中考数学辅导之—相似三角形
本次我们一起来复习初二几何中的相似三角形,这一部分知识在中考中占有很重要的地位,而几乎所有初三同学复习到此内容时往往都感到非常困难,希望同学们认真复习这一部分知识,找出规律.
一、基本知识及需要说明的问题:
(一)比例的性质
1.比例的基本性质:
此性质非常重要,要求掌握把比例式化成等积式、把等积式转化成比例的方法.
2.合、分比性质:
注意:此性质是分子加（减）分母比分母,不变的是分母.
如:已知
证明:∵
∴
∴
∴
3.等比性质:若
则
.
4.比例中项:若
的比例中项.
(二)平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3,
A D l1
B E l2
C F l3
可得
等.
2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A
 |
D E
B C
由DE∥BC可得：
.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.
3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.
此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.
4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. A
D E
B C
说明:①此定理和平行线分线段成比例定理的异同
相同点:都是平行线
不同点:平行线分线段成比例定理的推论是两条平行线截其它两边所成的对应线段成比例,即AD与AE,DB与EC,AB与AC这六条线段,而此定理是三角形的三边对应成比例.即
，只要有图形中的
,它一定是△ADE的三边与△ABC的三边对应成比例.
②注意:条件(平行线的应用)在作图中,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.
如:如图（1），已知BD:CD=2:3,AE:ED=3:4
求:AF:FC
A
F
A
A
F
F
E E G E
B D C B D C B D G C
图（1） 图（2） 图（3）
辅助线当然是添加平行线。但如图（2），如果过D作DG∥BF,则在FC中插入了G点,不利求结论AF:FC；如图（3）如果过F做FG∥AD交CD于G时,在CD上插入G,条件BD:DC=2:3就不好用了。因此应过D做DG∥AC交BF于G,此辅助线做法既不破坏BD:DC,又不破坏AE:ED,还不破坏AE:FC.
解: 过D做DG∥AC交BF于G
∵BD:DC=2:3 ∴BD:BC=2:5
A
则DG:CF=2:5 设DG=2
CF=5
F
AE:ED=3:4
AF:DG=3:4 AF:2=3:4
G E
AF=1.5 AF:FC=1.5:5=3:10
B D C
(三)相似三角形
1、相似三角形的判定
①两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多);
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;
③三边对应成比例的两个三角形相似;
④直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.
2、直角三角形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.
3、相似三角形的性质
①相似三角形对应角相等、对应边成比例.
②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比)
二、本次练习:
(一)判断题:
1.已知
.( )
2.已知
.( )
3.若
的比例中项. ( )
4.
如图:DE∥BC,EF∥AB,则
( ) A
D E
B F C
5.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,则
.( )
6.有一组邻边对应成比例的两个矩形相似. ( )
7.
如图已知DE∥BC,CD,EB交于O,
A
S△POE:S△COB=4:9,则
.( ) D E
B C
8.已知△ABC中,∠BAC=Rt∠,AD⊥BC,AB=2AC,则AD:BC=2:5. ( )
9.所有的等腰直角三角形都相似. ( )
10.两个相似多边形的面积比为5,周长比是m,则
.( )
(二)填空题:
1.已知
的第四比例项是______.
2.
如图:∠ABC=∠CDB=90°,AC=a, BC=b,
C
当BD=______时,△ABC∽△CDB. A
D
B
3.若
,则
.
4.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,若CD=6,AB=13,则CD分AB所成
的两条线段是______.
A
D
5.矩形ABCD中,E是DC上一点,BE⊥AF,
若BE=10cm,AF=4cm,则S矩形=______cm2. F E
B C
6.
如图:EF∥BC,若S△AEF=S四边形,则
=______.
A
E F
B C
7.两个相似三角形面积之比是9:25,较大的三角形的周长是20cm,则较小的三
角形的周长是______cm.
8.将一个矩形纸片对折,得到的矩形与原矩形相似,则原矩形的长:宽=______.
9.如图:BC=120,高AD=80,△ABC的
A
内接矩形EFGH中,EH:EF=2:1,则
矩形EFGH的周长是______. E M H
B F D G C
10.△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,
A
且BD=CE,DE的延长线交BC延长线
于F,若AB:AC=3:5, D E
EF=12cm,则DF=______cm. B
C F
11.如图:△ABC中,EF∥BC,AE:EB=1:2, D A
S△ADE=S,则S△AEF=______S.
E F
B C
12.如图BD:CD=2:3,DE∥AC,
A
DF∥AB,S△ABC=S,则S△AEF=______S. F
E
B D C
(三)单选题:
1.
如图:PQ∥BC,若S△APQ=3, A
S△PQB=6,则S△CQB等于: P Q
A.20 B.18
C.16 D.9
B C
2.
△ABC中,BD,CE分别是AC,AB边上的中线 A
并且BD⊥CE,BD=4,CE=6,则S△ABC等于:
A.12 B.14 C.16 D.18
E D
B C
3.
在 ABCD中,AF:FD=1:3,E是AB中 D
C
点EF交AC于M,则AM:MC等于:
F M
A E
4.如图:DE∥BC,EF∥AB,在下面的比例式中,正确的有:
①
②
A
③
④
D
E
⑤
⑥
B F C
A.①③ B.①②③ C.③⑤⑥ D.①③⑤
(四)证明题:
1.D是△ABC的AC上一点,E是BC延长
A
线上一点,ED交AB于F,且AC:BC=EF:FD D
求证:AD=EB. F
E B C
2.如图:E是梯形ABCD上底DC中点, G
BE交AC于F交AD的延长线于G
求证:EF·GB=BF·GE D E C
F
A B
3.已知:在△ACB中,∠ACB是Rt∠,M是 A
AB中点,MD⊥AB交AC于E,BC
的延长线于D M
求证:AB2=4ME·MD E
B C D
4.AD是△ABC(AB>AC)的角平分线,
A
AD的中垂线和BC的延长线交于点E
求证:DE2=BE·CE
B D C E
5.AD,BE是△ABC的高,A’D’,B’E’,
A
A’
是△A’B’C’的高,且
求证:AD·B’E’=A’D’·BE E E’
B D C B’ D’ C’
6.如图:AH是Rt△ABC的斜边BC上的高, D A E
以AB和AC做等边三角形ABD和
等边△ACE,连结DH,EH
求证: △AEH∽△BDH
B H C
7.如图:已知四边形ABCD是正方形, A E D
E是AD中点,BF=3AF,EG⊥CF于G,
求证:EG2=FG·CG F G
B C
三、本次练习答案
(一)判断题:
1.√ 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.√ 8.√ 9.√ 10.√
(二)填空题:
1.
2.
3.
4.9和4 5.40 6.
7.12 8.
9.
10.20 11.
12.
(三)选择题:
1.B 2.C 3.C 4.D
(四)证明题:
1.过D做DG∥BC交AB于G
2.略
3.连结CM,证△MCE∽△MDC,得MC2=MD·ME，MC=
AB，
AB2=MD·ME，AB2=4MD·ME
4.连结AE,证△ACE∽△BAE,得AE2=BE·CE，AE=DE，DE2=BE·CE
5.略
6.略
7.连EF,CE,证△AEF∽△DCE得∠AEF=∠DCE,证∠FEC=Rt∠,由定理得EG2=FG·CG