2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么
P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R表示球的半径
如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k
次的概率
其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数
在复平面内，z所对应的点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．极限
存在是函数
在点
处连续的 （ ）
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命
题：①若
； ②若
；
③若
；
④若m、n是异面直线，
其中真命题是 （ ）
A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④
5．函数
的反函数是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．若
，则
的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．在R上定义运算
若不等式
对任意实数
成立，
则 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范
围是 （ ）
A．（1，2） B．（2，+∞） C．[3，+∞
D．（3，+∞）
9．若直线
按向量
平移后与圆
相切，则c的值为（ ）
A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8
10．已知
是定义在R上的单调函数，实数
，
，若
，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知双曲线的中心在原点，离心率为
.若它的一条准线与抛物线
的准线重合，
则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是 （ ）
A．2+
B．
C．
D．21
12．一给定函数的图象在下列图中，并且对任意
，由关系式
得到的数列
满足
，则该函数的图象是 （ ）
 |
|
A B C D
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．
的展开式中常数项是
.
14．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，
A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 .
15．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，
5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）
16．
是正实数，设
是奇函数}，若对每个实数，
的元素不超过2个，且有使含2个元素，则的取值范围是
.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
|
已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，
△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.
（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的
球面上，求△ABC的边长.
|
如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、
邻边互相垂直的十字形，其中
（Ⅰ）将十字形的面积表示为
的函数；
（Ⅱ）为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
19．（本小题满分12分）
已知函数
设数列
}满足
，数列
}满足
（Ⅰ）用数学归纳法证明
；
（Ⅱ）证明
20．（本小题满分12分）
某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结
果为A级的概率如表一所示，分别求生产
出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、
η分别表示一件甲、乙产品的利润，在
（I）的条件下，求ξ、η的分布列及
Eξ、Eη；
（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额
如表三所示.该工厂有工人40名，可用资.
|
|
品的数量，在（II）的条件下，x、y为何
值时，
最大？最大值是多少？
（解答时须给出图示）
21．（本小题满分14分）
|
的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足
点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明
；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，
使△F1MF2的面积S=
若存在，求∠F1MF2
的正切值；若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分12分）
函数在区间（0，+∞）内可导，导函数
是减函数，且
设
是曲线在点（
）得的切线方程，并设函数
（Ⅰ）用
、
、
表示m；
（Ⅱ）证明：当
；
（Ⅲ）若关于的不等式
上恒成立，其中a、b为实数，
求b的取值范围及a与b所满足的关系.
2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数学参考答案与评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.A 10.A 11.B 12.A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。
13．－160 14．
15．576 16．
三、解答题
17．本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考
|
（Ⅰ）证明： 连结CF.
……4分
（Ⅱ）解法一：
为所求二面角的平面角. 设AB=a，则AB=a，则
……………………8分
解法二：设P在平面ABC内的射影为O. 
≌
≌
得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. 
为所求二面角的平面角.
设AB=a，则
…………8分
（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R. 
，
的边长为
.………12分
解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.
连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形. 设AB=x，球半径为R.
.……12分
18．本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和
三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力. 满分12分.
（Ⅰ）解：设S为十字形的面积，则
………………4分
（Ⅱ）解法一：
其中
………8分 当
最大.……10分
所以，当
最大. S的最大值为
…………12分
解法二： 因为
所以
……………………8分
令S′=0，即
可解得
………………10分
所以，当时，S最大，S的最大值为 …………12分
19．本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力，满分12分。
（Ⅰ）证明：当
因为a1=1，
所以
………………2分
下面用数学归纳法证明不等式
（1）当n=1时，b1=
，不等式成立，
（2）假设当n=k时，不等式成立，即
那么 
………………6分
所以，当n=k+1时，不等也成立。
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。 …………8分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
所以 
…………10分 
故对任意
………………（12分）
20．（本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建
立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力，满分12
分.
（Ⅰ）解：
…………2分
（Ⅱ）解：随机变量
、
的分别列是
 |
…………6分
|
目标函数为 
……8分
作出可行域（如图）：
作直线
将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上
的点M点与原点距离最大，此时
…………10分
取最大值. 解方程组
得
即
时，z取最大值，z的最大值为25.2 .……………12分
21．本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应
用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.
|
由P
在椭圆上，得
由
，所以 
………………………3分
证法二：设点P的坐标为记
则
由
证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为
由椭圆第二定义得
，即
由
，所以…………………………3分
（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为
当
时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
当
时，由
，得
.
又
，所以T为线段F2Q的中点.
在△QF1F2中，
，所以有
综上所述，点T的轨迹C的方程是…………………………7分
解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
当时，由
，得.
又，所以T为线段F2Q的中点.
设点Q的坐标为（
），则
因此
①
由
得
②
将①代入②，可得
综上所述，点T的轨迹C的方程是……………………7分
|
）使S=
的充要条件是
由③得
，由④得
所以，当
时，存在点M，使S=；
当
时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当时，
，
由
，
，
，得
解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是
|
由④得 上式代入③得
于是，当时，存在点M，使S=；
当时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当时，记
，
由
知
，所以
…………14分
22．本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分
（Ⅰ）解：
…………………………………………2分
（Ⅱ）证明：令
因为递减，所以
递增，因此，当
；
当
.所以是
唯一的极值点，且是极小值点，可知的
最小值为0，因此
即
…………………………6分
（Ⅲ）解法一：
，
是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意
成立的充要条件是
另一方面，由于
满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，
的充要条件是：过点（0，
）与曲线
相切的直线的斜率大于，该切线的方程为
于是
的充要条件是
…………………………10分
综上，不等式
对任意成立的充要条件是
①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式
②
有解、解不等式②得
③
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
（Ⅲ）解法二：
是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意成立的充要条件是
………………………………………………………………8分
令
，于是
对任意成立的充要条件是
由
当
时
当
时，
，所以，当
时，
取最小值.因此
成立的充要条件是
，即
………………10分
综上，不等式
对任意成立的充要条件是
①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式
②
有解、解不等式②得
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分