2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
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1．设全集U={－2，－1，0，1，2}，A={－2，－1，0}，B={0，1，2}，则（ UA）∩B=
（ ）
A．{0} B．{－2，－1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．tan600°的值是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数f(x)＝
的定义域是 （ ）
A．
－∞，0] B．[0，＋∞
C．（－∞，0） D．（－∞，＋∞）
|
的中点，则E到平面AB C1D1的距离为（ ）
A．
B．
C．
D． 
5．已知数列
满足
，则
= （ ）
A．0 B． C． D．
6．设集合A＝｛x
＜0
，B＝｛x x －1＜a，若“a＝1”是“A∩B≠
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．设直线的方程是
，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是 （ ）
A．20 B．19 C．18 D．16
8．已知双曲线
－
＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为
（O为原点），则两条渐近线的夹角为 （ ）
A．30º B．45º C．60º D．90º
9．P是△ABC所在平面上一点，若
，则P是△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
10．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2 x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最
大利润为 （ ）
A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分（第15小题每空2分），共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
11．设直线
和圆
相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是
.
12．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线.为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样.已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品.
13．在（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）6的展开式中，x 2项的系数是 .（用数字作答）
14．设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f－1(x)，f (4)＝0，则f－1(4)＝ .
15．已知平面
和直线，给出条件：①
；②
；③
；④
；⑤
.
（i）当满足条件
时，有
；（ii）当满足条件
时，有
.
（填所选条件的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知数列
为等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明
17．（本小题满分12分）
已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.
18．（本小题满分14分）
|
的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.
（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；
（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.
|
19．（本小题满分14分）
设
，点P（
，0）是函数
的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.
（Ⅰ）用表示a，b，c；
（Ⅱ）若函数
在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.
20．（本小题满分14分）
某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.
（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；
（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.
21．（本小题满分14分）
已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线
l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设
＝λ
.
（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；
（Ⅱ）若
，△PF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；
（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.
2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（文史类）参考答案
一、选择题：1—5：CDABB 6—10： ACDDB
二、填空题：
11．
12．5600 13．35 14．－2 15．③⑤ ②⑤
三、解答题：
16．（I）解：设等差数列
的公差为d.
由
即d=1.
所以
即
（II）证明因为
，
所以
17．解法一 由
得
所以
即
因为
所以
，从而
由
知
从而
.
由
即
由此得
所以
解法二：由
由
、
，所以
即
由
得
所以
即 因为
，所以
由
从而，知B+2C=
不合要求.
再由
，得 所以
18．解法一（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1
所在直线分别为
轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），
B（0，3，0），C（0，1，）
|
）.
从而
所以AC⊥BO1.
（II）解：因为
所以BO1⊥OC，
由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，
是平面OAC的一个法向量.
设
是0平面O1AC的一个法向量，
由
得
.
设二面角O—AC—O1的大小为
，由
、的方向可知
，>，
|
所以cos
，>=
即二面角O—AC—O1的大小是
解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
|
OC是AC在面OBCO1内的射影.
因为
，
所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1
由三垂线定理得AC⊥BO1.
（II）解 由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC.
设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1F在平面AOC
内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC.
所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角.
由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，
所以
，
从而
， 又O1E=OO1·sin30°=，
所以
即二面角O—AC—O1的大小是
19．解：（I）因为函数
，
的图象都过点（，0），所以
，
即
.因为
所以
.
又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以
而
将代入上式得
因此
故，
，
（II）解法一
.
当
时，函数单调递减.
由
，若
；若
由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则
所以
又当
时，函数在（－1，3）上单调递减.
所以的取值范围为
解法二：
因为函数在（－1，3）上单调递减，且
是（－1，3）
上的抛物线，
所以
即
解得
所以的取值范围为
20．解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.
（I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为
（从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有
种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A1，那么事件A1的概率为
P（A1）=
（II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A2和A3，则事件A3的概率为P（A3）=
，事件A2的概率为
P（A2）=1－P（A1）－P（A3）=
解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为
（先从3个景区任意选定2个，共有
种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有
种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有
种不同选法）.所以P（A2）=
21．（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：
与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是
.
所以点M的坐标是（
）. 由
即
证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是
设M的坐标是
所以
因为点M在椭圆上，所以 
即
解得
（Ⅱ）当时，
，所以
由△MF1F2的周长为6，得
所以
椭圆方程为
（Ⅲ）解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有PF1=F1F2，即
设点F1到l的距离为d，由
得
所以
即当
△PF1F2为等腰三角形.
解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有PF1=F1F2，
设点P的坐标是
，
则
由PF1=F1F2得
两边同时除以4a2，化简得
从而
于是
. 即当
时，△PF1F2为等腰三角形.