中考数学辅导之—函数及其图象
一、学习目标
1、 能正确画出直角坐标系;并能在直角坐标系中,根据点的坐标找出点,由点求出点的坐标。
2、 能分清实例中出现的常量与变量、自变量与函数;对简单的函数表达式,能确定自变量的取值范围,并会求出函数值。
3、 能画出简单函数的图象;知道不仅可以用解析法,而且还可以用列表法和图象法表示函数。
二、教材简析
函数是数学中的重要概念之一,它使我们从研究不变的量,转化为研究变量之间的相依关系。函数不仅是一个重要的概念,也是一种很重要的数学思想方法。通过函数概念和图象的学习可以用几何图形来解析代数问题,使代数问题变得更形象、直观,便于理解,另一方面,也可以用代数方法来研究几何问题。
本章内容包括三个单元。第一单元是直角坐标系的初步知识,第二单元是函数及其图象,第三单元是常见的几种函数,包括一次函数(正比例函数)、二次函数、反比例函数及其图象。(本讲主要学习巩固第一、二单元,第三单元留待下学期复习)。
学习直角坐标系,建立有序实数与平面内的点的一一对应关系,为研究函数的图象作准备。学习函数概念,首先要了解常量、变量概念,用动态的观点来看问题。弄清函数的本质是具有某些特点的对应关系,抓住函数对自变量的依从关系就是函数与自变量的对应关系。函数关系中自变量的取值范围是函数存在的不可缺少的部分。
了解函数有三种表示方法,即解析法、列表法和图象法。能正确迅速地列表、描点并绘出函数图象,(以下为下学期内容)要逐步学会用图象总结函数的性质,由函数的性质能想象出表达式中自变量x与函数y的变化情况。
本章重点是函数的概念、函数解析式与图象性质的内在联系。能灵活地进行数与形之间的变换是难点。
三、本讲(即第一、二单元)的重点内容有
1、 掌握x轴、y轴上和四个象限内点的坐标的特征。
2、 懂得建立了平面直角坐标系,就使平面上的点与一对有序实数之间建立起一一对应关系,建立数与形之间的联系,初步了解数形结合思想。
3、 对函数概念的理解和自变量取值范围的确定。
4、 函数的三种表示方法及用描点法画函数图像。
四、基本内容及应注意的问题
1、 平面直角坐标系是以数轴为基础的,坐标平面内的点的坐标也是利用数轴上点的坐标来定义的。有关直角坐标系的概念比较多,学习时应紧密结合图形,不能死记硬背定义,看到一个概念,脑子里要能马上反映出相关的图形。如对“象限”的理解,关键在于结合直角坐标系,能指出各个象限的位置,进而明确坐标轴上的点不属于任何一个象限的真正含义。
2、 对于函数的意义,在初中阶段主要应领会两点:一是有两个变量,二是一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化。
3、 关于函数自变量的取值范围问题,主要包含两个方面:一是自变量的取值使函数解析式有意义,这是常用的一个方面,也是以前学过的知识;二是自变量的取值使实际问题有意义,这一方面虽然用的不多,但需要对实际问题作具体分析,有一定难度。
4、 关于函数值的问题,可以和求代数式的值的问题联系起来,注意运算的熟练与准确程度。
5、 对于函数的三种常用的表示方法,应该有这样的认识:给出一种函数关系,根据需要,有时可以写出它的解析表达式,有时可以列出函数与其自变量的对应数值表,有时也可以画出它的图象;反过来,也可以用一个解析式,或一个反映两个变量的对应关系的数值表,或一个图象,来表示一个函数关系。
6、 关于函数图象的意义,要注意到是“把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标。”
五、例题
例1:若点P(3m-2,5-2m)在第二象限,求m的取值范围
解:∵点P(3m-2,5-2m)在第二象限
∴ 3m-2<0 解得:m<
5-2m>0
注:根据各象限内点的横纵坐标的特征列出两个不等式,组成不等式组即可求得。
例2:若A点坐标为(m,n),它关于原点的对称点为A1,而A1关于x轴的对称点为A2,且点A2的坐标为(3,-4),求m、n的值。
解:∵A点坐标为(m,n)
∴A点关于原点的对称点A1的坐标为(-m,-n),A1点关于x轴的对称点A2的坐标为(-m,n)
又∵点A2的坐标为(3,-4)
∴ -m=3 即:m=-3
n=-4 n=-4
注:本题是按题意中的对称关系顺次由点A的坐标推得点A2的坐标。由于点的轴对称和中心对称关系是相互的,所以本题也可由点A2的坐标逆方向求点A的坐标,即:A2(3,-4)→A1(3,4)→A(-3,-4)→m=-3,n=-4
例3:已知点P(a,a-b)在第四象限,求:(1)Q(-a,b)所在象限。(2)若a=b,则P点和Q点在什么位置?
解:(1)∵P(a,a-b)在第四象限
∴a>0,且a-b<0
∴ b>a>0
-a<0
则:Q(-a,b)在第二象限
(2)当a=b时,P、Q两点坐标可分别表示为
P(a,0) Q(-a,a)
又∵a>0
∴P点在x轴正半轴上,Q点在第二象限角平分线上(原点除外)。
注:(1)因为P点在第四象限,横坐标a为正值,纵坐标a-b应为负值,所以b必大于a,也为正数;(2)当点的横、纵坐标相同时,该点在一、三象限角平分线上。而点的横、纵坐标互为相反数时,点必在二、四象限角平分线上。本例有前提P在第四象限a>0,所以Q只能在第二象限角平分线上,且原点要除外。
例4:求下列各函数的自变量取值范围
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
解:(1)∵不论x取什么值,原函数都有意义
∴x为全体实数
(2)要使函数有意义,必须使15-6x≥0
∴x≤
(3)要使函数有意义,只须3x+5>0,∴x>-
(4)要使函数有意义,必须使 x+2≥0 ∴x≥-2且x≠3
x-3≠0
(5)要使函数有意义,必须使 x-3≥0 即 x≥3 ∴x=3
3-x≥0 x≤3
(6)要使函数有意义,必须使 3-2x≥0 ∴x≤且x≠±1
1-≠0
(7)要使函数有意义,必须使 x≠0 ∴x≠0,x≠-1且x≠3
x2-2x-3≠0
例5:如图,锐角中,BC=10,高AD=6,EFGH是它的内接矩形,设EF为x,EH为y.求y与x的函数关系式
分析:①学会在图中标注数据
②EFGH是的内接矩形,本身隐含着EH∥BC这一条件
③EH∥BC提供 ∽
∽
即:,变形即得:
④x是矩形一边EF的长度,因此0<x<6,这里x≠0且x≠6
因为x=0或x=6时矩形都不存在,也就失去了该题的实际意义了。
解:∵EFGH为矩形
∴EH∥BC ∽
∽
∴ (0<x<6)
注:对根据实际问题得到的函数关系,它的自变量取值不仅要使函数解析式有意义,而且还要使实际问题有意义,应根据实际问题的限制,确定自变量的取值范围。
例6:求,当x=12时的函数值
分析:实质上是当x=12时,求代数式的值。
解:当x=12时
=
例7:当x为何值时,与y=1-x的函数值相等
分析:此题即x为何值时成立
解:当时
即:x2+x=0 ∴x1=-1,x2=0
经检验:x1=-1,x2=0都是原方程的根。
∴当x=-1或x=0时,两函数值相等。
六、练习及作业
(一)、选择题
1、 点M在第二象限,且M点到x轴距离为2,到y轴距离为3,则M点坐标是:
A、 (2,3) B、(3,2) C、(-2,3) D、(-3,2)
2、 点P(m,-5)在第二、四象限夹角平分线上,则m的值为:
A、 B、- C、5 D、-5
3、 已知点A(5m-4,3-m)在第二象限,则m的取值范围是:
A、m<3 B、m< C、m>3 D、<m<3
4、 已知点M(a,0)在x轴的负半轴上,则点N(1+a2,-a)在:
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
5、 已知ab≠0,则坐标平面上四个点A(a,b)、B(-a,-b)、C(a,-b)、D(-a,b)中关于x轴对称的点是:
A、 A与B,C与D B、A与C,B与D
C、A与D,B与C D、A与B,B与C
6、在下列函数中,与y=x-2图像完全相同的函数是:
A、 B、
C、 D、
(二)、填空题:
7、已知点P的坐标是(m-n,m+n),则点P关于x轴的对称点坐标是______,点P 关于x轴的对称点坐标是______,点P关于原点的对称点坐标是______。
8、在x轴上的点_____坐标是零;在第四象限夹角的平分线上的点P坐标
为(m,n),则m、n的关系是______。
9、以(4,0)为圆心,5为半径画一圆,则此圆与y轴的交点坐标为______。
10、把等腰三角形的一个底角的度数y表示成顶角度数x函数解析式是______,
自变量x的取值范围是______。
(三)、解答题:
11、求下面各函数中自变量取值范围
(1)
(2)
(3)
12、的两角的角平分线交于点D,设度数为y,度数
为x,求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围。
13、已知点M坐标为(-5,0),点N在第三象限坐标为(x,y)且x+y=-6,设
面积为S。
(1)求S关于x的函数表达式
(2)求x的取值范围
(3)当S=10时,求N点坐标
七、答案及解题指导
1、D 2、C 3、B 4、A 5、B 6、C
解题指导:
1、设M点坐标为(x0,y0)则由题意有x0<0,y0>0及,得x0=-3,y0=2。
2、第二、四象限夹角平分线上的点,其横坐标和纵坐标互为相反数,故m+(-5)=0得m=5。
3、由 5m-4<0 得m<
3-m>0
4、点(a,0)在x轴负半轴上,则a<0,则-a>0,又1+a2>0,则点N(1+a2,-a)在第一象限。
5、关于x轴对称的点应横坐标相同,纵坐标相反,故为A(a,b)与C(a,-b),B(-a,-b)与D(-a,b)。
6、y=x-2,自变量x可取任何实数,而取值范围是x≥2。与y=x-2是不同的解析式,,x≠-2,它们或是自变量的取值范围或是解析式不与y=x-2完全相同,只有,且x可取任何实数,故选C。
7、(m-n,-m-n),(n-m,m+n),(n-m,-m-n)。
8、纵,互为相反数
解题指导:第四象限的点横坐标为正,纵坐标为负,故m>0,n<0即m、n符号相反,又在第四象限角平分线上,横纵坐标绝对值相等,故,所以m、n互为相反数。
9、 (0,3)、(0,-3)
10、 0<x<180
11、(1)x≥-1且x≠0 (2)x>-3 (3)x>1且x≠2
12、 0<x<180
解题指导:即,(0<x<180)
13、(1) (2) -6<x<0 (3)(-2,-4)
解题指导:点N(x,y)在第三象限,故x<0,y<0又
,因为x<0,y<0且x+y=-6,所以-6<x<0,-6<y<0,所以0<6+x<6,所以=x+6,得(-6<x<0)。