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中考数学辅导之—函数及其图象

2014-5-11 0:12:29下载本试卷

中考数学辅导之—函数及其图象

一、学习目标

1、   能正确画出直角坐标系;并能在直角坐标系中,根据点的坐标找出点,由点求出点的坐标。

2、   能分清实例中出现的常量与变量、自变量与函数;对简单的函数表达式,能确定自变量的取值范围,并会求出函数值。

3、   能画出简单函数的图象;知道不仅可以用解析法,而且还可以用列表法和图象法表示函数。

二、教材简析

  函数是数学中的重要概念之一,它使我们从研究不变的量,转化为研究变量之间的相依关系。函数不仅是一个重要的概念,也是一种很重要的数学思想方法。通过函数概念和图象的学习可以用几何图形来解析代数问题,使代数问题变得更形象、直观,便于理解,另一方面,也可以用代数方法来研究几何问题。

  本章内容包括三个单元。第一单元是直角坐标系的初步知识,第二单元是函数及其图象,第三单元是常见的几种函数,包括一次函数(正比例函数)、二次函数、反比例函数及其图象。(本讲主要学习巩固第一、二单元,第三单元留待下学期复习)。

  学习直角坐标系,建立有序实数与平面内的点的一一对应关系,为研究函数的图象作准备。学习函数概念,首先要了解常量、变量概念,用动态的观点来看问题。弄清函数的本质是具有某些特点的对应关系,抓住函数对自变量的依从关系就是函数与自变量的对应关系。函数关系中自变量的取值范围是函数存在的不可缺少的部分。

  了解函数有三种表示方法,即解析法、列表法和图象法。能正确迅速地列表、描点并绘出函数图象,(以下为下学期内容)要逐步学会用图象总结函数的性质,由函数的性质能想象出表达式中自变量x与函数y的变化情况。

  本章重点是函数的概念、函数解析式与图象性质的内在联系。能灵活地进行数与形之间的变换是难点。

三、本讲(即第一、二单元)的重点内容有

1、 掌握x轴、y轴上和四个象限内点的坐标的特征。

2、 懂得建立了平面直角坐标系,就使平面上的点与一对有序实数之间建立起一一对应关系,建立数与形之间的联系,初步了解数形结合思想。

3、 对函数概念的理解和自变量取值范围的确定。

4、 函数的三种表示方法及用描点法画函数图像。

四、基本内容及应注意的问题

1、 平面直角坐标系是以数轴为基础的,坐标平面内的点的坐标也是利用数轴上点的坐标来定义的。有关直角坐标系的概念比较多,学习时应紧密结合图形,不能死记硬背定义,看到一个概念,脑子里要能马上反映出相关的图形。如对“象限”的理解,关键在于结合直角坐标系,能指出各个象限的位置,进而明确坐标轴上的点不属于任何一个象限的真正含义。

2、 对于函数的意义,在初中阶段主要应领会两点:一是有两个变量,二是一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化。

3、 关于函数自变量的取值范围问题,主要包含两个方面:一是自变量的取值使函数解析式有意义,这是常用的一个方面,也是以前学过的知识;二是自变量的取值使实际问题有意义,这一方面虽然用的不多,但需要对实际问题作具体分析,有一定难度。

4、 关于函数值的问题,可以和求代数式的值的问题联系起来,注意运算的熟练与准确程度。

5、 对于函数的三种常用的表示方法,应该有这样的认识:给出一种函数关系,根据需要,有时可以写出它的解析表达式,有时可以列出函数与其自变量的对应数值表,有时也可以画出它的图象;反过来,也可以用一个解析式,或一个反映两个变量的对应关系的数值表,或一个图象,来表示一个函数关系。

6、 关于函数图象的意义,要注意到是“把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标。”

五、例题

例1:若点P(3m-2,5-2m)在第二象限,求m的取值范围

解:∵点P(3m-2,5-2m)在第二象限

  ∴   3m-2<0  解得:m<

     5-2m>0

注:根据各象限内点的横纵坐标的特征列出两个不等式,组成不等式组即可求得。

例2:若A点坐标为(m,n),它关于原点的对称点为A1,而A1关于x轴的对称点为A2,且点A2的坐标为(3,-4),求m、n的值。

解:∵A点坐标为(m,n)

  ∴A点关于原点的对称点A1的坐标为(-m,-n),A1点关于x轴的对称点A2的坐标为(-m,n)

 又∵点A的坐标为(3,-4)

  ∴ -m=3    即:m=-3

    n=-4       n=-4

注:本题是按题意中的对称关系顺次由点A的坐标推得点A2的坐标。由于点的轴对称和中心对称关系是相互的,所以本题也可由点A2的坐标逆方向求点A的坐标,即:A2(3,-4)→A1(3,4)→A(-3,-4)→m=-3,n=-4

例3:已知点P(a,a-b)在第四象限,求:(1)Q(-a,b)所在象限。(2)若a=b,则P点和Q点在什么位置?

解:(1)∵P(a,a-b)在第四象限

    ∴a>0,且a-b<0

    ∴  b>a>0

      -a<0

则:Q(-a,b)在第二象限

(2)当a=b时,P、Q两点坐标可分别表示为

P(a,0)  Q(-a,a)

又∵a>0

∴P点在x轴正半轴上,Q点在第二象限角平分线上(原点除外)。

注:(1)因为P点在第四象限,横坐标a为正值,纵坐标a-b应为负值,所以b必大于a,也为正数;(2)当点的横、纵坐标相同时,该点在一、三象限角平分线上。而点的横、纵坐标互为相反数时,点必在二、四象限角平分线上。本例有前提P在第四象限a>0,所以Q只能在第二象限角平分线上,且原点要除外。

例4:求下列各函数的自变量取值范围

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

解:(1)∵不论x取什么值,原函数都有意义

    ∴x为全体实数

(2)要使函数有意义,必须使15-6x≥0

  ∴x≤

(3)要使函数有意义,只须3x+5>0,∴x>-

(4)要使函数有意义,必须使  x+2≥0  ∴x≥-2且x≠3

               x-3≠0

(5)要使函数有意义,必须使  x-3≥0 即  x≥3  ∴x=3

               3-x≥0    x≤3

(6)要使函数有意义,必须使  3-2x≥0  ∴x≤且x≠±1

               1-≠0

(7)要使函数有意义,必须使  x≠0    ∴x≠0,x≠-1且x≠3

               x2-2x-3≠0

例5:如图,锐角中,BC=10,高AD=6,EFGH是它的内接矩形,设EF为x,EH为y.求y与x的函数关系式

分析:①学会在图中标注数据

   ②EFGH是的内接矩形,本身隐含着EH∥BC这一条件

   ③EH∥BC提供    

          

    即:,变形即得:

   ④x是矩形一边EF的长度,因此0<x<6,这里x≠0且x≠6

    因为x=0或x=6时矩形都不存在,也就失去了该题的实际意义了。

    解:∵EFGH为矩形

       ∴EH∥BC    

             

           

       ∴   (0<x<6)

注:对根据实际问题得到的函数关系,它的自变量取值不仅要使函数解析式有意义,而且还要使实际问题有意义,应根据实际问题的限制,确定自变量的取值范围。

例6:求,当x=12时的函数值

分析:实质上是当x=12时,求代数式的值。

解:当x=12时

  

   =

例7:当x为何值时,与y=1-x的函数值相等

分析:此题即x为何值时成立

解:当

即:x2+x=0    ∴x1=-1,x2=0

经检验:x1=-1,x2=0都是原方程的根。

∴当x=-1或x=0时,两函数值相等。

六、练习及作业

(一)、选择题

1、 点M在第二象限,且M点到x轴距离为2,到y轴距离为3,则M点坐标是:

A、 (2,3)    B、(3,2)   C、(-2,3)    D、(-3,2)

2、 点P(m,-5)在第二、四象限夹角平分线上,则m的值为:

  A、      B、-    C、5       D、-5

3、 已知点A(5m-4,3-m)在第二象限,则m的取值范围是:

  A、m<3    B、m<    C、m>3     D、<m<3

4、 已知点M(a,0)在x轴的负半轴上,则点N(1+a2,-a)在:

  A、第一象限  B、第二象限   C、第三象限    D、第四象限

5、 已知ab≠0,则坐标平面上四个点A(a,b)、B(-a,-b)、C(a,-b)、D(-a,b)中关于x轴对称的点是:

A、  A与B,C与D        B、A与C,B与D  

  C、A与D,B与C         D、A与B,B与C

6、在下列函数中,与y=x-2图像完全相同的函数是:

A、         B、

   C、         D、

(二)、填空题:

7、已知点P的坐标是(m-n,m+n),则点P关于x轴的对称点坐标是______,点P 关于x轴的对称点坐标是______,点P关于原点的对称点坐标是______。

8、在x轴上的点_____坐标是零;在第四象限夹角的平分线上的点P坐标  

  为(m,n),则m、n的关系是______。

9、以(4,0)为圆心,5为半径画一圆,则此圆与y轴的交点坐标为______。

10、把等腰三角形的一个底角的度数y表示成顶角度数x函数解析式是______,

  自变量x的取值范围是______。

(三)、解答题:

11、求下面各函数中自变量取值范围

(1)

(2)

  (3)

12、两角的角平分线交于点D,设度数为y,度数

  为x,求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围。

13、已知点M坐标为(-5,0),点N在第三象限坐标为(x,y)且x+y=-6,设

  面积为S。

(1)求S关于x的函数表达式

(2)求x的取值范围

(3)当S=10时,求N点坐标

七、答案及解题指导

  1、D    2、C    3、B    4、A    5、B    6、C

解题指导:

1、设M点坐标为(x0,y0)则由题意有x0<0,y0>0及,得x0=-3,y0=2。

2、第二、四象限夹角平分线上的点,其横坐标和纵坐标互为相反数,故m+(-5)=0得m=5。

3、由  5m-4<0  得m<

    3-m>0

4、点(a,0)在x轴负半轴上,则a<0,则-a>0,又1+a2>0,则点N(1+a2,-a)在第一象限。

5、关于x轴对称的点应横坐标相同,纵坐标相反,故为A(a,b)与C(a,-b),B(-a,-b)与D(-a,b)。

6、y=x-2,自变量x可取任何实数,而取值范围是x≥2。与y=x-2是不同的解析式,,x≠-2,它们或是自变量的取值范围或是解析式不与y=x-2完全相同,只有,且x可取任何实数,故选C。

7、(m-n,-m-n),(n-m,m+n),(n-m,-m-n)。

8、纵,互为相反数

解题指导:第四象限的点横坐标为正,纵坐标为负,故m>0,n<0即m、n符号相反,又在第四象限角平分线上,横纵坐标绝对值相等,故,所以m、n互为相反数。

9、 (0,3)、(0,-3)

10、    0<x<180

11、(1)x≥-1且x≠0   (2)x>-3    (3)x>1且x≠2

12、    0<x<180

解题指导:,(0<x<180)

13、(1)   (2) -6<x<0   (3)(-2,-4)

解题指导:点N(x,y)在第三象限,故x<0,y<0又

,因为x<0,y<0且x+y=-6,所以-6<x<0,-6<y<0,所以0<6+x<6,所以=x+6,得(-6<x<0)。