广东省河源市连平县忠信中学高三年级数学检测题(寒假)
考试时间：120分钟 满分150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一.选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、设集合
＜
，
∈
，
，
，
，
，，则
∪
等于（
）A、
B、
C、
D、
2、函数
的图象经过四个象限的充要条件是（ ）
A、
＜
且
＜0 B、
且
C、＜且
＞
D、＞且
＞
3、函数
是（
）
A、周期为
的奇函数 B、周期为的偶函数
C、周期为
的奇函数 D、周期为的偶函数
4、已知数列
是等差数列，且
，
，则
等于（ ）
A、
B、
C、
D、
5、如图，正方体
的棱长为1，
是底面
的中心，则到平面
的距离为（ ）
A、
B、
C、
D、
6、名同学排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率为（ ）
A、 B、
C、
D、
7、在
的展开式中，
的系数是（ ）
A、
B、
C、
D、
8、
是△
所在平面上一点，若
，则点是△的（ ）
A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心
9、若无穷等比数列满足
，则数列的公比
为（ ）
A、
B、
C、
D、
10、已知函数
满足：①
；②在
上为增函数。若
,且
,则
与
的大小关系是（ ）
A、
B、
C、
D、 无法确定
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）
11、某校有教职工200人，男学生1000人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为
的样本，已知从教职工中抽取的人数为10，则= 。
12、将时间拔慢
分钟，则分针转了 度，时针转了 度。
13、已知
，则不等式
的解集是 。
14、已知
、是直线，
、
、
是平面，给出下列命题：
①
若⊥，∩＝，⊥，则⊥或⊥；
②
若∥，∩＝，∩＝，则∥；
③
若不垂直于，则不可能垂直于内的无数条直线；
④
若∩＝，∥，且
，，则∥且∥。
其中正确的命题的序号是 。（注：把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15、（本小题满分13分）
已知△中，角A、B、C对应的边为a、b、c，A=2B，
，求sinC的值．
16、（本小题满分13分）
如图，三棱锥
中，
，
，
，△
为正三角形，
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）求棱
与侧面所成的角；
（Ⅲ）求点
到侧面
的距离。
17、（本小题满分13分）
已知
为正三棱柱，
是
的中点.
(1)证明：
∥平面
(2)若⊥
，
①求二面角D—BC1—C的大小；
②若E为AB1的中点，求三棱锥E—BDC1的体积。
18、（本小题满分13分）
某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A、B两个相互独立的问题， 并且宣布：观众答对问题A可获奖金a元，答对问题B可获奖金2a元；先答哪个题由观众自由选择；只有第1个问题答对，才能再答第2个问题，否则中止答题。若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为
、
。你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望较大？说明理由。
19、（本小题满分14分）已知
（1）
求证：过曲线 
据此证明：
20．（本小题满分14分）
已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足三个条件：（1）对于任意
；（2）f (1)=1; （3）若x1≥0, x2≥0, x1＋x2≤1，则有f (x1＋x2) ≥f (x1)＋f (x2)
( I ) 试求f (0)的值；
(Ⅱ) 试求函数
的最大值；
(Ⅲ) 试证明：当
广东省河源市连平县忠信中学高三年级数学检测(寒假)答案
一. 选择题答题栏：(本大题共10小题；每小题5分，共50分)
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | D | C | B | D | B | A | C | D | B | A |
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11. 120；
12. 
、2.5
13.
≤
； 14 . ②④
三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15、解：∵A=2B，0＜A＜ ∴0＜B＜
.
………………………1分
由，得 
…………………………………………3分
∴sinA=sin2B=2sinBcosB=
,cosA=cos2B=
…………9分
∴sinＣ=sin[-(A+B)]= sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
………………12分
解：∵A=2B，0＜A＜ ∴0＜B＜.
………………………1分
由，得 …………………………………………3分
∴sinA=sin2B=2sinBcosB= ,cosA=cos2B= …………9分
∴sinＣ=sin[-(A+B)]= sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ………………12分
16、（Ⅰ）证明:取BC中点D,连结PD和AD,
为正三角形 
PD
,且PD=
又，，
由余弦定理可知AB=AC=
D为BC中点
AD
又PA=3 PD=
,
平面
,而
平面,平面⊥平面
（Ⅱ）解:由（Ⅰ）易知AD⊥平面,故
即为所求角
PD=,,
,
,即PA与平面PBC所成的角为
（Ⅲ）解: 
,
点B到侧面的距离的
而PD=, 
=
, 
17、(1)证明：连结CB1交BC1于O，连结OD.
∴OD∥AB1，OD在面DBC1内.∴AB1∥平面DBC1. 4分
(2)解：①OD⊥BC1，又O为BC1中点，∴DO=DC1.∴CC1=
.
过O作OM⊥BC1交BC于H，则OH=
，∠HOD为所求.
BH=
,
,∴cosθ=
.∴θ45°. 8分
②
. 12分
18．（本小题满分13分）
解：设甲先答A、B所获奖金分别为
元，则有 ------------------------2分
-----5分
---8分
-----------10分
由于两种答序获奖金的期望相等，故先答哪个都一样。 -----------------------------12分
19．解：（1）
………………………………5分
(2) 由(1)知：
故
在
是增函数…………………………7分
又
对于一切
恒成立.…………………………………9分
由定理知:存在
;由(1)知: 
;
……………………12分
由
的一般性知：
………14分
20．解：（Ⅰ）.令
，依条件（3）可得f (0+0)≥f (0)+f (0),即f (0)
≤0
又由条件（1）得f (0) ≥0，则f (0)= 0;
（Ⅱ）任取0≤
≤1，可知
， 则
，
即
≥0，故
于是当0≤x≤1时，有f (x) ≤f (1) =1,因此，当x=1时，f (x)有最大值1
（Ⅲ）证明： 当
时，f (2x) ≥f (x)+f
(x)=2 f(x)，∴
，
显然，当
时，
·
·
成立
假设当
时，有
成立，其中k=1,2,…
那么当
时，
·
·
·
·
可知对于 ，总有
，其中n∈N*
此时
，故时，有f (x)＜2x (n∈N*)