2005年大连市初中毕业升学统一考试
数 学（课改地区）
本试卷满分150分。考试时间120分钟。
一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）
说明：下面各题都给出代号为A、B、C、D的四个答案，请把唯一正确的答案代号填到题后的括号内。
1．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ）
A、（2，1） B、（2，－1） C、（－2，1） D、（－2，－1）
2．下列各式运算正确的是（ ）
A、
B、
C、
D、
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则sinB的值是（ ）
A、
B、
C、
D、
4．已知两圆的半径分别为1和4，圆心距为3，则两圆的位置关系是（ ）
A、外离 B、外切 C、相交 D、内切
5．张华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为（ ）
A、3.2米 B、4.8米 C、5.2米 D、5.6米
6．要调查某校初三学生周日的睡眠时间，选取调查对象最合适的是（ ）
A、
选取一个班级的学生
B、选取50名男生
C、选取50名女生 D、随机选取50名初三学生
7．如图1，A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC＝40°，则
∠ABC的度数是（ ）
A、10° B、20° C、40° D、80°
8．图2是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处），
则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
 | |||
 | |||
A B
 | |||
 | |||
C D
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
说明：将下列各题结果填到题后的横线上。
9．如果水位上升1.2米，记作＋1.2米，那么水位下降0.8米记作_______米。
10．方程
的解为________。
11．若点（2，1）在双曲线
上，则k的值为_______。
12．甲、乙两班各有45人，某次数学考试成绩的中位数
分别是88分和90分，若90分及90分以上为优秀，则优秀
人数多的班级是____________。
13．如图3，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，且
AB＝AC，则∠C的度数是____________。
14．如图4，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，
若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积是________。
三、解答题（本题共5小题，其中15、16题各8分，17、18题
各9分，19题10分，共44分）
15．已知
，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论x为何值，y的值不变。
16．如图5，AB∥CD，AB＝CD，点B、E、F、D在一条直线
上，∠A＝∠C，求证：AE＝CF。
说明：证明过程中要写出每步的证明依据
17．某企业的年产值在两年内从1000万元增加到1210万元，求平均每年增长的百分率。
18．为了解某中学男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得到的数据整理后，画出频数分布直方图（如图6），图中从左到右依次为第1、2、3、4、5组。
（1）求抽取了多少名男生测量身高。
（2）身高在哪个范围内的男生人数最多？（答出是
第几小组即可）
（3）若该中学有300名男生，请估计身高为170cm
及170cm以上的人数。
19．在数学活动中，小明为了求
的值（结果用n表示），设计如图7－1所示的几何图形。
（1）请你利用这个几何图形求
的值为__________。
（2）请你利用图7－2，再设计一个能求
的值的几何图形。
四、解答题（本题共4小题，其中20、21题各7分，22、23题各8分，共30分）
20．有一个抛两枚硬币的游戏，规则是：若出现两个正面，则甲赢；若出现一正一反，则乙赢；若出现两个反面，则甲、乙都不赢。
（1） 这个游戏是否公平？请说明理由；
（2） 如果你认为这个游戏不公平，那么请你改变游戏规则，设计一个公平的游戏；如果你认为这个游戏公平，那么请你改变游戏规则，设计一个不公平的游戏。
21．如图8，△ABC和△A’B’C’关于直线MN对称，
△A’B’C’和△A’’B’’C’’关于直线EF对称。
（1） 画出直线EF；
（2） 直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB’’
与直线MN、EF所夹锐角α的数量关系。
22．如图9－1、9－2、9－3、…、9－n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON。
 | |||||
 | |||||
 | |||||
（1）求图9－1中∠MON的度数；
（2）图9－2中∠MON的度数是_________，图9－3中∠MON的度数是_________；
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）。
 |
23．甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示：
| 速度x（千米/小时） | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
| … |
| 刹车距离y（米） | 0 |
| 2 |
| 6 | … |
25
（1） 请用上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，
|
速度x（千米/时）的函数图象，并求函数的解析式。
（2）在一个限速为40千米/时的弯路上，甲、乙两车相向
而行，同时刹车，但还是相撞了。事后测得甲、乙两车的
刹车距离分别为12米和10.5米，又知乙车的刹车距离y（米）与速度x（千米/时）满足函数
，请你就两车的速度方面分析相撞的原因。
 |
24．已知A1、A2、A3是抛物线
上的三点，
A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、
B3，直线A2B2交线段A1A3于点C。
（1） 如图11－1，若A1、A2、A3三点的横坐标依次
为1、2、3，求线段CA2的长。
（2）如图11－2，若将抛物线改为抛物线
，A1、A2、A3三点的横坐标为连续
整数，其他条件不变，求线段CA2的长。
（3）若将抛物线改为抛物线
，
A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，
请猜想线段CA2的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）。
25．如图12，P是y轴上一动点，是否
存在平行于y轴的直线x＝t，使它与直线
y＝x和直线
分别交于点D、E
（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三
角形。若存在，求t的值及点P的坐标；
若不存在，请说明原因。
 |
26．如图13－1，操作：把正方形CGEF的对角线
CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），
取线段AE的中点M。
探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题
的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求
至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，
可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，
完成你的证明。
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得
7分；选取③完成证明得5分。
① DM的延长线交CE于点N，且AD＝NE；
② 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图13－2），
其他条件不变；③在②的条件下且CF＝2AD。
附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后
（如图13－3），其他条件不变。探究：线段MD、
MF的关系，并加以证明。
2005年大连市初中毕业升学统一考试
数学参考答案及评分标准（课改地区）
一、 选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1． C;2.D;3.A;4.D;5.B;6.D;7.B;8.C。
二、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
9．－0.8；10。x＝1；11。2；12。乙班；13。45°；14。2π
三、 解答题（本题共5小题，其中15、16题各8分，17、18小题各9分，19题10分，共44分）
15．解：∵
＝
…………………………………………3分
＝
…………………………………………5分
＝
…………………………………………………………………6分
＝1…………………………………………………………………………7分
所以，在右边代数式有意义的条件下，不论x为何值，y的值不变。……8分
16．证明：方法一：∵AB∥CD，………………………………………………………1分
∴∠B＝∠D（两直线平行，内错角相等）………………………3分
又∵AB＝CD，∠A＝∠C，…………………………………………4分
∴△ABE≌△CDF（ASA）。………………………………………6分
∴AE=CF（全等三角形对应边相等）。……………………………8分
方法二：连结AD、BC。
∵AB∥CD，AB＝CD，……………………………………………1分
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∴AD∥BC，AD＝BC（平行四边形对边平行且相等）
∠BAD＝∠DCB（平行四边形对角相等）。……………………2分
∴∠CBF＝∠ADE（两条直线平行，内错角相等）。……………3分
又∵∠BAE＝∠DCF，∴∠EAD=∠FCB。…………………………4分
∴△AED≌△CFB（ASA）…………………………………………6分
∴AE=CF（全等三角形对应边相等）……………………………8分
17．解：设平均每年增长的百分率为x。………………………………………………1分
根据题意，得1000（1＋x）2＝1210……………………………………………5分
，……………………………………………………6分
解这个方程，得x1＝0.1＝10％，x2＝－2.1。………………………………………7分
由于增长率不能为负数，所以x＝－2.1不符合题意，因此符合本题要求的x为
0.1＝10％………………………………………8分
答：平均每年增长的百分率为10％…………………………………………………9分
18．解：（1）6＋10＋16＋12＋6＝50（名）。……………………………………………2分
答：抽取了50名男生测量身高。………………………………………………3分
（2）3．……………………………………………………………………………5分
（3）
…………………………………………………………7分
300×0.36＝108（名）………………………………………………………8分
估计身高为170cm及170cm以上的人数为108名。…………………………9分
19．解：（1）
。………………………………………………………………………4分
（2）如图1－1或如图1－2或如图1－3或如图1－4等，图形正确。……10分
 |
四、 解答题（本题共4小题，其中20、21题各7分，22、23题各8分，共30分）
20．解：（1）不公平。……………………………………………………………………1分
因为抛掷两枚硬币，所有机会均等的结果为：
正正，正反，反正，反反。……………………………………………………2分
所以出现两个正面的概率为
，………………………………………………3分
出现一正一反的概率为
。………………………………………………4分
因为二者概率不等，所以游戏不公平。………………………………………5分
（2） 游戏规则一：若出现两个相同面，则甲赢；若出现一正一反（一反一 正），则乙赢……………………………………………………………………7分
游戏规则二：若出现两个正面，则甲赢；若出现两个反面，则乙赢；若出现一正一反，则甲、乙都不赢。……………………………………………7分
21．解：（1）如图2，连结B’B’’。 ………1分
作线段B’B’’的垂直平分线EF。………2分
则直线EF是△A’B’C’和△A’’B’’C’’的对称轴。…3分
（3） 结B’O。
∵△ABC和△A’B’C’关于MN对称，
∴∠BOM=∠B’OM………………………………………………………………5分
又∵△A’B’C’和△A’’B’’C’’关于EF对称，
∴∠B’OE＝∠B’’OE。……………………………………………………………6分
∴∠BOB’’=∠BOM+∠B’OM+∠B’OE+∠B’’OE
=2（∠B’OM＋∠B’OE）
＝2α。
即∠BOB’’＝2α…………………………………………………………………6分
22．解：（1）法一：连结OB、OC。
∵正△ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN＝30°，
∠BOC=120°。………………………1分
又∵BM=CN，OB=OC，∴△OBM≌△OCN。……………………2分
∴∠BOM＝∠OCN。…………………………………………………3分
∴∠MON=∠BOC=120°。………………………………………4分
法二：连结OA、OB。
∵正△ABC内接于⊙O，∴AB=AC，∠OAM=∠OBN=30°,
∠AOB=120°。……………………1分
又∵BM＝CN，∴AM=BN，又∵OA=OB
∴△AOM≌△BON。……………………………………………2分
∴∠AOM=∠BON。……………………………………………3分
∴∠AON=∠AOB=120°.…………………………………………4分
（2）90°，72°．………………………………………………………………6分
（3）
。…………………………………………………………8分
23．解：（1）如图3，画图正确。………………………1分
设函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c。………2分
∵图象经过点（0，0）、（10，2）、（20，6），
∴c＝0。
∴
………………………3分
解得
………………………………4分
∴函数的解析式为
………………5分
（2）∵y＝12，∴＝12，解得x1＝30，
x2＝－40（不符合题意，舍去）………………………………………………6分
又∵y乙＝10.5，∴
，x＝42。………………………………………7分
因为乙车速度为42千米/时，大于40千米/时，
所以，就速度方面原因，乙车超速，导致两车相撞。…………………………8分
五、 解答题与附加题（本题共3小题，其中24、25题各12分，26题10分，共34分，附加题5分，但全卷累计不超过150分）
24．解：（1）方法一：∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A1B1= 
，A2B2＝
，A3B3＝
…1分
设直线A1A3的解析式为y＝kx＋b。
∴
解得
∴直线A1A2的解析式为
。
∴CB2＝2×2－
＝
…………………………………………2分
∴CA2=CB2－A2B2=－2＝
。………………………………3分
方法二：∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A1B1= ，A2B2＝，A3B3＝…1分
由已知可得A1B1 ∥A3B3，
∴CB2＝（A1B1＋A3B3）＝（＋
）＝。……………2分
∴CA2=CB2－A2B2=－2＝………………………………3分
（2） 方法一：设A1、A2、A3三点的横坐标依次n－1、n、n＋1。
则A1B1= 
，A2B2=n2－n＋1，
A3B3=(n＋1)2－（n＋1）＋1。………………………………4分
设直线A1A3的解析式为y＝kx＋b
∴
……………………………5分
解得
…………………………………………………6分
∴直线A1A3的解析式为
…………………7分
∴CB2＝n（n－1）－n2＋＝n2－n＋……………………8分
∴CA2=
CB2－A2B2=n2－n＋－n2＋n－1＝。……………9分
方法二：设A1、A2、A3三点的横坐标依次n－1、n、n＋1。
则A1B1= ，A2B2=n2－n＋1，
A3B3=(n＋1)2－（n＋1）＋1。………………………………4分
由已知可得A1B1 ∥A3B3，
∴CB2＝（A1B1＋A3B3）…………………………………………6分
= 
……7分
= 
…………………………………………………8分
∴CA2= CB2－A2B2=n2－n＋－n2＋n－1＝。……………9分
（3） 当a＞0时，CA2＝a；当a＜0时，CA2＝－a。…………………………12分
25．解：存在。
方法一：当x＝t时，y＝x＝t、当x＝t时，
。
∴E点的坐标为（t，
），D点坐标为（t，t）。……………………2分
∵E在D的上方，∴
，且t＜。……………3分
∵△PDE为等腰直角三角形，∴PE＝DE或PD=DE或PE=PD。………………4分
若t＞0，PE=DE时，
。
∴
。∴P点坐标为（0，
）。………………………………5分
若t＞0，PD=DE时，，
∴
。∴P点坐标为（0，）。………………………………………………6分
若t＞0，PE=PD时，即DE为斜边，∴
。………………………7分
∴
，∴DE的中点的坐标为（t，
），
∴P点坐标为（0，
）。………………………………………………………8分
若t＜0，PE=PD时，由已知得DE=－t，
，
t＝4＞0（不符合题意，舍去），此时直线x＝t不存在。………………………10分
若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边时，由已知得DE=－2t，
，…………………………………………………………………11分
∴
。∴P点坐标为（0，0）…………………………………12分
综上所述：当t＝时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）或
（0，）；当时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）；当t＝－4时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）。
方法二：设直线交y轴于点A，交直线y＝x于点B，过B做BM垂直于y轴，垂足为M，交DE于点N。∵x＝t平行于y轴，∴MN＝
。…1分
∵
解得
∴B点坐标为（，），
∴BM＝…………………………………………………………………………2分
当x＝0时，
，∴A点坐标为（0，2），∴OA=2。…………3分
∵△PDE为等腰直角三角形，∴PE＝DE或PD=DE或PE=PD。………………4分
如图4，若t＞0，PE=DE和PD=DE时，∴PE＝t，PD＝t，∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，∴
………5分
∴
∴t＝。
当t＝时，
。
∴P点坐标为（0，）或（0，）。…6分
若t＞0，PD=PE时，即DE为斜边，∴DE=2MN=2t。
∵DE∥OA，∴△BDE∽△BOA∴…7分
∴
,∴MN＝t＝
，
DE的中点的纵坐标为
。
∴P点的坐标为（0，）………………8分
如图5，若t＜0，PE=DE或PD=DE时，
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA∴…………9分
DE＝－4（不符合题意，舍去），此时直线x＝t不存在。…………………10分
若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边，∴DE=2MN=－2t。
∵DE∥OA，∴△BDE∽△BOA∴……………………………11分
∴
，∴MN＝4，∴t＝－4，
。
∴P点坐标为（0，0）…………………………………………………………12分
综上所述：当t＝时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）或
（0，）；当时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）；当t＝－4时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）。
26．关系是：MD=MF，MD⊥MF。
证法一：如图6，延长DM交CE于N，连结
FD、FN。
∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD=DC
∴∠1＝∠2。…………………………………1分
又∵AM=EM，∠3＝∠4，……………………2分
∴△ADM≌△ENM……………………………3分
∴AD=EN，MD=MN。…………………………4分
∵AD=DC，∴DC=NE。…………………………5分
又∵正方形CGEF，
∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°。
又∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°。
∴∠DCF=∠NEF=45°，……………………6分
∴△FDC≌△FNE。……………………7分
∴FD=FN，∠5＝∠6……………………8分
∵∠CFE＝90°，∴∠DFN＝90°。………9分
又∵DM=MN，∴MD=MF，DM⊥MF。………10分
证法二：如图7，连结AC、FD，延长DM交CE于N，连结
CM并延长交FE于H。
∵正方形ABCD，∴AD∥BE。∴∠1＝∠2。……………………………1分
∵AM=EM，∠3＝∠4，……………………………2分
∴△ADM≌△ENM………………………………………………3分
∴MD=MN。………………………………………………4分
∵AC和CE分别是正方形ABCD和CGEF的对角线，
∴∠ACB=∠FEC=45°，∠FCN＝45°，
∴AC∥EF。同理可证△ACM≌△EHM。………………………………5分
∴CM=MH。………………………………………………………………6分
∵正方形ABCD和正方形CGEF，
∴∠DCN＝∠CFH=90°，
∴MC＝MD＝MN＝MF＝MH。…………………………………………7分
∴点D、C、N、F在以点M为圆心，MD为半径的圆上，
∠FDN=∠DFM。…………………………………………………………8分
∴∠FDN＝∠FCN＝45°，∴∠FDN＝∠DFM＝45°。………………9分
∴MD=MF，DM⊥MF。………………………………………………10分
证法三：如图7，同证法二证出MC＝MD＝MN＝MF＝MH。……………………7分
∴∠MCN=∠MNC，∠MCF=∠MFC。
∵∠DMC＝∠MCN＋∠MNC=2∠MCN，
∠FMH＝∠MCF＋∠MFC＝2∠MCF。……………………8分
∴∠DMC+∠FMH=2∠MCN+∠MCF＝2（∠MCN+∠MCF）
＝2∠FCE=90°……………………………9分
∴∠DMF＝180°－90°＝90°，∴DM⊥FM。…………………10分
思路一：
∵正方形ABCD、CGEF，∴AB=BC=CD=AD，
∠B=∠BCD=∠CDA=∠BAD＝90°
CF=EF=EG=CG，∠G=∠GEF=∠EFC=∠FCG=90°，
∠FCE=∠FEC=45°……1分
∴∠DCF=∠FEC。……2分
思路二：
延长DM交CE于N。
∵正方形ABCD、CGEF，∴AD∥CE，∴∠DAM=∠NEM。……1分
又∵∠DMA＝∠NME，AM=EM，
∴△ADM≌△ENM。……2分
思路三：
∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠FEC＝45°。……1分
又∵正方形ABCD，∴∠DCF=180°－∠DCB－∠FCE＝45°，
∠DCF＝∠FEC＝45°……2分
选取条件①
证明：如图6，∵正方形ABCD∴AD∥BE，AD=DC，
∴∠1＝∠2………………………………………………………1分
∵AD=NE，∠3=∠4，
∴△ADM≌△ENM。……………………………………………2分
∴MD=MN。…………………………………………………………3分
又∵AD=DC，∴DC=NE。……………………………………………4分
又∵正方形CGEF，∴FC=FE，∠FCE=∠FEN＝45°。
∴∠FCD=∠FEN=45°。……………………………………………5分
∴△FDC≌△FNE。…………………………………………………6分
∴FD=FN，∠5＝∠6，∴∠DFN=∠CFE＝90°。………………7分
∴MD=MF，MD⊥MF。……………………………………………8分
选取条件②
证明：如图8，延长DM交FE于N。
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE
∴∠1＝∠2……………………………1分
又∵MA＝ME，∠3＝∠4
∴△AMD≌△EMN……………………2分
∴MD=MN，AD=EN。∵AD=DC，∴DC=NE。………3分
又∵FC=FE，∴FD=FN。……………………4分
又∵∠DFN=90°，∴FM⊥MD，MF=MD。……………………5分
选取条件③
证明：如图8，延长DM交FE于N。
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE
∴∠1＝∠2……………………………1分
又∵MA＝ME，∠3＝∠4
∴△AMD≌△EMN……………………2分
∴AD=EN，MD=MN，∵CF=2AD，EF=2EN，
∴FD=FN。又∵∠DFN＝90°，∴FM⊥MD，MF=MD。……………3分
附加题：
证法一：如图9，延长DM到N，
使MN=MD，连结FD、FN、EN，
延长EN与DC延长线交于点H。
∵MA=ME，∠1＝∠2，MD=MN，
∴△AMD≌△EMN
∴∠3＝∠4，AD=NE。
又∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠ADC＝90°，
∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG＝90°。
∴DC=NE。
∵∠3＝∠4，∴AD∥EH。∴∠H＝∠ADC＝90°。
∵∠G＝90°，∠5＝∠6，∴∠7＝∠8。
∵∠7＋∠DCF＝∠8＋∠FEN＝90°
∴∠DCF＝∠FEN。
∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF。
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE。∵∠CFE＝90°，∴∠DFN＝90°。
∴FM⊥MD，MF=MD。
证法二：如图9，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连结DF、FN。
∴∠ADC=∠H，∠3＝∠4。∵AM=ME，∠1＝∠2，
∴△AMD≌△EMN
∴DM=NM，AD=EN。
∵正方形ABCD、CGEF，
∴AD=DC，FC=FE，∠ADC＝∠FCG＝∠CFE＝90°，CGFE。
∴∠H＝90°，∠5=∠NEF，DC=NE。
∴∠DCF＋∠7＝∠5＋∠7＝90°
∴∠DCF＝∠5＝∠NEF。
∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF。
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE。∵∠CFE=90°，∴∠DFN＝90°。
∴FM⊥MD，MF=MD。