2002年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷
第I卷（选择题共60分）
参考公式：
三角函数和差化积公式 正棱台、圆台的侧面积公式
其中
、
分别表示
上、下底面周长，l表示斜高或母线长
台体的体积公式：
其中
、
分别表示上、下底面积，h表示高
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填下表中.
（1）常数T满足
和
,则T的一个值是（ ）．
（A）
（B）
（C）
（D）
2）在等差数列
中，
,则
的值为（ ）．
（A）24 （B）22 （C）20 （D）
（3）设点P对应复数是
,以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，建立极坐
标系，则点P的极坐标为（ ）．
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）设A、B是两个非空集合，若规定：
,则
等于（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）函数
的图象与直线
的交点个数为（ ）．
（A）0 （B）1 （C）2 （D）0或1
（6）设函数
（其中
）,则
是
为
奇函数的（ ）．
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）如图，在斜三棱柱
中，∠BAC＝90°，
，过
作
底面ABC，垂足为
，则（ ）．
（A）在直线AC上 （B）在直线AB上
（C）在直线BC上 （D）在△ABC内
（8）电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超
过3分钟，以后每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟以1分钟收费.则通话收S（元）与通话时间t（分钟）的函数图象可表示为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
（9）以椭圆
的右焦点为圆心，且与双曲线
的渐近线相
切的圆的方程为（ ）．
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）已知
的展开式中所有项系数之和为729，则这个展开式中含
项
的系数是（ ）．
（A）56 （B）80 （C）160 （D）180
（11）AB是过圆锥曲线焦点F的弦，l是与点F对应的准线，则以弦AB为直
径的圆与直线l的位置关系（ ）．
（A）相切 （B）相交 （C）相离 （D）由离心率e决定
（12）定义在R上的函数
的反函数为
，则是（ ）．
（A）奇函数 （B）偶函数 （ C）非奇非偶函数 （D）满足题设的函数不存在
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横
线上．
（13）函数
的反函数是
．
（14）已知抛物线的焦点坐标为
，准线方程为
,则其顶点坐标为
．
（15）如图，在棱长都相等的四面体A—BCD中，
E、F分别为棱AD、BC的中点，则直线
AF、CE所成角的余弦值为 ．
（16）甲、乙、丙、丁、戊共5人参加某项技术比赛，决出了第1名到第5名
的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你
和乙都没拿冠军”，对乙说：“你当然不是最差的.”请从这个回答分析，
5人的名次排列共可能有 种不同情况（用数字作答）.
（17）（本小题满分10分）
已知复数
，其中A、C为△ABC的内角，且三个内角
满足2B＝A﹢C.试求
的取值范围.
18）（本小题满分12分）
已知曲线C上的任一点M
（其中
）,到点
的距离减去它到
y轴的距离的差是2，过点A的一条直线与曲线C交于P、Q两点，通过点P和坐标原点的直线交直线
于N.
（I）求曲线C的方程；
（II）求证：NQ平行于x轴.
（19）（本小题满分12分）
是否存在一个等差数列,使对任意的自然数n，都有
…
.
（20）（本小题满分12分）
如图，△ABC是一个遮阳棚，点A、B是地面上
南北方向的两定点，正西方向射出的太阳（用点
O表示）光线OCD与地面成锐角
.
（I）遮阳棚与地面成多少度的二面角时，
才能使遮影△ABD面积最大？
（II）当AC＝3，BC＝4，AB＝5，＝30°时，试求出遮影△ABD的最
大面积.
（21）（本小题满分14分）
甲、乙、丙三种食物维生素A、B含量及成本如下表：
| 项 目 | 甲 | 乙 | 丙 |
| 维生素A（单位/千克） | 600 | 700 | 400 |
| 维生素B（单位/千克） | 800 | 400 | 500 |
| 成本（元/千克） | 11 | 9 | 4 |
某食物营养研究所想用x千克甲种食物、y千克乙种食物、z千克丙种食物
配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A和63000
单位维生素B.试用x、y表示混合物的成本M（元）；并确定x、y、z的值，
使成本最低.
（22）（本小题满分14分）
定义在
上的函数 满足：①对任意
、
,都有
；②当
时，有
.
证明：（I）函数在上的图象关于原点对称；
（II）函数在
上是单调减函数；
（III）
.