杭州西湖高级中学高三3月月考数学试卷（文科卷）
一、选择题（每小题所给的四个选项中，只有一个符合题目要求，每小题5分，共50分）
1．已知函数
的图像经过点
，则常数
的值为 （ ）
A．2
B．4 C．
D． 
2．函数
的最小正周期是 （ ）
A．
B． 
C．
D．
3．已知三个力
，
，
同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力
，则等于 （ ）
A．（－1，－2） B．（1，－2） C．（－1，2） D．（1，2）
4．
为等差数列
的前n项和，S9＝－36，S13＝－104，等比数列
中， 
，
，则
等于 （ ）
A．
B．－ C．± D．无法确定
5．
是
的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
6．函数
的图象无论经过平移还是关于某条直线对称翻折后仍不能与
的图象重合，则是 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．以椭圆
的右焦点为圆心，且与双曲线
的渐近线相切的圆的方程是 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好
点”。在下面五个点M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），G（2，）中，“好
点”的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．已知双曲线的两个焦点为
，
，P是此双曲线上的一点，且
， 
，则该双曲线的方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概率为
A． 
B． 
C． 
D． 
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）
11．若圆锥曲线
的焦距与k无关，则它的焦点坐标是__________．
12．
的展开式中第9项是常数项，n的值是
13．若点A（1，2）和B（1，1）在直线3x-y+m=0的异侧，则m的取值范围是______________
14．椭圆
+
=1(a>b>0)上两点A，B与中心O的连线互相垂直，则
=
三．解答题：（每小题14分，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知向量
=（sinB，1－cosB)，且与向量
（2，0）所成角为
，其中A, B, C是⊿ABC的内角．
（1）求角Ｂ的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．
16. 口袋里装有红色和白色共36个不同的球，且红色球多于白色球．从袋子中取出２个球，若是同色的概率为 ，求：
(1) 袋中红色、白色球各是多少？
(2) 从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的概率为多少？
17．
已知抛物线
上两定点A、B分别在对称轴两侧，F为焦点，且
，在抛物线的AOB一段上求一点P，使
最大，并求面积最大值。
18．设各项均为正数的数列的前n项和为，对于任意的正整数n都有等式
成立．
（I）求证
；
（II）求数列
的通项公式；
（III）记数列
的前n项和为
，求证
．
19．已知函数f(x)=(x2+
)(x+a)(a
R)
(1)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的范围；
(2)若
(-1)=0,(I)求函数f(x)的单调区间；（II）证明对任意的x1、x2(-1,0),不等式f(x1)-f(x2)<
恒成立。
20．双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为
，相应于焦点F（c,0）（c＞0）的准线l与x轴交于点A，且 OF = 3 OA 。过点F的直线与双曲线交于P、Q两点。
（Ⅰ）求双曲线的方程及离心率；（Ⅱ）若
=0，求直线PQ的方程。
参考答案（文科卷）
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | D | B | D | C | A | D | A | C | C | B |
二、填空题
11．
12． 12 13．（-2，-1） 14. 
三．解答题
15. 解：（1）∵
=（sinB，1-cosB)
, 且与向量（2，0）所成角为
∴
∴tan
（2）由（1）得
∵
∴
∴
当且仅当
16．解：（1）令红色球为x个，则依题意得
,
所以
得x=15或x=21，又红色球多于白色球，所以x=21．所以红色球为２１个，白色球为１５个．
（2）设从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的事件为A，均为白色球的事件为B，
则P（B）=1－－P（A）＝
＝
17． 解：P 
，最大=
18． (1) ∵
∴
∴
∴
（2）∵∴
∴
∴
∴
∴
（3）∵∴
∴
19．解：
，
⑴
函数
的图象有与
轴平行的切线，
有实数解
，
，
所以的取值范围是
⑵
，
，
，
（Ⅰ）由
或
；由
的单调递增区间是
；单调减区间为
（Ⅱ）易知的最大值为
，的极小值为
，又
在
上的最大值
，最小值
对任意
，恒有
２０．（Ⅰ）由题意，设曲线的方程为
= 1（a＞0b＞0）
由已知
解得a =
，c = 3
所以双曲线的方程这
= 1离心率e =……………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（1，0），F（3，0），
当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程为x = 3 .此时,
≠0,应舍去.
当直线PQ与x轴不垂直时,设直线PQ的方程为y = ( x – 3 ).
由方程组
得
由一过点F的直线与双曲线交于P、Ｑ两点，
则
－２≠０，即k≠
，
由于△＝36
-4(-2)(9+6) =48(+1)＞即k∈R.
∴k∈R且k≠（*）
设Ｐ（
，
），Ｑ（
，
），则
由直线PQ的方程得= k（-3），= k（-3）
于是=（-3）（-3）=[-3（+）+ 9] （3）
∵ = 0， ∴（-1，）·（-1，）= 0
即-（+）+ 1 + = 0
（4）
由（1）、（2）、（3）、（4）得
= 0
整理得=
∴k =
满足（*）
∴直线PQ的方程为x － 
-3 = 0或x +-3 = 0……………………14分