2006年全国中考数学压轴题全析全解华师大版-中考数学试题、初中数学中考试卷、模拟题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载

2006年全国中考数学压轴题全析全解

1、（2006重庆）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成和两个三角形（如图2所示）.将纸片沿直线（AB）方向平移（点始终在同一直线上），当点于点B重合时，停止平移.在平移过程中，与交于点E,与分别交于点F、P.

(1)　当平移到如图3所示的位置时，猜想图中的与的数量关系，并证明你的猜想；

(2)　设平移距离为，与重叠部分面积为，请写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围；

（3）对于（2）中的结论是否存在这样的的值，使重叠部分的面积等于原面积的.

若存在，求x的值；若不存在，请说明理由.

[解] （1）.因为，所以.

又因为，CD是斜边上的中线，

所以，，即

所以，，所以

所以，.同理：.

又因为，所以.所以

（2）因为在中，，所以由勾股定理，得

即

又因为，所以.所以

在中，到的距离就是的边上的高，为.

设的边上的高为，由探究，得，所以.

所以.

又因为，所以.

又因为，.

所以，

而

所以

(3) 存在. 当时，即

整理，得解得，.

即当或时，重叠部分的面积等于原面积的

2、（2006浙江金华）如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.

(1)求直线AB的解析式;

(2)若S_梯形OBCD＝,求点C的坐标;

(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的

三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件

的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

[解] （1）直线AB解析式为：y=x+．　

（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x，x+），那么OD＝x，CD＝x+．　　

∴＝＝．

由题意：＝，解得（舍去）

∴　Ｃ（２，）

方法二：∵　,＝，∴．

由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD．

∴　＝CD×AD＝＝．可得CD＝．

∴　AD=１，OD＝２．∴C（２，）．

（３）当∠OBP＝Rt∠时，如图

　　　①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3，

∴（3，）．

　　　②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1．

∴（1，）．

当∠OPB＝Rt∠时

③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°

过点P作PM⊥OA于点M．

方法一：在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝．

∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°，

∴ OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴（，）．

方法二：设Ｐ（x ，x+），得OM＝x ，PM＝x+

由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．

∵tan∠POM=== ，tan∠ABOC==．

∴x+＝x，解得x＝．此时，（，）．

④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．　　　

　　 ∴　PM＝OM＝．

∴　（，）（由对称性也可得到点的坐标）．

当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求.

综合得，符合条件的点有四个，分别是：

（3，），（1，），（，），（，）．

3、（2006山东济南）如图1，已知中，，．过点作，且，连接交于点．

（1）求的长；

（2）以点为圆心，为半径作⊙A，试判断与⊙A是否相切，并说明理由；

（3）如图2，过点作，垂足为．以点为圆心，为半径作⊙A；以点为圆心，为半径作⊙C．若和的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切，且使点在⊙A的内部，点在⊙A的外部，求和的变化范围．

[解]

（1）在中，，

　　　　．

　　　　，．

　　　　．

　　　　，．

（2）与⊙A相切．

　　　　在中，，，

　　　　，．

　　　　又，，

　　　　与⊙A相切．

（3）因为，所以的变化范围为．

　　　　当⊙A与⊙C外切时，，所以的变化范围为；

　　　　当⊙A与⊙C内切时，，所以的变化范围为．

4、（2006山东烟台）如图，已知抛物线L₁: y=x²-4的图像与x有交于A、C两点，

（1）若抛物线l₂与l₁关于x轴对称，求l₂的解析式；

（2）若点B是抛物线l₁上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l₂上；

（3）探索：当点B分别位于l₁在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。

[解]

（1）设l₂的解析式为y=a(x-h)²+k

∵l₂与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l₁与l₂关于x轴对称，

　　∴l₂过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4）

　　∴y=ax²+4

　　∴0=4a+4　得 a=-1

　 ∴l₂的解析式为y=-x²+4

(2)设B(x₁,y₁)

　　∵点B在l₁上

　　∴B(x₁,x₁²-4)

　　∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称

　　∴B、D关于O对称

　 ∴D(-x₁,-x₁²+4).

　　将D(-x₁,-x₁²+4)的坐标代入l₂：y=-x²+4

　　　　 ∴左边=右边

　　　　 ∴点D在l₂上.

(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则

　　S=2*S_△ABC=AC*y₁=4y₁

　　a.当点B在x轴上方时，y₁＞0

　　　∴S=4y₁,它是关于y₁的正比例函数且S随y₁的增大而增大，

　　　∴S既无最大值也无最小值

　　b.当点B在x轴下方时，-4≤y₁＜0

　　　∴S=-4y₁,它是关于y₁的正比例函数且S随y₁的增大而减小，

　　　∴当y₁=-4时，S由最大值16，但他没有最小值

　　　此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上.

　　　∴AC⊥BD

　　　∴平行四边形ABCD是菱形

　　　此时S_最大=16.

5、（2006浙江嘉兴）某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚（点C）的水平线为x轴、过山顶（点A）的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知AB所在抛物线的解析式为，BC所在抛物线的解析式为，且已知．

（1）设是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；

（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）．

①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米）；

②这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？

（3）在山坡上的700米高度（点D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点E处，（米）．假设索道DE可近似地看成一

段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为．试求索道的最大悬空高度．

[解] （1）∵是山坡线AB上任意一点，

∴，，

∴，

∵，∴＝4，∴

（2）在山坡线AB上，，

①令，得；令，得

∴第一级台阶的长度为（百米）（厘米）

同理，令、，可得、

∴第二级台阶的长度为（百米）（厘米）

第三级台阶的长度为（百米）（厘米）

②取点，又取，则

∵

∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚

（注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700米高度，共500级．从100米高度到700米高度都不能铺设这种台阶．解题时取点具有开放性）

②另解：连接任意一段台阶的两端点P、Q，如图

∵这种台阶的长度不小于它的高度

∴

当其中有一级台阶的长大于它的高时，　

在题设图中，作于H

则，又第一级台阶的长大于它的高

∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚

（3）

、、、

由图可知，只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值

索道在BC上方时，悬空高度

当时，

∴索道的最大悬空高度为米．

6、（2006山东潍坊）已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与二次函数的图象交于两点（在的左侧），且点坐标为．平行于轴的直线过点．

（1）求一次函数与二次函数的解析式；

（2）判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；

（3）把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点．当为何值时，过三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

[解]（1）把代入得，

一次函数的解析式为；

二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴，

　设二次函数解析式为，

·········································································· 把代入得，

二次函数解析式为．

（2）由

解得或，

，

过点分别作直线的垂线，垂足为，

则，

直角梯形的中位线长为，

过作垂直于直线于点，则，，

，

的长等于中点到直线的距离的2倍，

以为直径的圆与直线相切．

（3）平移后二次函数解析式为，

令，得，，，

　过三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点，

·································· 要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离，

此时，半径为2，面积为，

设圆心为中点为，连，则，

在三角形中，，

，而，，

　当时，过三点的圆面积最小，最小面积为．

7、（2006江西）问题背景　　某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：

①如图1，在正三角形△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60º，则BM＝CN；

②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90º，则BM＝CN；

然后运用类比的思想提出了如下命题：

③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108º，则BM＝CN。

任务要求：

（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对得4分，选②做对得3分，选③做对得5分）

(2)请你继续完成下列探索：

①请在图3中画出一条与CN相等的线段DH，使点H在正五边形的边上，且与CN相交所成的一个角是108º，这样的线段有几条？（不必写出画法，不要求证明）

②如图4，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108º，请问结论BM＝CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。

[解] （1）以下答案供参考：

　　　（1）如选命题①

　　证明：在图1中，∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60°

∵∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3

又∵BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°∴ΔBCM≌ΔCAN

∴BM=CN　（2）如选命题②

证明：在图2中，∵∵∠BON=90°∴∠1+∠2=90°

∵∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3

又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°∴ΔBCM≌ΔCDN

∴BM=CN　

（3）如选命题③

证明；在图3中，∵∠BON=108°∴∠1+∠2=108°

∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3　　　　　　　　

又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°

∴ΔBCM≌ΔCDN　　

∴BM=CN　

(2)①答：当∠BON=时结论BM=CN成立．

②答当∠BON=108°时。BM=CN还成立

　证明；如图5连结BD、CE.

在△BCI)和△CDE中

∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE

∴ΔBCD≌ ΔCDE

∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN　

∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN　

∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°

∴∠MBC=∠NCD

又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN

∴ΔBDM≌ ΔCNE 　∴BM=CN

8、（2006吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，两个函数的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S。

（1）求点A的坐标。

（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式。

（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。

（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是____________。

[解] （1）由　　可得

　　　　∴A（4，4）。

（2）点P在y = x上，OP = t，

则点P坐标为

点Q的纵坐标为，并且点Q在上。

∴，

即点Q坐标为。

。

当时，。

当，

当点P到达A点时，，

当时，

。

（3）有最大值，最大值应在中，

当时，S的最大值为12。

（4）。

9、（2006湖南常德）把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点．

（1）如图9，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时，　　　　　　．

（2）将三角板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为．其中

，问的值是否改变？说明你的理由．

（3）在（2）的条件下，设，两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式．

[解] （1）8

　　（2）的值不会改变．

　　理由如下：在与中，

　　即

（3）情形1：当时，，即，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，

　　由（2）知：得

　　于是

　　情形2：当时，时，即，此时两三角板重叠部分为，

　　由于，，易证：，

　　即解得

　　于是

　　综上所述，当时，

　　　　　　　当时，

法二：连结，并过作于点，在与中，

法三：过作于点，在中，

　于是在与中

即

10、（2006湖北宜昌）如图，点O是坐标原点，点A（n，0）是x轴上一动点(n＜0＝以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB＝2OA．矩形AOBC绕点A逆时针旋转90^o得矩形AGDE．过点A的直线y＝kx＋m 交y轴于点F，FB＝FA．抛物线y=ax²+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HM⊥x轴，垂足为点M．(1)求k的值；