2005年临沂市中考试题（非课改实验区用）
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至12页，满分120分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共42分）
注意事项：
1、答第Ⅰ卷前考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上。
3、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1、
的绝对值是
A、3 B、 C、
D、
2、2004年临沂市的国民生产总值为1012亿元，用科学记数法表示正确的是
A、1012×108元
B、1.012×1011元
C、1.0×1011元
D、1.012×1012元
3、下我各式计算正确的是
A、(a5)2=a7 B、
C、3a2•2a3=6a6 D、a8÷a2=a6
4、如图，将两根钢条AA’、BB’的中点O连在一起，使AA’、BB’可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A’B’的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OAB的理由是
A、边角边。
B、角边角。
C、边边边。
D、角角边。
5、两圆半径分别为8和3，外公切线长为9，则两圆的位置关系是
A、内切 B、相交
C、外切 D、外离
6、化简
•
的结果是
A、1 B、5
C、2a＋1 D、2a＋5
7、如图，顺次连结圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD=10，DF=4，则菱形ABCD的边长为
A、
B、
C、6
D、9
8、把45ab2－20a因式分解的结果是
A、5ab(9b－4)
B、5a(9b2－4)
C、5a(3b－2)2
D、5a(3b＋2)(3b－2)
9、凸n边形的内角中，锐角的个数最多有
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
10、如图，已知点A的坐标为（1，0），点B在直线y＝－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为
A、（0，0）
B、（
，
）
C、（
，
）
D、（，）
11、解分式方程
时，设
，则原方程可化为
A、
B、
C、
D、
12、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为
A、60° B、120°
C、60°或150° D、60°或120°
13、用配方法将二次函数
写成形如
的形式，则m、n的值分别是
A、
B、
C、
D、
14、已知△ABC，
⑴如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°
∠A；
⑵如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°－∠A；
⑶如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°－∠A。
上述说法下确的个数是
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
2005年临沂市中考试题（非课改实验区用）
数 学
第Ⅱ卷（非选择题 共78分）
注意事项：
1、第Ⅱ卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。
2、答卷前将密封线内的项目及座号填写清楚。
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）把答案填在题中横线上。
15、关于x的不等式3x―2a≤―2的解集如图所示，则a的值是 。
16、如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为
cm2（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）。
17、若圆周角α所对弦长为sinα，则此圆的半径r为 。
18、请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且其两根互为倒数
19、判断一个整数能否被7整除，只需看去掉一节尾（这个数的末位数字）后所得到的数与此一节尾的5倍的和能否被7整除，如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除，如126，去掉6后得12，12+6×5=42，42能被7整除，则126能被7整除，类似地，还可通过看去掉该数的一节尾后与此一节尾的n倍的差能否被7整除来判断，则n= （n是整数，且1≤n<7）。
三、开动脑筋，你一定能做对！
20、（本小题满分6分）
为了了解家庭日常生活消费情况，小亮记录了他家一年中7周的日常生活消费费用，数据如下（单位：元）：
230 195 180 250 270 455 170
请你用统计初步的知识，计算小亮家平均每年（每年按52周计算）的日常生活消费总费用。
21、（本小题满分7分）
李明家和陈刚家都从甲、乙两供水点购买同样的一种桶装矿泉水，李明家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了10桶和6桶，共花费51元；陈刚家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了8桶和12桶。且在乙供水点比在甲供水点多花18元钱。若只考虑价格因素，通过计算说明到哪家供水点购买这种桶装矿泉水更便宜一些？
22、（本小题满分8分）
如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连结AC、AE和CE，CE和AD相交于点F。
求证：△ACE为等边三角形。
四、认真思考，你一定能成功！
23、（本小题满分9分）
如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BC的延长线于点P，交AD的延长线于点E，若AD=5，AB=6，BC=9。
⑴求DC的长；
⑵求证：四边形ABCE是平行四边形。
24、（本小题满分10分）
某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具休数据如下表：
| 年 度 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 |
| 投入技改资金x（万元） | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
| 产品成本y（万元/件） | 7.2 | 6 | 4.5 | 4 |
⑴请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
⑵按照这种变化规律，若2005年已投入技改资金5万元。
①预计生产成本每件比2004年降低多少万元？
②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）？
五、相信自己，加油呀！
25、（本小题满分10分）
△ABC中，BC
，AC
，AB
，若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则
，若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想
与
的关系，并证明你的结论。
26、（本小题满分13分）
如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（2，0），且其面积为8。
⑴求此抛物线的解析式；
⑵如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R。
①求证：PB=PS；
②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点A、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由。
2005年临沂市中考试题（非课改实验区用）
数学试题参考答案及评分标准
注：第三、四、五题给出了一种解法或两种解法，考生若用其它解法，应参照本评分标准给分。
一、选择题（每小题3分，共42分）
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 答 案 | A | B | D | A | B | B | D | D | C | C | A | D | B | C |
二、填空题（每小题3分，共15分）
15、 16、300π 17、
18、答案不唯一，需满足
且
且△≥0 19、2
三、开动脑筋，你一定能做对！（共21分）
20、解：由题中7周的数据，可知小亮家平均每周日常生活消费的费用为：
（元）……………4分
∴小亮家每年日常生活消费总费用为：
250×52=23000（元）
答：小亮家平均每年的日常生活消费总费用约为13000元。………………………6分
21、解：设这种矿泉水在甲、乙两处每桶的价格分别为x、y元， ………………1分
根据题意，得
……………………………………………………………4分
解这个方程组，得
…………………………………………………………………6分
∵3.5>3，∴到甲供水点购买便宜一些。
答：到甲供水点购买便宜一些。………………………………………………………7分
22、证明：∵△OAB和△OCD为等边三角形，
∴CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°，…………………………1分
∵四边形ODEB是平行四边形，
∴OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO
∴CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE。 ………………………………3分
∴△ABE≌△EDC …………………………………………………………4分
∴AE=CE，∠AEB=∠ECD ……………………………………………5分
∵BE∥AD
∴∠AEB=∠EAD
∴∠EAD=∠ECD
在△AFE和△CFD中
又∵∠AFE=∠CFD
∴∠AEC=∠ADC=60°……………………………………………………7分
∴△ACE为等边三角形……………………………………………………7分
四、认真思考，你一定能成功！（共19分）
23、⑴解：∵AD∥BC
∴AB＝DC
∴DC=AB=6 ………………………………………………………………2分
⑵证明：∵AD∥BC，
∴∠EDC=∠BCD
又∵PC与⊙O相切
∴∠ECD=∠DBC
∴△CDE∽△BCD …………………………………………………………4分
∴
∴DE
……………………………………………………6分
∴AE=AD+DE=5+4=9 ………………………………………………………7分
∴AE
BC
∴四边形ABCE是平行四边形。……………………………………………9分
24、⑴解：设其为一次函数，解析式为
当
时，
；当
时，
解得 
∴一次函数解析式为
把
时，
代入此函数解析式
左边≠右边。
∴其不是一次函数。
同理，其也不是二次函数。 ……………………………………………3分
（注：学生如用其它合理的方式排除以上两种函数，同样得3分）
设其为反比例函数，解析式为
当
时，
可得
，得
∴反比例函数为
……………………………………………5分
验证：当时，
，符合反比例函数。
同理可验证：时，；
时，
成立。
∴可用反比例函数表示其变化规律。……………………………6分
⑵解：①当
万元时，
…………………………………………7分
∵
（万元）
∴生产成本每件比2004年降低0.4万元。…………………………………8分
②当
时，
，得
………………………………9分
∵
（万元）
∴还需投入0.63万元。……………………………………………………10分
五、相信自己，加油呀！（共23分）
25、解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2 ……………………………………1分
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2<c2 ……………………2分
当△ABC是锐角三角形时，
证明：过点A作AD⊥CB，垂足为D。设CD为x，则有DB=a－x ………………3分
根据勾股定理得 b2－x2＝c2―(a―x) 2
即 b2－x2＝c2―a2＋2ax―x 2
∴a2＋b2＝c2＋2ax ………………………………………………………………5分
∵a>0，x>0
∴2ax>0
∴a2+b2>c2 ………………………………………………………………………6分
当△ABC是钝角三角形时，
证明：过点B作BDAC，交AC的延长线于点D。
设CD为x，则有DB2=a2－x2 ……………………………………………7分
根据勾股定理得 (b＋x)2＋a2―x 2＝c2
即 b2＋2bx＋x2＋a2―x 2＝c2
∴a2＋b2＋2bx＝c2 …………………………………………………………9分
∵b>0，x>0
∴2bx>0
∴a2+b2<c2 …………………………………………………………………10分
26、⑴解：方法一：
∵B点坐标为（0，2），
∴OB=2。
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF=4
∴C点坐标为（－2，2），F点坐标为（2，2）……………………1分
设抛物线的解析式为
其过三点A（0，1），C（－2，2），F（2，2）
得 
……………………………………………2分
解这个方程组，得 
∴此抛物线的解析式为
………………………………3分
方法二：
∵B点坐标为（0，2）
∴OB=2
∵矩形CDEF面积为8
∴CF=4
∴C点坐标为（－2，2） ……………………………………………1分
根据题意可设抛物线解析式为
其过点A（0，1）和C（－2，2）
得 
…………………………………………………2分
解这个方程组，得 
∴此抛物线的解析式为 ………………………………3分
⑵解：
①过点B作BN⊥PS，垂足为N
∵P点在抛物线上，可设P点坐标为（a，
）
∴PS
，OB=NS=2，BN=a
∴PN=PS－NS
……………………………………………5分
在Rt△PNB中，
∴PB=PS …………………………………………………6分
②根据①同理可知BQ=QR
∴∠1=∠2
又∵∠1=∠3
∴∠2=∠3
同理 ∠SBP=∠5 ………………………………………………………7分
∴ 2∠5＋2∠3＝180°
∴ ∠5＋∠3＝90°
∴ ∠SBR＝90°
∴△SBR为直角三角形………………………………………………………8分
③方法一：
设PS，QR
∴由①知 PS=PB，QR=QB，PQ
∴SR2＝(b＋c) 2―(b―c) 2
∴ SR
……………………………………………………………9分
假设存在点M，且MS
，则MR
若使△PSM∽△MRQ
则有 
即 
∴ 
∵SR
∴M点为SR的中点 …………………………………………………11分
若使△PSM∽△QRM
则有 
∴ 
∴ 
∴M点即为原点O
综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；当点M为原点时，
△PSM∽△QRM ………………………………………………………13分
方法二：
若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，
∵∠PSM＝∠MRQ=90°
∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况
当△PSM∽△MRQ时，∠SPM＝∠RMQ，∠SMP＝∠RQM
由直角三角形两锐角互余性质，知∠SMP＋∠RMQ=90°
∴∠PMQ=90°………………………………………………………………9分
取PQ中点为N，连结MN，则MN
…………10分
∴MN为直角梯形SRQP的中位线
∴点M为SR的中点 ………………………………………………………11分
当△PSM∽△QRM时，
又
∴ 
，即M点与点O重合
∴点M为原点O
综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；当点M为原点时，
△PSM∽△QRM ……………………………………………………………13分