
∴
，即
……………………………（4分）
（2）∵DE⊥AB
∴DE＝EM＝4
连结AD，∵AB是⊙O的直径，BD⊥BC
∴∠ACB＝∠ADB＝∠DBC＝900
∴∠DAF＝900
由Rt△AEF∽Rt△ADE可得
∴
………………………………………………………（6分）
由相交弦定理可得
∴
∴
∴MG＝EG－EM＝8－4＝4…………………………………………（8分）
31、（1）设点A（
，0），B（
，0）且满足＜0＜
由题意可知
，即
………………………………（3分）
（2）∵∶＝1∶5，设
，即
则
，即
，
…………………………………………（4分）
∴
，即
∴
，即
，解得
，
（舍去）…（6分）
∴
∴抛物线的解析式为
……………………………………（7分）
（3）由（2）可知，当
时，可得
，
即A（－1，0），B（5，0）…………………………………………………（8分）
∴AB＝6，则点D的坐标为（2，0）
当PE是⊙D的切线时，PE⊥PD
由Rt△DPO∽Rt△DEP可得
即
∴
，故点E的坐标为（
，0）……………………………（10分）
32、解：（1）∵ABCD是矩形，MN∥AD，EF∥CD
∴四边形PEAM、PNCF也均为矩形……………………………（1分）
∴＝PM·PE＝
，＝PN·PF＝
又∵BD是对角线
∴△PMB≌△BFP，△PDE≌△DPN，△DBA≌△DBC…………（2分）
∵
，
∴＝
∴
………………………………………………………………（3分）
（2）成立，理由如下：
∵ABCD是平行四边形，MN∥AD，EF∥CD
∴四边形PEAM、PNCF也均为平行四边形
仿（1）可证
过E作EH⊥MN于点H，则
∴
………………（5分）
同理可得
又∵∠MPE＝∠FPN＝∠A………………………………………………（6分）
∴
∴PM·PE＝PN·PF，即………………………………………（7分）
（3）方法1：存在，理由如下：
由（2）可知
，
∴
…………………（8分）
又∵，即
，
而
，
∴
即
…………………………………………………（9分）
∴
，
故存在实数
或
，使得………………（10分）
方法2：存在，理由如下：
连结AP，设△PMB、△PMA、△PEA、△PED的面积分别为
、
、
、
，即
，
………………………………………（8分）
即
∴
∴
即
∴…………………………………………………（9分）
∴，
故存在实数或，使得…………………（10分）