锦州市2004年中等学校招生考试数学试题及参考答案、评分标准
数学试题
*考试时间120分钟，试卷满分120分.
一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，将正确答案的序号填入题后的括号内.每小题2分，本题共20分)
1.下列根式不是最简二次根式的是( )
A.
B.
C.
D.
2.设方程x2+x-2=0的两个根为α，β，那么(α-1)(β-1)的值等于( )
A.-4 B.-2 C.0 D.2
3.边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是( )
A.正方形与正三角形 B.正五边形与正三角形
C.正六边形与正三角形 D.正八边形与正方形
4.如图，⊙O和⊙O′都经过点A和点B，点P在BA的延长线上，过P作⊙O的割线PCD交⊙O于C、D，作⊙O′的切线PE切⊙O′于E，若PC=4，CD=5，则PE等于( )
A.6 B.2
C.20 D.36
5.若反比例函数y=
的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则有( )
A.k≠0 B.k≠3 C.k<3 D.k>3
6.抛物线=
x2-4x+3的顶点坐标和对称轴分别是( )
A.(1,2)，x=1 B.(-1,2)，x=-1 C.(-4,-5)，x=-4 D.(4,-5)，x=4
7.已知在直角坐标系中，以点A(0,3)为圆心，以3为半径作⊙A，则直线y=kx+2(k≠0)与⊙A的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.与k值有关
8.如图，一个圆柱形笔筒，量得笔筒的高是20cm，底面圆的半径为5cm，那么笔筒的侧面积为( )
A.200cm2 B.100πcm2 C.200πcm2 D.500πcm2
9.用换元法解方程
，若设
，则原方程可化为( )
A.y2-7y+6=0 B.y2+6y-7=0 C.6y2-7y+1=0 D.6y2+7y+1=0
10.苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足s=gt2(g是不为0的常数)，则s与t的函数图象大致是( )
二、填空题(每小题2分，本题共20分)
11.函数y=
中自变量x的取值范围是_____.
12.若关于x的方程x2+5x+k=0有实数根，则k的取值范围是______.
13.圆和圆有不同的位置关系.与下图不同的圆和圆的位置关系是_____.(只填一种)
14.若点A(2,m)在函数y=x2-1的图象上，则点A关于x轴的对称点的坐标是_____.
15.方程组
的解是______.
16.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3.5cm，则此光盘的直径是_____cm.
17.如图，点A在反比例函数y=
的图象上，AB垂直于x轴，若S△AOB=4，那么这个反比例函数的解析式为_____.
18.如图，这是某市环境监测中心监测统计的2003年该市市区空气中二氧化硫各季节日均值的统计图，空气中二氧化硫含量最高的季节与最低的季节的浓度之差等于______毫克/立方米.
19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2.分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是______.
20.已知⊙O的直径为6，弦AB的长为2
，由这条弦及弦所对的弧组成的弓形的高是_____.
三、解答题(21题6分，22题8分，23题10分，本题共24分)
21.计算：
.
22.某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线(部分)表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系.观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？
答题要求：(1)请提供四条信息；(2)不必求函数的解析式.
23.某校初三学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分多少排列名次，在规定时间内每人踢100个以上(含100)为优秀.下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据(单位：个)：
|
| 1号 | 2号 | 3号 | 4号 | 5号 | 总分 |
| 甲班 | 100 | 98 | 110 | 89 | 103 | 500 |
| 乙班 | 89 | 100 | 95 | 119 | 97 | 500 |
经统计发现两班总分相等.此时有学生建议，可以通过考查数据中的其他信息作为参考.
请你回答下列问题：
(1)计算两班的优秀率；
(2)求两班比赛数据的中位数；
(3)估计两班比赛数据的方差哪一个小？
(4)根据以上三条信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级？简述理由.
四、解答题(本题共10分)
24.某乡薄铁社厂的王师傅要在长为25cm，宽为18cm的薄铁板上裁出一个最大的圆和两个尽可能大的小圆.他先画出了如下的草图，但他在求小圆半径时遇到了困难，请你帮助王师傅计算出这两个小圆的半径.
五、解答题(本题共10分)
25.一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？
六、解答题(本题共10分)
26.某食品批发部准备用10000元从厂家购进一批出厂价分别为16元和20元的甲、乙两种酸奶，然后将甲、乙两种酸奶分别加价20％和25％向外销售.如果设购进甲种酸奶为x(箱)，全部售出这批酸奶所获销售利润为y(元).
(1)求所获销售利润y(元)与x(箱)之间的函数关系式；
(2)根据市场调查，甲、乙两种酸奶在保质期内销售量都不超过300箱，那么食品批发部怎样进货获利最大，最大销售利润是多少？
七、解答题(本题共12分)
27.如图，⊙O与⊙P相交于B、C两点，BC是⊙P的直径，且把⊙O分成度数的比为1:2的两条弧，A是
上的动点(不与B、C重合)，连结AB、AC分别交⊙P于D、E两点.
(1)当△ABC是锐角三角形(图①)时，判断△PDE的形状，并证明你的结论；
(2)当△ABC是直角三角形、钝角三角形时，请你分别在图②、图③中画出相应的图形(不要求尺规作图)，并按图①标记字母；
(3)在你所画的图形中，(1)的结论是否成立？请就钝角的情况加以证明.
八、解答题(本题共14分)
28.如图，点P是x轴上一点，以P为圆心的圆分别与x轴、y轴交于A、B、C、D四点，已知A(-3,0)、B(1,0)，过点C作⊙P的切线交x轴于点E.
(1)求直线CE的解析式；
(2)若点F是线段CE上一动点，点F的横坐标为m，问m在什么范围时，直线FB与⊙P相交？
(3)若直线FB与⊙P的另一个交点为N，当点N是
的中点时，求点F的坐标；
(4)在(3)的条件下，CN交x轴于点M，求CM·CN的值.
参考答案及评分标准
(此答案仅供参考，如有其它不同答案，只要正确，可参照此标准赋分)
一、选择题
1.D 2.C 3.B 4.A 5.C 6.D 7.B 8.C 9.A 10.B
二、填空题
11.x≥-
且x≠1 12.k≤
13.内切或外切或相切 14.(2,-3)
15.
16.7
17.y=-
18.0.151
19.2-
20.3+
和3-
(注：15题写出一个解给1分，20题答对一个给1分)
三、解答题
21.解法一：原式=
……3分
=
……5分
=
……6分
解法二：原式=
=
=
=
22.(1)2月份每千克销售价是3.5元；(2)7月份每千克销售价是0.5元；
(3)1月到7月的销售价逐月下降；(4)7月到12月的销售价逐月上升；
(5)2月与7月的销售差价是每千克3元；(6)7月份销售价最低，1月份销售价最高；
(7)6月与8月、5月与9月、4月与10月、3月与11月，2月与12月的销售价相同；
答对一条给2分
(注：此题答案不唯一，以上答案仅供参考.若有其它答案，只要是根据图象得出的信息，并且叙述正确请酌情给分)
23.(1)甲班的优秀率是60％(或0.6)；乙班的优秀率是40％(或0.4)； ……2分
(2)甲班5名学生比赛成绩的中位数是100个，乙班5名学生的比赛成绩的中位数是97个； ……4分
(3)估计甲班5名学生比赛成绩的方差小； ……6分
(4)将冠军奖状发给甲班，因为甲班5人比赛成绩的优秀率比乙班高、中位数比乙班大、方差比乙班小，综合评定甲班比较好. ……10分
四、解答题
24.解法一：如图(1)连结OO1、O1O2、O2O，则△OO1O2是等腰三角形.
作OA⊥O1O2，垂足为A，则O1A=O2A. ……2分
由图可知大圆的半径是9cm.设小圆的半径为xcm，
在Rt△OAO1中，依题意，得(9+x)2=(9-x)2+(25-9-x)2. ……5分
整理，得x2-68x+256=0.解得x1=4，x2=64. ……8分
∵x2=64＞9，不合题意，舍去.∴x=4.
答：两个小圆的半径是4cm. ……10分
解法二：如图(2)设⊙O1、⊙O2与长方形的一边相切于B、C，连结OB、O1C，作O1A⊥OB，垂足为A，则△OO1A是直角三角形，以下同解法一.
五、解答题
25.解法一：过点B作BM⊥AH于M，∴BM∥AF.∴∠ABM=∠BAF=30°.
在△BAM中，AM=AB=5，BM=5. ……2分
过点C作CN⊥AH于N，交BD于K.
在Rt△BCK中，∠CBK=90°-60°=30°
设CK=x，则BK=x. ……5分
在Rt△ACN中，∵∠CAN=90°-45°=45°，
∴AN=NC.∴AM+MN=CK+KN.
又NM=BK，BM=KN.
∴x+5=5+x.解得x=5. ……8分
∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险. ……9分
答：这艘渔船没有进入养殖场危险. ……10分
解法二：过点C作CE⊥BD，垂足为E，∴CE∥GB∥FA.
∴∠BCE=∠GBC=60°.∠ACE=∠FAC=45°.
∴∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°.
又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°，
∴∠BCA=∠BAC.∴BC=AB=10.
在Rt△BCE中，CE=BC·cos∠BCE=BC·cos60°=10×=5(海里).
∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险.
答：这艘渔船没有进入养殖场的危险.
六、解答题
26.(1)解法一：根据题意，得y=16×20％·x+20×25％×
=-0.8x+2500. ……4分
解法二：y=16·x·20％+(10000-16x)·25％=-0.8x+2500.
(2)解法一：由题意知，
解得250≤x≤300.
由(1)知y=-0.8x+2500，∵k=-0.8＜0，∴y随x的增大而减小.
∴当x=250时，y值最大，此时y=-0.8×250+2500=2300(元).
∴=
=300(箱). ……9分
答：当购进甲种酸奶250箱，乙种酸奶300箱时，所获销售利润最大，最大销售利润为2300元. ……10分
解法二：因为16×20％＜20×25％，即乙种酸奶每箱的销售利润大于甲种酸奶的销售利润，因此最大限度的购进乙种酸奶时所获销售利润最大，即购进乙种酸奶300箱，
则x=
=250(箱).
由(1)知y=-0.8x+2500，
∴当x=250时，y值最大，此时y=-0.8×250+2500=2300(元).
七、解答题
27.(1)△PDE是等边三角形. ……1分
证法一：连DC.
∵弦BC把⊙O分成度数的比为1:2的两条弧，∴
的度数为120°.
∴∠BAC=60°. ……3分
又∵BC为⊙P的直径，∴∠BDC=90°.
又∵∠A=60°，∴∠DCA=30°.∴∠DPE=60°.
又PD=PE，∴△PDE是等边三角形. ……5分
证法二：连DC.
∵弦BC把⊙O分成度数的比为1:2的两条弧，∴的度数为120°.
∴∠BAC=60°.∴∠ABC+∠ACB=120°.
又∵PB=PD=PC=PE，∴∠BDP=∠ABC，∠CEP=∠ACB.
∴∠BDP+∠CEP=120°.∴∠BPD+∠CPE=120°.
∴∠DPE=60°.
又PD=PE，∴△PDE是等边三角形.
(2)如图②、图③即为所画图形.
画出示意图且正确标记字母即可.
画出直角三角形的情形给1分，画出钝角三角形的情形给2分. ……8分
(3)图②和图③中△PDE仍为等边三角形.
证明：如图③.连结BE、DC.
∵BC为⊙P的直径，∴∠BDC=90°.
又∵∠A=60°，∴∠ACD=30°.
又∵四边形DBEC是⊙P的内接四边形，
∴∠DBE=∠DCA=30°.∠DPE=60°.
又∵PD=PE，∴△PDE是等边三角形. ……12分
八、解答题
28.解：(1)连PC.
∵A(-3,0)，B(1,0)，
∴⊙P的直径是4，∴半径R=2，OP=1.
又∵CD⊥AB，AB是直径.
∴OC2=OA·OB=3×1=3.∴OC=.
∴C(0,). ……1分
又∵⊙P的半径是2，OP=1.
∴∠PCO=30°.又CE是⊙P的切线，
∴PC⊥CE.∴∠PEC=30°.
∴PE=2PC=4.EO=PE-MP=3.
∴E(3,0). ……2分
设直线CE的解析式为y=kx+b，将C、E两点坐标代入解析式，
得
解得
∴直线CE的解析式为y=-
x+①. ……4分
(2)当0≤m≤3且m≠1时，直线FB与⊙P相交. ……6分
(3)解法一：∵点N是
的中点，∴N(-1,-2)
设直线NB的解析式为y=kx+b，把N、B两点坐标代入解析式，
得
解得
∴直线NB的解析式为y=x-1 ②
由①，②式得
解得
∴F(,-1). ……10分
解法二：过点F作FH⊥BE于H，∵N是的中点，
则∠ABN=∠FBE=45°. ∴∠BFH=45°.∴BH=FH.
由(1)知∠CEP=30°，∴HE=FH.
∵OE=OB+BH+HE，
∴1+FH+FH=3，FH=-1.
∴OH=OB+BH=1+(-1)=.
∴F(,-1).
(4)连结AC、BC.
∵点N是的中点,
∴∠NCB=∠CAN.又∠CAB=∠CNB, ∴△AMC∽△NBC.
∴
.∴MC·NC=BC·AC.
∵OA=OE=3, ∴△ACE为等腰三角形.
∴AC=CE=
.BC=
.
∴MC·NC=BC·AC=4. ……14分