江苏省南京市金陵中学2006年高三第三次模拟考试
数学试题 2006.05.23
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．中国数学教育网 http://www.mathedu.cn
(1)设集合M＝{θθ＝，k∈Z}，N＝{xcos2x＝0，x∈R}，P＝{αsin2α＝1，α∈R}，则下列关系式中成立的是中国数学教育网 http://www.mathedu.cn ( A )
(A)P,\d\fo0 ((N,\d\fo0 ((M (B)P＝N,\d\fo0 ((M (C)P,\d\fo0 ((N＝M (D)P＝N＝M
(2)下列四个函数中，值域是(－∞，－2]的一个函数是 ( D )
(A)y＝－2x＋1(x＞) (B)y＝－(x＋1)2－2(－1≤x≤0)
(C)y＝x＋(x＜－1) (D)y＝log0.5(x＋＋1)(x＞1)
(3)若实数m，n满足＜＜0，则下列结论中不正确的是 ( D )
(A)m2＜n2 (B)mn＜n2 (C)＋＞2 (D)m＋n＞m＋n
(4)要得到函数y＝cot(－3x)的图象，可将y＝tan3x的图象 ( B )
(A)向右平移个单位 (B)向左平移个单位 (C)向右平移个单位 (D)向左平移个单位
(5)已知直线m，n和平面α，则m∥n的一个必要不充分条件是 ( D )
(A)m∥α，n∥α (B)m⊥α，n⊥α (C)m∥α，n
α (D)m，n与α所成角相等
(6)已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，a与b的夹角为60o，则直线xcosα－ysinα＋1＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝1的位置关系是 ( C )
(A)相切 (B)相交 (C)相离 (D)随α，β的值而定
(7)已知x，y满足约束条件则z＝2x＋4y的最小值为 ( D )
(A)10 (B)－10 (C)6 (D)－6
(8)进入21世纪，肉食品市场对家禽的需求量大增，发展家禽养殖业成了我国一些地区发展农村经济的一个新举措．下列两图是某县2000～2005年家禽养殖业发展规模的统计结果，那么，此县家禽养殖数最多的年份是 ( B )
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(A)2000年 (B)2001年 (C)2003年 (D)2004年
(9)已知椭圆＋＝1上有n个不同的点P1，P2，P3，…，Pn．设椭圆的右焦点为F，数列｛PnF｝是公差大于的等差数列，则n的最大值为 ( B )
(A)2007 (B)2006 (C)1004 (D)1003
(10)以正方体ABCD－A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形共面的概率为 ( D)
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
(11)在(1－)15的展开式中，系数最大的项是第 9 项．
(12)设{an}为等差数列，从{a1，a2，a3，…，a10}中任取4个不同的数，使这4个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多有 24 个．
(13)已知命题p：不等式x－m＋x－1＞1的解集为R，命题q：f(x)＝log(3＋m)x是(0，＋∞)上的增函数．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，则实数m的取值范围是 (－3，－2)∪ [0，2] ．
(14)将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合．若此时点C(7，3)与点D(m，n)重合，则m＋n的值是 ．
(15)如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A，B，C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于 60o ．
(16)有下列命题：
①G＝（G≠0）是a，G，b成等比数列的充分非必要条件；
②若角α，β满足cosαcosβ=1，则sin(α+β)＝0；
③若不等式x－4+x－3＜a的解集非空，则必有a≥1；
④函数y=sinx+sinx的值域是［－2，2］．
其中正确命题的序号是 ①②③④ ．（把你认为正确的命题的序号都填上）
三、解答题：本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17) (本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列．(I)求∠B的范围；(II)求y＝2sin2B＋sin(2B＋)的取值范围．
解：(1)因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac．
根据余弦定理，得cosB＝＝≥＝．
又因为0＜B＜，所以0＜B≤．
所以∠B的范围是(0，]．
(2)y＝2sin2B＋sin(2B＋)＝1－cos2B＋sin2Bcos＋cos2Bsin
＝1＋sin2Bcos－cos2Bsin＝1＋sin(2B－)．
因为0＜B≤，所以－＜2B－≤，所以－＜sin(2B－)≤1，所以＜y≤2．
所以y＝2sin2B＋sin(2B＋)的取值范围是(，2]．
(18)(本小题满分14分)如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝1，F为CD的中点．
(I)求证：EF⊥面BCD；
(II)求多面体ABCDE的体积；
(III)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值．
解：(I)取BC中点G，连FG，AG．
因为AE⊥面ABC，BD∥AE，所以BD⊥面ABC．
又AGÌ面ABC，所以BD⊥AG．
又AC＝AB，G是BC的中点，所以AG⊥BC，所以AG
平面BCD．
又因为F是CD的中点且BD＝2，所以FG∥BD且FG＝BD＝1，所以FG∥AE．
又AE＝1，所以AE＝FG，所以四边形AEFG是平行四边形，所以EF∥AG，所以EF⊥面BCD．
(II)设AB中点为H，则由AC＝AB＝BC＝2，可得CH⊥AB且CH＝．
又BD∥AE，所以BD与AE共面．
又AE⊥面ABC，所以平面ABDE⊥平面ABC．
所以CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C－ABDE的高．
故四棱锥C－ABDE的体积为VC－ABDE＝SABDE·CH＝[(1＋2)×2×]＝．
(III)过C作CK⊥DE于K，连接KH．
由三垂线定理的逆定理得KH⊥DE，所以∠HKC为二面角C－DE－B的平面角．
易知EC＝，DE＝，CD＝2．
由S△DCE＝×2×＝×CK，可得CK＝．
在Rt△CHK中，sin∠HKC＝＝，所以cos∠HKC＝，
所以面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值为．
(19)(本小题满分14分)某空调器厂为了规范其生产的空调器的市场营销，在一个地区指定一家总经销商，规定经总销商之间不得“串货”（即一个地区的总经销商不得向其他地区销售该品牌空调器）．经空调器厂和各地区总经销商联合市场调查，预计今年的七月份（销售旺季），市场将需求售价为1800元/台的P型空调器200万台，但该厂的生产能力只有150万台．为了获得足够的资金组织生产，该空调器厂规定，每年的销售旺季前预付货款的总经销商在旺季将获得供货优待．以东部地区为例，今年的7月份市场将需求P型空调器10万台，如果东部地区的总经销商在2月1日将10万台P型空调器的货款全部付清，空调器厂按1500元/台的价格收取货款，并在7月1日保证供货；每推迟一个月打入货款，每台空调器的价格将增加6元，并且供货量将减少2%．已知银行的月利率为0.5%．
(I)就P型空调器的进货单价而言，总经销商在2月1日和7月1日打入货款，哪个划算？
(II)就东部地区经销P型空调器而言，总经销商在2月1日和7月1日打入货款，哪个划算？
(III)东部地区的小王7月1日用分期付款的方式购买了1台P型空调器，如果采用每月“等额还款”的方式从7月1日开始分6次付清，小王每一次的付款额约是多少？
(以下数据仅供参考：1.0054＝1.020151，1.0055＝1.025251，1.0056＝1.030378，0.985＝0.903921，0.986＝0.885842，0.987＝0.868126)
解 (I)2月1日打入货款，P型空调器的进货单价为1500元；7月1日打入货款，P型空调器的进货单价为1500＋5×6＝1530（元）．
由于1500×(1＋0.5%)5＝1500×1.025251≈1537.88＞1530，
所以，就P型空调器的进货单价而言，经销商在7月1日打入货款划算．
(II)2月1日打入货款，东部地区经销P型空调器的利润是100000×(1800－1537.88)＝（元）；
7月1日打入货款，东部地区经销P型空调器的台数是100000×(1－2%)5＝90392.1≈90392，
利润为90392×(1800－1530)＝（元）．
由于＜，所以，就东部地区经销P型空调器而言，在2月1日打入货款最划算．
(III)设小王每个月的还款数额为x元，
则(1＋1.005＋1.0052＋1.0053＋1.0054)x＝(1800－x)×1.0055，
即 x＝1800×1.0055，
解得x＝＝＝303.75(元)．
答：小王每一次的付款额约是303.75元．
(20)(本小题满分14分)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e，A为椭圆上一点，弦AB，AC分别过焦点F1，F2．
(I)若∠AF1F2＝α，∠AF2F1＝β，试用α，β表示椭圆的离心率e；
(II)设→＝λ1→，→＝λ2→，当A在椭圆上运动时，求证：λ1＋λ2为定值．
解：(I)设F1(－c，0)，F2(c，0)．在△AF1F2中，由正弦定理得
＝＝，
即 AF1＝，AF2＝，
所以 2a＝AF1＋AF2＝＋
＝2c(＋)＝2c·，
得 e＝．
(II)设A(x0，y0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)．
①当y0＝0时，λ1＋λ2＝2＝；当AB或AC与x轴垂直时，λ1＋λ2＝．
②当AB，AC都不与x轴垂直且y0≠0时，AC的方程为y＝(x－c)，
由消x得[b2(x0－c)2＋a2y]y2＋2b2y0(x0－c)y＋c2b2y－a2b2y＝0．
由韦达定理得 y2y0＝，
所以 y2＝，
所以 λ2＝＝－＝－ ，
同理可得 λ1＝＝－＝－，
故 λ1＋λ2＝－[＋]
＝－＝＝＝，
综上可知 λ1＋λ2＝．
(21)(本小题满分16分)设函数f(x)＝x3＋x2＋x＋5(a，b∈R，a＞0)的定义域为R．当x＝x1时取得极大值，当x＝x2时取得极小值．
(I)若x1＜2＜x2＜4，求证：函数g(x)＝ax2＋bx＋1在区间(－∞，－1]上是单调减函数；
(II)若x1＜2，x1－x2＝4，求实数b的取值范围．
解法一 f '(x)＝ax2＋(b－1)x＋1．
因为f(x)当x＝x1时取得极大值，当x＝x2时取得极小值．
所以f '(x)＝ax2＋(b－1)x＋1＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2．
(Ⅰ)由题知，f '(x)＝0的两个根x1，x2满足x1＜2＜x2＜4，
当且仅当
所以16a＋4b＞3＞3(4a＋2b)，得－＞－1．
因为函数g(x)＝ax2＋bx＋1在区间(－∞，－)上是单调减函数，
所以函数g(x)＝ax2＋bx＋1在区间(－∞，－1]上是单调减函数；
(Ⅱ)因为方程ax2＋(b－1)x＋1＝0的两个根x1，x2(x1＜x2)，且x1·x2＝＞0，所以x1，x2同号．
又x1－x2＝＝4，所以(b－1)2＝16a2＋4a．③
若－2＜x1＜0，则－2＜x1＜x2＜0，则x1－x2＜2，与x1－x2＝4矛盾，
所以0＜x1＜2，则所以4a＋1＜2(1－b)，
结合③得(4a＋1)2＜4(1－b)2＝4(16a2＋4a)，解得a＞或－a＜．结合a＞0，得a＞．
所以2(1－b)＞4a＋1＞，得b＜．
所以实数b的取值范围是(－∞，)．
解法二 f'(x)＝ax2＋(b－1)x＋1．
(Ⅰ)由题知，f'(x)＝0的两个根x1，x2满足x1＜2＜x2＜4，
当且仅当
由①得，－b＞2a－．
因为a＞0，所以－＞1－．③
由结合③，得－＞－1．
因为函数g(x)＝ax2＋bx＋1在区间(－∞，－)上是单调减函数，
所以函数g(x)＝ax2＋bx＋1在区间(－∞，－1)上是单调减函数；
(Ⅱ)因为x1·x2＝＞0，所以x1，x2同号．
由x1＜2，得－2＜x1＜2．
若－2＜x1＜0，则－2＜x1＜x2＜0，则x1－x2＜2，与x1－x2＝4矛盾，
所以0＜x1＜2，则x2＞4．
所以得b＜．
又因为x1－x2＝＝4，所以(b－1)2＝16a2＋4a．
根据④⑤得得结合b＜，得b＜；
所以实数b的取值范围是(－∞，)．