中考数学辅导之—方程及方程组
本次我们将要复习初中代数中的方程及方程组、一元一次不等式和一元一次不等式组的有关内容.目的要求是:
1.记住方程、方程组、不等式、不等式组的有关概念.
2.会解初中阶段所学的各种类型的方程、方程组.
3.会利用一元二次方程的根的判别式,一元二次方程中的根系数之间的关系解相关题目.
4.能根据题意,分析已知与未知的关系,正确的设未知数,即列方程或方程组,解各种类型的应用题.
5.会解一元一次不等式,一元一次不等式组,会用数轴表示一元一次不等式和一元一次不等式组的解集.
复习指导及说明的问题.
1.根据方程的同解原理:方程的左右两边都乘以(或除以)同一个不为零的数或代数式,所得的方程与原方程同解.所谓的方程两边都乘以,具体到解方程是第一项均乘以如:
去分母每一项都乘以10得
.由于解分式方程,我们用去分母的方法,去分母时可能乘以零因式,破坏方程的同解性,故可能产生增根,所以一定要验根,找出增根,以保证你所求得的整式方程的根,也是原分式方程的根.
2.会“转化”.方程组转化成一元方程,分式方程“转化”成整式方程,无理方程“转化”成有理方程,高次方程“转化”成一元一次方程是关健,要学会“转化”的方程,还要会将一定较复杂的方程用换元法解.
3.列方程解应用题的时,要正确分析题意,设未知数列方程,要注意:在行程问题中,若设速度是未知数,而距离已知,则一般是列关于时间的方程,要分析类型,找出规律.
4.解一元一次不等式要正确运用不等式的性质,如不等式的两边都乘以或除以同一个负数时,要改变不等号的方向.
5.不等式组的解集应该使不等式组中的每一个不等式都成立,会找公共解,结合数轴找解,如:
设
不等式组
的解是
,用数轴表示 
不等式组
的解是
,用数轴表示
不等式组
的解是
,用数轴表示
不等式组
的解是空集,用数轴表示
5.根的判别式△=b2-4ac的使用可解决.
①方程有根或无根,求方程中参数的m或k的值.
②证明△>0或△<0说明根的情况.
要注意:将方程化成一般形式:
.
如方程
要移项
确定
6.根与系数之间的关系.设
是方程
的根，则
可解决.
①不解方程可利用已知一根,求另一根及参数的值.
②不解方程可求某些代数式的值,如求
③建立一个系数方程，使新方程与已知方程的根有某些关系。
此类题目较复杂,现介绍一个较简单的方法.
例:已知方程
求作一个新方程,使它的根是原方程根的3倍.
解法(一)设所求方程是
∴所求方程为
此种方法是利用根与系数的较传统的解法.
解法(二)设新方程的根是
,原方程是
由题意得
(此步是关键,先由题意得出
的关系式,再将它变形成含的代数式表示)
将代入原方程得
说明:此法较前方法简单的多,若此题比较两法看不出后法的简单,那再举一例.
例：已知求解新方程,使它的根是原方程根的平方.
解法(一)设
=
∴
解法(二)设
(新方程的根是原方程根的平方)
则
(变形成用表示)
代入原方程
两边平方得:
例:(1999年B卷选择题)
已知方程
作一个新的一元二次方程,使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数.
解法(一)设所求方程是
则
=
∴所求方程是
解法(二)设
代入原方程
两边都乘以
此方法第一步先根据题意写出间的关系.如:
①求新方程的根是原方程根的倒数. 
②求新方程的根是原方程根的4倍.
③新方程的根比原方程的根大3. 
第二步,变形成含
.如
第三步,代入原方程化简.
本次练习
一、判断题:
1.
方程组 
的解一定是方程
的解( )
2.代数式
的值小于1的的取值范围是
( )
3.若
( )
4.方程
的解是
( )
5.设
( )
6.以3和-2为根的方程是
( )
7.方程
在实数范围内无解( )
8.无论
取何值,关于的方程
一定有两个不相等的实根( )
9.已知
( )
10.方程
的解是
( )
二、填空题:
1.已知方程
的解是正数,则
的取值范围是_____,若该方程有增根,则的值是_____.
2.以
为根的方程是_____.
3.已知关于的方程
的一个根比另一个根大2,则m=_____.
4.已知-5是方程
的一个根,则另一根是_____,的值是_____.
5.关于的一元二次方程有两个不相等实根,并且两根平方和是35,则的值是_____.
6.解方程
若设
,则原方程可化为_____.
7.不等式
的正整数解是_____.
8.
不等式组 
的解集是_____.
9.当=_____时,代数式
的值相等.
10.设是方程的根,不解方程,则
=_____,
_____,
=_____.
11.若
是方程
的解则
=_____.
12.已知关于的方程
有两个不相等的实根,则的取值范围是_____.
13.二元一次方程
的正整数解是_____.
14.已知关于的方程
当=_____时,两根互为相反数.当=_____时,两根互为倒数.
15.两数之和是8,积是9,则这两个数是_____.
16.关于的方程
有增根,则增根是_____.
17.分别以方程
的两根的3倍为根作一个新方程,则这个新方程是_____.
18.方程
的两根之比是2:3,则的值是_____.
三、选择题:
1.用换元法解方程
时,若设
,则原方程可化为整系数的方程是:
A.
B.
C.
D.
2.已知关于的一元二次方程
有两个不相等实根,且满足
,此新方程是:
A.=-1
B.=5 C.=-1或5 D.=1或=-5
3.已知方程
作一个新的一元二次方程,使它的根分别是已知方程各根平方的倒数,则此新方程是:
A.
B.
C.
D.
4.关于的方程
的根的情况是:
A.无实根 B.有两个相等实根 C.有两个不相等实根 D.无法确定
5.下列方程无实根的个数是:
①
②
③
④
⑤
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
6.
已和方程组 
有两组相等的实数根,则的值是：
A.-1 B.1 C.±1 D.
四、解方程:
1.
2.
3.
五、列方程解应用题:
1.A,B两地相距40千米,甲,乙两人骑自行车同时从A地出发前往B地,15分钟后,甲在乙前方1千米,乙到达B地比甲晚半小时,求两人的速度.
2.控土机原计划在若干小时内挖土220m3,最初3小时按原计划进行,以后每小时多挖10m3,因此提前2小时，并超额20m3完成任务,原计划每小时挖土多少m3?
本次练习答案
一、判断题:
1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.× 6.√ 7.√ 8.× 9.× 10.×
二、填空题:
1.
3或-9 2.
3.
4. 
23
5.
6.
7.1 2 3
4 8.
9.
10.
11.1或-3 12.
13. 
14.
15.
16.
17.
18.
三、选择题:
1.C 2.A 3.D 4.C 5.D 6.C
四、解方程:
1.
2.
3.
五、列方程解应用题:
1.甲速20千米/时 乙速16千米/时 2.20m3/小时