2006年中考数学摸拟试题
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意要求.
1. 绝对值为4的实数是 ( )
A. ±4 B. 4 C. －4 D. 2
2. 对x2-3x+2分解因式，结果为 ( )
A. x(x-3)+2 B. (x-1)(x-2) C. (x-1)(x+2) D. (x+1)(x-2)
3. 若a为任意实数，则下列等式中恒成立的是 ( )
A. a+a=a2 B. a×a=2a C. 3a3－2a2=a D. 2a×3a2=6a3
4. 已知小明同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，若此时测得一塔在同一地面的影长为60米，则塔高应为 ( )
A. 90米 B. 80米 C. 45米 D. 40米
5. 化简
时，甲的解法是：=
=
，乙的解法是：=
=，以下判断正确的是 ( )
A. 甲的解法正确，乙的解法不正确 B. 甲的解法不正确，乙的解法正确
C. 甲、乙的解法都正确 D. 甲、乙的解法都不正确
6. 如果关于x的不等式 (a+1) x>a+1的解集为x<1，那么a的取值范围是 ( )
A. a>0 B. a<0 C. a>-1 D. a<-1
7. 如图1，宽为50 cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为 ( )
A. 400 cm2 B. 500 cm2
C. 600 cm2 D. 4000 cm2
8.
点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是 ( )
A．(
) B．(－
)
C．(－
,
) D．(－
,-)
9. 如图2，在ΔABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是 ( )
A. 1 B.
C.
D. 
10. 如图3，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是 ( )
A. 1 B. 2
C. 3 D.
4
二、填空题：本大题共6个小题,每小题3分,共18分.把答案直接填在题中横线上.
11. 若正比例函数y=mx (m≠0)和反比例函数y=
(n≠0)的图象都经过点(2,3)，则m=______，n=_________ .
12. 如图4，在ΔABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则ΔPDE的周长是___________ cm.
13.
若非零实数a,b满足4a2+b2=4ab，则
=___________.
14. 如图5，若CD是RtΔABC斜边上的高，AD=3，CD=4，则BC=__________ .
15. 我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费. 如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为________立方米 .
16. 分析图6①,②,④中阴影部分的分布规律，按此规律在图6③中画出其中的阴影部分.
三. 解答题：本大题共8个小题，共52分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.
17 (本小题满分5分)
请你用三角板、圆规或量角器等工具，画∠POQ=60°，在它的边OP上截取OA=50 mm，OQ上截取OB=70 mm，连结AB，画∠AOB的平分线与AB交于点C，并量出AC和OC 的长 .
(结果精确到1 mm，不要求写作法).
18
(本小题满分6分)
已知等式 (2A-7B) x+(3A-8B)=8x+10对一切实数x都成立，求A、B的值.
19 (本小题满分6分)
我市部分学生参加了2004年全国初中数学竞赛决赛，并取得优异成绩. 已知竞赛成绩分数都是整数，试题满分为140分，参赛学生的成绩分数分布情况如下：
| 分数段 | 0－19 | 20－39 | 40－59 | 60－79 | 80－99 | 100－119 | 120－140 |
| 人 数 | 0 | 37 | 68 | 95 | 56 | 32 | 12 |
请根据以上信息解答下列问题：
(1) 全市共有多少人参加本次数学竞赛决赛？最低分和最高分在什么分数范围？
(2) 经竞赛组委会评定，竞赛成绩在60分以上 (含60分)的考生均可获得不同等级的奖励，求我市参加本次竞赛决赛考生的获奖比例；
(3) 决赛成绩分数的中位数落在哪个分数段内？
(4) 上表还提供了其他信息，例如：“没获奖的人数为105人”等等. 请你再写出两条此表提供的信息.
20 (本小题满分6分)
已知实数a满足a2＋2a－8=0，求
的值.
21
(本小题满分6分)
已知关于x的方程 kx2-2 (k+1) x+k-1=0 有两个不相等的实数根，
(1) 求k的取值范围；
(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
22
(本小题满分7分)
如图7，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为
的中点，BF交AD于点E，且BE
EF=32，AD=6.
(1) 求证：AE=BE；
(2) 求DE的长；
(3) 求BD的长 .
23 (本小题满分8分)
如图8①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .
(1) 如图8②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图8③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；
(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；
(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .
24
(本小题满分8分)
如图9，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD .
(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；
(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QN∥PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 .
① 求S关于t的函数关系式；
② (附加题) 求S的最大值.
注：附加题满分4分，但全卷的得分不超过100分.
参考答案
一、选择题：每小题3分，共10个小题，满分30分.
1-5. ABDCC；7-10. DABAD .
二、填空题：每小题3分，共6个小题，满分18分.
11. 
，6；12. 5；13. 2；14. 
；15. 12；16. 如右图：
三、解答题：共8个小题，满分52分 .
17. 画出图形(基本正确即可).·············· 3分
AC=26 mm，OC=50 mm.·················· 5分
(若量得AC=25 mm或27 mm，OC=49 mm或51 mm，同样给2分；若量得AC=24 mm或28 mm，OC=48 mm或52 mm，给1分；其余答案不给分)
18. 由题意有
················· 2分
(正确建立关于A、B的一个方程，给1分.)
解得：
····················· 6分
即A、B的值分别为
、
.
19.(1) 全市共有300名学生参加本次竞赛决赛，最低分在20－39之间，最高分在120－140之间 2分
(答出参赛人数1分，最低分和最高分同时答对1分)
(2) 本次决赛共有195人获奖，获奖率为65％ .······· 3分
(3) 决赛成绩的中位数落在60—79分数段内.········ 4分
(4) 如“120分以上有12人；60至79分数段的人数最多；……”等. 6分
(写出一条正确信息给1分)
20. =
····· 3分
(每正确分解一个因式给1分)
=
························· 4分
由a2＋2a－8=0知，(a＋1)2=9，·············· 5分
∴ =
，即的值为.······· 6分
21. (1) ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-2(k＋1)]2－4k(k-1)>0，且k≠0，解得k>-1，且k≠0 .即k的取值范围是k>-1，且k≠0 . ·············· 3分
(2) 假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1 , x2的倒数和为0. 4分
则x1 ，x2不为0，且
，即
，且
，解得k=-1 .
···························· 5分
而k=-1 与方程有两个不相等实根的条件k>-1，且k≠0矛盾，
故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在 .···· 6分
22. (1) 连AF，因A为的中点，∴∠ABE=∠AFB，
又∠AFB=∠ACB，∴ ∠ABE=∠ACB .
∵ BC为直径，∴∠BAC=90°，AH⊥BC，∴∠BAE=∠ACB，
∴∠ABE=∠BAE， ∴ AE=BE .··············· 3分
(2) 设DE=x(x>0)，由AD=6，BEEF=32，AEEH=BEEF，··· 4分
有(6-x)(6+x)=32，由此解得x=2， 即DE的长为2 .····· 5分
(3) 由(1)、(2)有：BE=AE=6-2=4，
在RtΔBDE中，BD=
=
.············· 7分
23. 设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2 .
(1) S1=S2+S3 .······················ 1分
(2) S1=S2+S3 . 证明如下：
显然，S1=
，S2=
， S3=
，
∴S2+S3=
=S1 . ·············· 3分
(也可用三角形相似证明)
(3) 当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3 . 证明如下：
∵ 所作三个三角形相似，
∴ 
. ············· 6分
(4) 分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1＝S2＋S3 .······························ 8分
(若仅考虑到特殊的多边形，给1分；若考虑到任意的相似多边形，给2分)
24. (1) 当点P运动2秒时，AP=2 cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=
.
···························· 1分
∴ SΔAPE=
. ······················ 2分
(2) ① 当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=
，QF=
，AP=t+2，AG=1+，PG=
.
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=
. ·· 4分
当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动. 设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4-，QF=，BP=t-6，CP=10-t，PG=
，
而BD=
，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=
.
···························· 6分
当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动. 设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20-2t，QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=.
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=
.
···························· 8分
故S关于t的函数关系式为
②(附加题)当0≤t≤6时，S的最大值为
；······· 1分
当6≤t≤8时，S的最大值为
；············ 2分
当8≤t≤10时，S的最大值为；············ 3分
所以当t=8时，S有最大值为 . ············ 4分
(如正确作出函数图象并根据图象得出最大值，同样给4分)