湖南省示范性高中2006届高三八校4月联考
数学（理科）测试试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟。
参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么 其中，c表示底面周长、l表示斜高或
P（A·B）=P（A）·P（B） 母线长
如果事件A在1次实验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复实验中恰好发生k
次的概率 其中R表示球的半径
第I卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
１．复数
所对应的点在
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
２．函数
的定义域为
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．（1，+∞）
Ｄ．
３．已知
,且
的最大值是3，则
的值为
Ａ．1 Ｂ．-1 Ｃ．0 Ｄ．2
４．已知
，
，
则向量
与向量
的夹角是
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
５．某学校有高一学生720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样的方
法，抽取180人进行英语水平测试．已知抽取的高一学生数是抽取的高二学生数、高三
学生数的等差中项，且高二年级抽取40人，则该校高三学生人数是
Ａ．480 Ｂ．640 Ｃ．800 Ｄ．960
６．若
是两个不重合的平面，
是两条不重合的直线，现给出下列四个命题：
①若
则
； ②若
，则
；
③若
，则
； ④若
，则
．
其中正确的命题是
Ａ．①② Ｂ．②④ Ｃ．③④ Ｄ．②③④
７．数列
的前100项的和等于
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
８．命题甲：函数
图象的一条对称轴方程是
；命题乙：直线
的倾斜角为 
，则
Ａ．甲是乙的充分条件 Ｂ．甲是乙的必要条件
Ｃ．甲是乙的充要条件 Ｄ．甲是乙的不充分也不必要条件
９．如图过抛物线
焦点的直线依次交抛
物线与圆
于A，B，C，D，
则
=
Ａ．4 Ｂ．2
Ｃ．1 Ｄ．
10．函数
在区间(
，1)上有最小值，则函数
在区间(1，
上一定
Ａ．有最小值 Ｂ．有最大值 Ｃ．是减函数 Ｄ．是增函数
二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上．
11．设全集为实数集R，若集合
，则集合
等于
．
12．
展开式的常数项为
．
13．如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，
且PA=AD，则PB与AC所成的角的大小为 ．
|
|
|
|
|
| 4 |
|
|
|
|
|
14．将1，2，3，……,9这九个数字填在如图所示
的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，
每一列从上到下也依次增大，数字4固定在中
心位置时，则所有填空格的方法有 种.
15．在一张纸上画一个圆，圆心为O，并在圆O外设置一个定点F，折叠纸片使圆周上某一
点与F点重合，设这一点为M，抹平纸片得一折痕AB，连MO并延长交AB于P．当
点
在圆
上运动时，则（i）P的轨迹是
；（ii）直线AB与该轨迹的公共点的个数是
．
三．解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
乒乓球世锦赛决赛，由马琳对王励勤，实行“五局三胜”制进行决赛，在之前比赛中马琳每一局获胜的概率为
，决赛第一局王励勤获得了胜利，求：
（１）马琳在此情况下获胜的概率；
（２）设比赛局数为
，求的分布及E．
17．（本小题满分12分）
已知函数
，
，且函数
的图象是函数
的图象按向量
平移得到的．
（１）求实数
的值；
（２）设
，求
的最小值及相应的
．
18．（本小题满分1４分）
如图，正三棱柱ABC一A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是
，Ｄ为AC的中点．
（１）求证：B1C//平面A1BD；
（２）求二面角A1一BD一A的大小；
（３）求异面直线AB1与BD之间的距离．
19．（本小题满分14分）
是正数数列
的前n项的和，数列S12，S22、……、Sn2 ……是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列
为无穷等比数列，其前四项的和为120，第二项与第四项的和为90．
（１）求
；
（２）从数列{
}中依次取出部分项组成一个无穷等比数列
，使其各项和等于
，求数列公比
的值．
20．（本小题满分14分）
已知函数
(为实数).
（１）若
在[-3，-2 ）上是增函数，求实数的取值范围；
（２）设的导函数
满足
，求出的值.
21．（本小题满分14分）
已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程是
，且双曲线C过点
．
（１）求此双曲线C的方程；
（２）设直线L过点A（0，1），其方向向量为
（
>0），令向量
满足
．问：双曲线C的右支上是否存在唯一一点Ｂ，使得
．若存在，求出对应的的值和Ｂ的坐标；若不存在，说明理由．
数学试题(理科)答案
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
１．Ｄ ２．Ｂ ３．Ａ ４．Ｃ ５．Ｄ ６．Ｄ ７．Ａ ８．Ａ ９．Ｃ 10．Ｄ
二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上．
11．
12．
13． 14．
15
16．（本小题满分12分）
解：（１）马胜出有两种情况3：1 或3：2，
则马胜的概率为
． ……………………………… 6分
（２）
，
， ………………… 8分
，………………………………………………10分
所以分布列如下：
|
| 3 | 4 | 5 |
| P |
|
|
|
……………………………………………………………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（1）因为
，
，
所以
．…………………………………………………………………………6分
（２）因为
，
所以当
时，取得最小值
． ……………………12分
18．（本小题满分14分）
解：（１）证明（略） …………………………………………………………………… 4分
（２）
…………………………………………………………………………… 9分
（３）
……………………………………………………………………………14分
19．（本小题满分14分）
解：（１）{Sn}是以3为首项，以1为公差的等差数列；所以Sn2=3+(n–1)=n+2
因为an>0，所以Sn=
(nÎN)． ………………………………………………… 2分
当n≥2时，an=Sn–Sn–1=–
又a1=S1=
，
所以an=
(nÎN)．…………………………………………… 4分
设{bn}的首项为b1，公比为q，则有
， ………………………… 6分
所以
，所以bn=3n(nÎN)． …………………………………………………… 8分
（２）由（１）得=(
)n，设无穷等比数列{cn}首项为c1=()p，公比为()k，(p、kÎN)，
它的各项和等于=
， ……………………………………………………………10分
则有
，所以()p=[1–()k]， ………………………………………11分
当p≥k时3p–3p–k=8，即3p–k(3k–1)=8， 因为p、kÎN，所以只有p–k=0，k=2时，
即p=k=2时，数列{cn}的各项和为． ……………………………………………12分
当p<k时，3k–1=8.3k–p，因为k>p右边含有3的因数，
而左边非3的倍数，所以不存在p、kÎN，
综合以上得数列公比的值为
．………………………………………………14分
20．（本小题满分14分）
解：（１）由题意得
0对一切∈[-3,-2 ）恒成立，
即2
-
0对一切∈[-3,-2 ）恒成立． ………………………………… 2分
∴2
,
=
,…………………………………… 4分
当∈[-3,-2 ）时， -（-）2+
<-（2-）2+=-6，
∴>-
. …………………………………………………… 6分
∴
，所以的取值范围是（-∞，-].
…………………………………
7分
（２）因为
=2-[2(1-)+
]，
当
时，则为单调递减函数，没有最大值． ……………………………
9分
当>0时, ∵<1 ∴2(1-)>0
,>0,
∴
. ………………………………………………………………11分
由2(1-)+
得=1
由于=1+>1，舍去．
所以当=1-时，
．……………………………………13分
令2-2
=1-2
，解得=或=
-2，即为所求． …………………14分
21．（本小题满分14分）
解：（１）依题意设双曲线C的方程为：
，点P代入得
．
所以双曲线C 的方程是
．……………………………………………… 4分
（２）依题意，直线
的方程为
（
）， ……………………………… 5分
设
为双曲线
右支上满足的点，
则到直线的距离等于1，即
．……………………… 6分
①若
，则直线与双曲线右支相交，
故双曲线的右支上有两个点到直线的距离等于1，与题意矛盾．……………… 8分
②若
（如图所示），则直线在双曲线的右支的上方，故
，
从而有
．
又因为
，所以有
，
整理，得
．……（★） ………10分
（i）若
，则由（★）得
，
，
即
． ……………………………………………………………………………12分
（ii）若
，则方程（★）必有相等的两个实数根，故由
，
解之得
（
不合题意，舍去），此时有
，
，即
．
综上所述，符合条件的
的值有两个：
，此时；
，此时． ………………………………14分