中考数学专题复习3：探究型试题

中考数学专题复习3：探究型试题

探究性问题涉及的基础知识非常广泛，题目没有固定的形式，因此没有固定的解题方法。它既能充分地考查学生的基础知识掌握的熟悉程度，又能较好的考查学生的观察、分析、比较、概括的能力，发散思维能力等，因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力。

例1（宜昌课改）如图1，已知△ABC的高AE=5，BC=，∠ABC＝45°，F是AE上的点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K．

（1）请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；

（2）当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围．

（图2供思考用）

解：(1)∵点G与点E关于点F对称，

∴GF=FE 

∵HI∥BC，

∴∠GIF=∠EJF，

又∵∠GFI=∠EFJ，

∴△GFI≌△EFJ，

∴GI=JE 

同理可得HG=EK ，

∴HI=JK,　

∴四边形HIKJ是平行四边形　　

(注：说明四边形HIJK是平行四边形评1分,利用三角形全等说明结论的正确性评2分)

（2）当F是AE的中点时，A、G重合，所以AF=2.5 

如图1，∵AE过平行四边形HIJK的中心F,

∴HG=EK, GI=JE.∴HG/BE=GI/EC.

∵CE＞BE,∴GI＞ HG, ∴CK＞BJ.

∴当点F在AE上运动时, 点K、J 随之在BC上运动,　　　　　　　  图1

如图2，当点F的位置使得B、J重合时，这时点K仍为CE上的某一点（不与C、E重合），而且点H、I也分别在AB、AC上

（这里为独立评分点，以上过程只要叙述大体清楚，说理较为明确即可评2分，不说明者不评分，知道要说理但部分不正确者评1分）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

设EF＝x，∵∠AHG＝∠ABC＝45°，AE＝5，

∴BE＝5＝GI，AG＝HG＝5-2x ,CE＝-5

∵△AGI∽△AEC，

∴AG∶AE＝GI∶CE.　　　　　　　　　　　　　　 

∴(5-2x)∶5＝5∶(-5)　　　

∴AF＝5-x＝4　　　　

∴＜AF≤4　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　图2

说明:本题考查知识较多，主要考查了全等三角形、平行四边形、相似形的判定及应用。

练习一

1、(2005年盐城)在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图(1)所示：

∵∠AOC是⊿ABO的外角

∴∠AOC=∠ABO+∠BAO

又∵OA=OB

∴∠OAB=∠OBA  ∴∠AOC=2∠ABO

即∠ABC=∠AOC

如果∠ABC的两边都不经过圆心，如图(2)、（3）,那么结论会怎样?请你说明理由.

2、课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．

初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：

⑴方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图1）．

若∠ACB=90°，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米²，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？

方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图2）．

若∠ABC=120°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小．

⑵假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．

3（绵阳）如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，则不难证明S₁=S₂+S₃ .

(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，那么S₁、S₂、S₃之间有什么关系？(不必证明)

(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，请你确定S₁、S₂、S₃之间的关系并加以证明；

(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，为使S₁、S₂、S₃之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；

(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .

4.（江苏）取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：

第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）；

第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为，得Rt△AE，如图（2）；

第三步：沿EB`线折叠得折痕EF，如图（3）。

利用展开图（4）探究：

（1）△AEF是什么三角形？

（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。

5、如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M。

探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。

说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分。

①　　　　 DM的延长线交CE于点N，且AD＝NE；

②　　　　 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图2），

其他条件不变；③在②的条件下且CF＝2AD。

附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。

例2（连云港）如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在处，两直角边分别与轴平行，纸板的另两个顶点恰好是直线与双曲线的交点．

（1）求和的值；

（2）设双曲线在之间的部分为，让一把三角尺的直角顶点在上

滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段交于两点，请探究是否存在点使得，写出你的探究过程和结论．

知识点：

解：（1）∵在双曲线上，∥轴，∥轴，

∴A，B的坐标分别，．　　　　　　　 

又点A，B在直线上，∴　　

　 解得或　　　　　　　　　　　　

当且时，点A，B的坐标都是，不合题意，应舍去；

当且时，点A，B的坐标分别为,,符合题意．

∴且.

（2）假设存在点使得．

∵ ∥轴，∥轴，∴∥，

∴，∴Rt∽Rt,∴,

设点P坐标为（1＜x＜8＝，则M点坐标为，

∴.又，

∴，即　　　（※）　　

∵．∴方程（※）无实数根．

所以不存在点使得．　　　　　　　　　　

练习二

1、（包头）已知一次函数y₁=x，二次函数y₂=x²+。

　(1)根据表中给出的x的值，填写表中空白处的值；(2分)

x	―3	―2	―1	0	1	2	3
y1=x	―3	―2	―1	0	1	2	3
y2=x2+			1		1

　　(2)观察上述表格中的数据，对于x的同一个值，判断y_l和y₂的大小关系。并证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁和y₂的大小关系仍然成立；

  (3)若把y₁=x换成与它平行的直线y=x+k(k为任意非零实数)，请进一步探究：当k满足什么条件时，(2)中的结论仍然成立；当k满足什么条件时，(2)中的结论不能对任意的实数x都成立，并确定使(2)中的结论不成立的x的范围。

2、（北京丰台）在直角坐标系中，⊙经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。

　　（1）如图，过点A作⊙的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为，求直线AC的解析式；

　　（2）若⊙经过点M（2，2），设的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。

3、（2005年内江）教师提出：如图A（1,0），AB＝OA，过点A、B作ｘ轴的垂线交二次函数的图象于C、D两点，直线OC交BD于点M，直线CD交ｙ轴于点H，记点C、D的横坐标分别为，点H的纵坐标为。

同学讨论发现：①2 ：3 ②

⑴请你验证①②结论成立；

⑵请你研究：如将上述条件“A(1，0)”改为“A”，其他条件不娈，结论①是否仍成立？

⑶进一步研究：在⑵的条件下，又将条件“”改为“，其他条件不娈，那么和有怎样的数值关系？(写出结果并说明理由)

4、（2005深圳南山区）．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．

（1）  求OA、OC的长；

（2）求证：DF为⊙O′的切线；

(3)小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．

能力训练

1、已知：直线a∥b，P、Q是直线a上的两点，M、N是直线b上两点。

（1）如图①，线段PM、QN夹在平行直线a和b之间，四边形PMNQ为等腰梯形，其两腰PM＝QN。

请你参照图①，在图②中画出异于图①的一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条线段相等。

（2）我们继续探究，发现用两条平行直线a、b去截一些我们学过的图形，会有两条“曲线段相等”（曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”。把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”）。

请你在图③中画出一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条曲线段相等。

（3）如图④，若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形的上底PQ＝m，下底MN＝n，且m＜n。现计划把价格不同的两种花草种植在S₁、S₂、S₃、S₄四块地里，使得价格相同的花草不相邻。为了节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草？请说明理由。

2、（2005年河北）操作示例:

对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED。

从拼接的过程容易得到结论：

①四边形BNED是正方形；

②S_{正方形ABCD}＋S_{正方形EFGH}＝S_{正方形BNED}。

实践与探究

（1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N。

①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；

②在图11－2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）。

（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由。

3、（2005年潜江、仙桃、江汉油田）我们做一个拼图游戏：用等腰直角三角形拼正方形。请按下面规则与程序操作：

第一次：将两个全等的等腰直角三角形拼成一个正方形；

第二次：在前一个正方形的四条边上再拼上四个全等的等腰直角三角形（等腰直角三角形的斜边与正方形的边长相等），形成一个新的正方形；

以后每次都重复第二次的操作-------

(1)请你在第一次拼成的正方形的基础上，画出第二次和第三次拼成的正方形图形；

(2)若第一次拼成的正方形的边长为a，请你根据操作过程中的观察与思考填写下表：

操作次数（n）	1	2	3	4	---	n
每次拼成的正方形面积（s）	a2				---

4、（2005年枣庄）如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形.

(1)求四边形ABCD四个内角的度数；

(2)试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；

　 (3)现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗?若能，请你画出大致的示意图．

5、（2005年泰州）图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）.

（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；

探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.（4分）

（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；

探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.

（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90°＝（图4）；

探究：在图4中，线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N·E′M的值，如果有变化，请你说明理由.

答案：

练习一

1、如果∠ABC的两边都不经过圆心,

结论∠ABC=∠AOC仍然成立　　

　　 (1)对图2的情况

连接BO并延长交圆O于点D　　　　　　 

　　由图1知: ∠ABD=∠AOD

∠CBD=∠COD　　　　　　　

∴∠ABD+∠CBD=∠AOD+∠COD

即∠ABC=∠AOC　　　　　 

(2) 对图3的情况仿图2的情况可证

2、⑴①y=,

当x=60时,y_最大值=1800;

②过点B作BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,

设AB=CD=xcm，梯形的面积为Scm²，则BC=EF=（120－2x）cm，

AE=DF=x，BE=CF=x ，AD=120－x，

∴S=·x（240－3x）

当x=40，S_最大值=1200， S_最大值＞y_最大值

⑵

方案：①正八边形一半，②正十边形一半，③半圆等

练习二

4. 解：

（1）在矩形OABC中，设OC=x  则OA= x+2，依题意得

　　　　  解得：

（不合题意，舍去）　　∴OC=3，  OA=5　　　　

（2）连结O′D

　　 在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90，CE=BE=　　　　　　　　　 

∴ △OCE≌△ABE　 ∴EA=EO　　∴∠1=∠2

在⊙O′中，  ∵ O′O= O′D　　　∴∠1=∠3  ∴∠3=∠2　　

∴O′D∥AE，　　

 ∵DF⊥AE　　 ∴ DF⊥O′D

又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径 ，∴DF为⊙O′切线。

(3) 不同意.

理由如下:

①当AO=AP时，

以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P₁和P₄两点

过P₁点作P₁H⊥OA于点H，P₁H = OC = 3，∵A P₁= OA = 5

∴A H = 4， ∴OH =1　　　　

求得点P₁（1，3）　　同理可得：P₄（9，3）　　　　　　

②当OA=OP时，同上可求得:：P₂（4，3），P₃（4，3）　　　　　　　　　　

因此，在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P₁，

又存在⊙O′外的点P₂、P₃、P₄，它们分别使△AOP为等腰三角形。　　　　　　　　　　 

能力训练

1、解：（1）

　　　　　　　　　　　　　　　 或　　　　　　　　　　　　

（2）

　　　　　　　　　　　　　　  或　　　　　　　　　　　　

解：（3）∵△PMN和△QMN同底等高。

　　　　∴S_△PMN＝S_△QMN。∴S₃+S₂=S₄+S₂.∴S₃=S₄。

∵△POQ∽△NOM，　　∴

∴S₂＝

∵，∴，

∴

，

∵m≠n（题中条件m＜n），∴　

 ∴S₁+S₂＞S₃+S₄

故园艺师应选择S₁和S₂两块地种植价格较便宜的花草，因为这两块的的面积之和大于另两块地的面积之和。

2、解：（1）①证明：由作图的过程可知四边形MNED是矩形。

在Rt△ADM与Rt△CDE中，

∵AD＝CD，又∠ADM＋∠MDC＝∠CDE＋∠MDC＝90°，

∴DM＝DE，∴四边形MNED是正方形。

∵，

∴正方形MNED的面积为；

②过点N作NP⊥BE，垂足为P，如图2

可以证明图中6与5位置的两个三角形全等，4与3位置的两个三角形全等，2与1位置的两个三角形也全等。

所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED。

（2）答：能。

理由是：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形在拼接为一个正方形，……依此类推。由此可知：对于n个任意的正方形，可以通过（n－1）次拼接，得到一个正方形。

3、解(1)如图所示

(2)如表

操作次数（n）	1	2	3	4	---	n
每次拼成的正方形面积（s）	a2	2a2	4a2	8a2	---	2n-1 a2

4、解：(1)如图，∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=360°，

　　所以3∠1=360°，即∠1=120°．

　　所以梯形的上底角均为120°，下底角均为60°

(2)由于EF既是梯形的腰，又是梯形的上底，所以梯形的腰

等于上底．连接MN，则∠FMN=∠FNM=30°．

　　从而∠HMN=30°，∠HNM=90°．所以NH=．

因此，梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长．　　　　

(3)能拼出菱形．　　　

如图：(拼法不唯一)　　　　　　 

5、（1）BE=AD

证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形

∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB，CE=CD

∴∠BCE=∠ACD　∴△BCE≌△ACD

∴ BE=AD

（也可用旋转方法证明BE=AD）

（2）如图在△CQT中 ∵∠TCQ=30° ∠RQT=60°

∴∠QTC=30° ∴∠QTC=∠TCQ

∴QT=QC=x

∴ RT=3－x　

∵∠RTS＋∠R=90°　　∴∠RST=90°

∴y=×3² －(3－x)²=－(3－x)²＋(0≤x≤3)

（3）C′N·E′M的值不变

证明：∵∠ACC′=60°∴∠MCE′＋∠NCC′=120°

　　　∵∠CNC′＋∠NCC′=120° ∴∠MCE′=∠CNC′

　　　　　∵∠E′=∠C′　 ∴△E′MC∽△C′CN

　　　　　∴　∴C′N·E′M=C′C·E′C=×=9/4.