湖北省荆门市2005年初中升学考试
数 学 试 题
（总分120分，考试时间120分钟）
一、选择题、（本大题有10个小题，每小题2分，共20分）
1.下列计算结果为负数的是（ ）
A、（－3）0 B、－｜－3｜ C、（－3）2 D、（－3）－2
2. 下列计算正确的是（ ）
A、a2·b3＝b6 B、(－a2)3＝a6 C、（ab）2＝ab2 D、（－a）6÷（－a）3＝－a3
3.如果代数式
有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
4.用一把带有刻度的直角尺，⑴可以画出两条平行线；⑵可以画出一个角的平分线；⑶可以确定一个圆的圆心.以上三个判断中正确的个数是（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
5.一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的长度为y(cm)与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（ ）
6.在的Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝
，则tanA＝ （ ）
A、
B、
C、
D、 24
7.有一张矩形纸片ABCD，AB＝2.5，AD＝1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AC与BC交于点F（如下图），则CF的长为（ ）
A、0.5 B、0.75 C、1 D、1.25
8.钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角为 （ ）
A、90° B、82.5° C、67.5° D、60°
9.已知PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10cm，PB＝5cm，则⊙O的半径长为（ ）
A、 15cm B、10 cm C、7.5 cm D、5 cm
10.参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表.某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1000元，那么此人住院的医疗费是（ ）
| 住院医疗费（元） | 报销率（%） |
| 不超过500元的部分 | 0 |
| 超过500～1000元的部分 | 60 |
| 超过1000～3000元的部分 | 80 |
| …… |
A、1000元 B、1250元 C、1500元 D、2000元
二、真空题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，请将答案直接填写在题后的横线上）
11.在数轴上，与表示－1的点距离为3的点所表示的数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
12.已知数据：1，2，1，0，－1，－2，0，－1，这组数据的方差为＿＿＿＿＿.
13.多项式x2＋px＋12可分解为两个一次因式的积，整数p的值是＿＿＿＿＿（写出一个即可）
14.某音像公司对外出租光盘的收费方法是：每张光盘出租后的前2天每天收费0.8元，以后每天收费0.5元，那么一张光盘在出租后第n天（n＞2且为整数）应收费＿＿＿＿＿元.
15.不等式组
的解集为＿＿＿＿＿＿＿.
16.如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3＝＿＿＿＿＿＿＿.
17.在平面直角坐标系中，入射光线经过y轴上点A（0，3），由x轴上点C反射，反射光线经过点B（－3，1），则点C的坐标为＿＿＿＿＿.
18.农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房（如图所示）则需塑料布y(m2)与半径R(m)的函数关系式是（不考虑塑料埋在土里的部分）＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
19.已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋
＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.
20.在一次主题为“学会生存”的中学生社会实践活动中，春华同学为了锻炼自己，他通过了解市场行情，以每件6元的价格从批发市场购进若干件印有2008北京奥运标志的文化衫到自由市场去推销，当销售完30件之后，销售金额达到300元，余下的每件降价2元，很快推销完毕，此时销售金额达到380元，春华同学在这次活动中获得纯收入＿＿＿＿＿元.
三、解答题（本大题有8个小题，共70分）
21.（本题满分6分）先化简后求值：
其中x＝2
22.（本题满分6分）
为了测量汉江某段河面的宽度，秋实同学设计了如下图所示的测量方案：先在河的北岸选一定点A，再在河的南岸选定相距a米的两点B、C（如图），分别测得∠ABC＝α，∠ACB＝β，请你根据秋实同学测得的数据，计算出河宽AD.（结果用含a和含α、β的三角函数表示）
23.（本题满分8分）
青少年视力水平的下降已经引起全社会的关注，某校为了了解初中毕业年级500名学生的视力情况，从中抽查了一部分学生视力，通过数据处理，得到如下频率分布表和频率分布直方图：
| 分 组 | 频 数 | 频 率 |
| 3.95～4.25 | 2 | 0.04 |
| 4.25～4.55 | 6 | 0.12 |
| 4.55～4.85 | 25 | |
| 4.85～5.15 | ||
| 5.15～5.45 | 2 | 0.04 |
| 合 计 | 1.00 |
请你根据给出的图表回答：
⑴填写频率分布表中未完成部分的数据，
⑵在这个问题中，总体是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，样本容量是＿＿＿＿＿＿＿.
⑶在频率分布直方图中梯形ABCD的面积是＿＿＿＿＿＿.
⑷请你用样本估计总体，可以得到哪些信息（写一条即可）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
24.（本题满分8分）
已知关于x的方程
的两根是一个矩形两邻边的长.
⑴k取何值时，方程在两个实数根；
⑵当矩形的对角线长为
时，求k的值.
25.（本题满分10分）
已知，如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF
⑴求证：AB＝AC；
⑵若AC＝3cm，AD＝2cm，求DE的长.
26.（本题满分10分）
在△ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，用得到的△AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP，剪切线与拼图如图示1，仿上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示，
⑴在△ABC中，增加条件＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成矩形，剪切线与拼图画在图示2的位置；
⑵在△ABC中，增加条件＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成菱形，剪切线与拼图画在图示3的位置；
⑶在△ABC中，增加条件＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成正方形，剪切线与拼图画在图示4的位置
⑷在△ABC（AB≠AC）中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操作过程（剪切线的作法）是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
然后，沿着剪切线一刀剪切后可以拼成等腰梯形，剪切线与拼图画在图示5的位置.
27.（本题满分10分）
某校初中三年级270名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客运公司联系，他们有座位数不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多15个座位，学校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还多30个座位.
⑴求中巴车和大客车各有多少个座位？
⑵客运公司为学校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用350元，租用大客车每辆往返费用400元，学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多租一辆，所需租车费比单独租用一种车型都要便宜，按这种方案需要中巴车和大客车各多少辆？租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？
28.（本题满分12分）
已知：如图，抛物线
与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°，
⑴求m的值及抛物线顶点坐标；
⑵过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；
⑶在条件⑵下，设P为
上的动点（P不与C、D重合），连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.
湖北省荆门市2005年初中升学考试
数学参考答案及评分说明
一、选择题（每小题2分，共20分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | B | D | C | D | B | A | C | B | C | D |
二、填空题（每小题3分，共30分）
11.－4或2（答对一个得1分）；12.
；13.±7，±8，±13（写出其中一个即可，正确写出多个者不扣分，其中如有1个错误记0分）；14.0.5n＋0.6（不化简不扣分）；15.－5＜x≤－4；16.135°；17.（－
，0）；18.y＝30πR＋πR2； 19.2或
或（填对一个得1分）；20.140；
三、解答题（共70分）
21.解：原式＝
……………………2分
＝
……………………4分
当x＝2 时，原式＝
……6分
22.解法一：∵cotα＝
，∴BD＝AD·cotα ……………………2分
同理，CD＝AD·cotβ ……………………3分
∴ AD·cotα＋AD·cotβ＝a ……………………4分
∴ AD＝
（米） ……………………6分
解法二：∵tanα＝
，∴BD＝
……………………2分
同理，CD＝
……………………3分
∴＋＝a ……………………4分
∴AD＝
（米） ……………………6分
23.本题有4个小题，每小题2分，共8分）
⑴第二列从上至下两空分别填15、50；第三列从上至下两空分别填0.5、0.3（每空0.5分） …………………………………………2分
⑵500名学生的视力情况，50（每空1分）………………………………2分
⑶0.8 ………………………………2分
⑷本题有多个结论，只要是根据频率分布表或频率分布直方图的有关信息，并且用样本估计总体所反映的结论都是合理的.例如，该校初中毕业年级学生视力在4.55～4.85的人数最多，约250人；该校初中毕业年级学生视力在5.15以上的与视力在4.25以下的人数基本相等，各有20人左右等. ………………………………2分
24.解⑴ 要使方程有两个实数根，必须△≥0，
即
≥0 ………………………………1分
化简得：2k－3≥0 ………………………………2分
解之得：k≥ ………………………………3分
⑵ 设矩形的两邻边长分别为a、b，则有
解之得：k1＝2，k2＝－6 ………………………………7分
由⑴可知，k＝－6时，方程无实数根，所以，只能取k＝2 ……………8分
25. ⑴ 证明：∵∠ABC＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3 ………………2分
∴∠ABC＝∠4 ………………………………3分
∴AB＝AC ………………………………4分
⑵ ∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，
∴△ABD∽△AEB ………………………………6分
∴
………………………………8分
∵AB＝AC＝3，AD＝2
∴AE＝
∴DE＝
（cm） ………………………………10分
26.解：⑴ 方法一：∠B＝90°，中位线EF，如图示2－1.
方法二：AB＝AC，中线（或高）AD，如图示2－2.
⑵ AB＝2BC（或者∠C＝90°，∠A＝30°），中位线EF，如图示3.
⑶ 方法一：∠B＝90°且AB＝2BC，中位线EF，如图示4－1.
方法二：AB＝AC且∠BAC＝90°，中线（或高）AD，如图示4－2.
⑷ 方法一：不妨设∠B＞∠C，在BC边上取一点D，作∠GDB＝∠B交AB于G，过AC的中点E作EF∥GD交BC于F，则EF为剪切线.如图示5－1.
方法二：不妨设∠B＞∠C，分别取AB、AC的中点D、E，过D、E作BC的垂线，G、H为垂足，在HC上截取HF＝GB，连结EF，则EF为剪切线.如图示5－2.
方法三：不妨设∠B＞∠C，作高AD，在DC上截取DG＝DB，连结AG，过AC的中点E作EF∥AG交BC于F，则EF为剪切线.如图示5－2.
27.解：⑴设每辆中巴车有座位x个，每辆大客车有座位（x＋15）个，依题意有
………………………………2分
解之得：x1＝45，x2＝－90（不合题意，舍去）…………3分
答：每辆中巴车有座位45个，每辆大客车有座位60个。 ……4分
⑵解法一：
①若单独租用中巴车，租车费用为
×350＝2100（元） ……5分
②若单独租用大客车，租车费用为（6－1）×400＝2000（元）……6分
③设租用中巴车y辆，大客车（y＋1）辆，则有
45y＋60（y＋1）≥270 …………………………………………7分
解得y≥2，当y＝2时，y＋1＝3，运送人数为45×2＋60×3＝270合要求
这时租车费用为350×2＋400×3＝1900（元） ………………9分
故租用中巴车2辆和大客车3辆，比单独租用中巴车的租车费少200元，比单独租用大客车的租车费少100元.………………………10分
解法二：①、②同解法一
③设租用中巴车y辆，大客车（y＋1）辆，则有
350y＋400（y＋1）＜2000
解得：
。故y＝1或y＝2
以下同解法一.（解法二的评分标准参照解法一酌定）
28.解：
⑴由抛物线可知，点C的坐标为（0，m），且m＜0.
设A（x1，0），B（x2，0）.则有x1·x2＝3m …………………………1分
又OC是Rt△ABC的斜边上的高，∴△AOC∽△COB ∴
…………2分
∴
，即x1·x2＝－m2
∴－m2＝3m，解得 m＝0 或m＝－3
而m＜0，故只能取m＝－3 ………………………………………………3分
这时，
故抛物线的顶点坐标为（
，－4） ……………………………………4分
⑵解法一：由已知可得：M（，0），A（－，0），B（3，0），
C（0,－3），D（0， 3） ……………………………………………………5分
∵抛物线的对称轴是x＝，也是⊙M的对称轴，连结CE
∵DE是⊙M的直径，
∴∠DCE＝90°，∴直线x＝，垂直平分CE，
∴E点的坐标为（2，－3） ……………………………………………6分
∵
，∠AOC＝∠DOM＝90°，
∴∠ACO＝∠MDO＝30°，∴AC∥DE
∵AC⊥CB，∴CB⊥DE
又FG⊥DE， ∴FG∥CB ……………………………………………7分
由B（3，0）、C（0，－3）两点的坐标易求直线CB的解析式为：
y＝
－3 ……………………………………………8分
可设直线FG的解析式为y＝＋n，把（2，－3）代入求得n＝－5
故直线FG的解析式为y＝－5 …………………………………9分
解法二：令y＝0，解
－3＝0得
x1＝－，x2＝3
即A（－，0），B（3，0）
根据圆的对称性，易知：：⊙M半径为2， M（，0）
在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，OB＝3，，OC＝3
∴∠CBO＝30°，同理，∠ODM＝30°。
而∠BME＝∠DMO，∠DOM＝90°，∴DE⊥BC
∵DE⊥FG， ∴BC∥FG
∴∠EFM＝∠CBO＝30°
在Rt△EFM中，∠MEF＝90°，ME＝2，∠FEM＝30°，
∴MF＝4，∴OF＝OM＋MF＝5，
∴F点的坐标为（5，0）
在Rt△OFG中，OG＝OF·tan30°＝5×
＝5
∴G点的坐标为（0，－5）
∴直线 FG的解析式为y＝－5 （解法二的评分标准参照解法一酌定）
⑶解法一：
存在常数k＝12，满足AH·AP＝12 …………………………10分
连结CP
由垂径定理可知
，
∴∠P＝∠ACH
（或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO）
又∵∠CAH＝∠PAC，
∴△ACH∽△APC
∴
即AC2＝AH·AP ………………………………………11分
在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋OC2＝（）2＋32＝12
（或利用AC2＝AO·AB＝×4＝12
∴AH·AP＝12 …………………………………………………12分
解法二：
存在常数k＝12，满足AH·AP＝12
设AH＝x，AP＝y
由相交弦定理得HD·HC＝AH·HP
即
化简得：xy＝12
即 AH·AP＝12 （解法二的评分标准参照解法一酌定）
