中考数学辅导之—二次函数的图象和性质
一、学习目的：
1.理解并掌握二次函数的概念.
2.了解二次函数
的图象的位置关系.
3.会求二次函数的顶点坐标,对称轴方程及最大值或最小值.
4.会画二次函数的图象,能解较复杂的二次函数题目.
二、基本知识及说明:
1.函数
叫做二次函数.
2.二次函数
的图象是顶点在原点的抛物线.其性质是
时,抛物线的开口向上；
时,抛物线的开口向下；对称轴是
轴；顶点坐标是(0,0)；时,
=0；
=0.
3.
和,通过解析式我们得知,对于同一个自变量
的值,的值总比的值大或小
个单位.(如
.对于每一个的值,
的值总比
的值小于3个单位.而
,对于同一个的值
的值大3个单位)这一特点反映在函数图象上就是将的图象上的各点向上平移个单位.(
)此时的对称轴仍是轴,而顶点坐标是(0,),它的开口方向与的图象的开口一样,
；而
的图象与的图象各点具有对于同一个值,值不同,譬如
列表:
|
| … | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|
| … |
| 2 |
| 0 |
| 2 |
| |||
|
| … |
| 2 |
| 0 |
| 2 |
|
对于同一个
,在中,对应的是-3和3,在
中, 
对应的值是-6和0.而-6比-3小3个单位,0比3小3个单位,这说明:对于同一个
所对应的值,总比所对应的值小3个单位.
y
x
这些特性反映在图象上就是将图象上各点向左平移3个单位得到函数
的图象上的点,函数的图象整个向左平移3个单位得到的图象.同理,将的图象向右平移2个单位得到
的图象,总之将的图象向左或向右平移h个单位(h>0时向左移动；h<0时,向右移)就得到的图象,由于图象左右移动,对称轴发生变化,不是轴了,而是直线
,顶点是(
0).
由于
的图象是将的图象向上平移2个单位,而是由的图象向左平移3个单位,所以是由的图象向左平移3个单位,再向上平移2个单位得到的,其顶点是(-3,2),对称轴是
.
4.抛物线的顶点坐标、对称轴方程的求法有2种:一种是将配方成
的形式,如:
=
……(加上并减去一次项系数的一半的平方)
=
=
所以顶点是(-3,2),对称轴是.
另一种是直接套用公式.顶点
,对称轴是
.因同学们配方不太熟练,准确性不高；因此最好用公式求，尤其是当系数是整数时.
5.抛物线的顶点是,也可写成
.
①若
>0,
>0,则
,即顶点的纵坐标为负,则顶点在轴下方,而抛物线向上伸展,所以抛物线一定与轴相交.
0 x
②若>0,
,顶点在轴上方,抛物线向下伸展,则抛物线与轴也一定有两个交点. y
0 x
③若=0,无论
.即顶点在轴上,抛物线与轴只有一个交点.
④若<0,
,顶点在轴上方,而抛物线向上伸展,故与轴不相交. y
0 x y
⑤若<0,
,抛物线向下伸展,所以抛物线与轴不相交.
0
所以,(1)>0
抛物线
一定与轴有两个交点.
(2)=0,抛物线与轴有一个交点.
(3)<0,抛物线与轴没有交点.
判断抛物线与轴有无交点,就是判定的值是正还是负.
再例如求
与轴的交点坐标,因交点在轴上,也在抛物线上,所以纵坐标
,即
,
；所以与轴交点坐标是(3,0)和(-1,0).这说明求抛物线
轴的交点坐标,就要求
的根
,交点坐标是(
)和(
),而求与轴的交点坐标,就是
.
6.求解二次函数的图象,应先求出顶点坐标,对称轴方程,然后按照对称性列表、描点、连线.
如:解出
的图象.
解:顶点坐标是(-3,2),对称轴是.
列表，得：
|
| … | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 |
|
| … | - | 0 |
| 2 |
| 0 |
|
描点、连线，得：
y
x
三、练习
1.填空题:
⑴将
的图象向上平移3个单位,得到函数______的图象,其顶点坐标是______,对称轴方程是______.
⑵将
的图象向右平移3个单位,再向上平移4个单位,得到函数______的图象,顶点坐标是______,对称轴是______.
⑶函数
的图象的顶点关于轴的对称点的坐标是______.
⑷
中,
,则它的开口向______.顶点在第______象限
⑸将
配方成的形式是____________.顶点坐标是______,对称轴是______.
⑹抛物线
与轴的交点坐标是______,与轴交点坐标是______.
⑺二次函数
有最小值-4,且图象的对称轴在轴的右侧,则
的值是______.
⑻
交于A,B,顶点是C,则S△ABC=______.
⑼
与轴交于A,B,与轴交于C,则S△ABC=______.
⑽已知二次函数的图象经过(1,3)和(0,4)及(2,6)三点,则二次函数解析式是____________.
⑾抛物线
与轴交于A,B两点,B在A的右侧,点P是抛物线在轴上方部分的一点,且S△ABP=6,则A点坐标是______,B点坐标是______,P点坐标是______.
⑿已知二次函数的图象经过(1,1),还经过一次函数
的图象与轴,轴的交点,则函数解析式为______,顶点坐标是______.
⒀已知二次函数的图象经过(-1,-
),B(0,-4),C(4,0)三点,则二次函数的解析式是______,顶点D的坐标是______,对称轴方程是______,
S四边形OBDC=______
2.选择题:
①如果的图象经过(1,4),(0,2)和(-2,-8)三点,则
的值是:
A. 4 B. 0 C. 6 D. -6
②
同号,
异号,在同一直角坐标系中二次函数与一次函数
的图象大致是:
y y y y
0 x 0 x 0 x 0 x
A. B. C. D.
③二次函数的图象如图所示,则
的值是:
A.
B.
C.
D.
④抛物线
的顶点在轴上,则顶点坐标是:
A.(4,0) B.(
,0)
C.(-,0)
D.(0,)
⑤要使关于的方程
的两根的平方根最小,则等于:
A. 0 B. –1 C. 1 D. 2
3.解答题:
已知二次函数的图象经过A(2,4),其顶点的横坐标是,它的图象与轴交点为B()和()，且
.
求:①此函数的解析式,并画出图象.
②在轴上方的图象上是否存在着D,使S△ABC=2S△DBC.若存在,
求出D的值；若不存在,说明理由.
四、练习答案:
1.填空题:
⑴
(0,3) 轴 ⑵
(3,4) 
⑶(-3,1) ⑷下 二
⑸
(-1,2) 
⑹(3,0)和(-,0) (0,
)
⑺2(提示:
)
⑻
⑼24
⑽
⑾A(-1,0)
B(3,0) P点(0,3)和(2,3) (提示:AB=4 设P(
) S△ABP=6 则=3 =3 因为P在抛物线上,所以
)
⑿
⒀
D(+1,-) 
11面积单位 (提示:做出图象,S四边形OBDC=S△OBD+S△OCD 而S△OBD=
S△COD
)
2.选择题:
①B ②D ③C ④C ⑤C
3.解答题:
由题意得 
①
②
(因为
)
③ 
由②得:
代入①得:
将 代入③得:
不合题意,
所以
∴B(3,0)
设D()
y C(-2,0)
则S△ABC=
A(2,4)
S△DBC=
D()
∴
将
C(-2,0)
B(3,0) x
∴D