2006届高三年级第二次调研试题
理 科 数 学 试 卷
考试时间:2006年3月8日下午14:30—16:30
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,请把答案填入答题卡中)
1.已知,
(A) (B) (C) (D)
2.已知相交直线都在平面内,并且都不在平面内,若中至少有一条与相交;
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)不充分也不必要条件
3.已知,,则实数的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
4.当时,的值为
(A) (B) (C) (D)
5.正方体ABCD-A1B1C1D1中,若M、N分别为AA1和BB1的中点,则异面直线CM与D1N所成角的余弦值为
6.5个人分4张同样的足球票,每人至多分一张,而且票必须分完,那么不同分法的种数是
(A) (B) (C)(D)5
7.已知函数,则下列结论中正确的是
(A)它的定义域是 (B)它是奇函数
(C)它的值域是 (D)它不是周期函数
8.参数方程 (为参数)表示曲线是
9.已知双曲线上一点M到右准线的距离为10,为右焦点,的中点,为坐标原点,则的长为
(A)2 (B)2或7 (C)7或12 (D)2或12
10.已知数列满足
(A)0 (B)1 (C) (D)
11.已知向量满足:对任意,恒有则向量的夹角为
(A) (B) (C) (D)
12.已知数列的通项则下列表述正确的是
(A)最大项为最小项为 (B)最大项为最小项不存在
(C)最大项不存在,最小项为 (D)最大项为最小项为
二、填空题:(共4小题,每小题4分,共16分)tx
13.设
14.设的反函数,则使成立的的取值范围是
15.设满足约束条件,则的取值范围是___________.
16.给出下面四个命题:① 若为非零向量,则; ② 若为一平面内两个非零向量,则的充要条件; ③ 为所在平面内一点,且满足,则; ④ 在空间四边形中,分别是的中点,则。其中正确命题序号为__________.
三、解答题(共6小题,共76分)
17.(12分)已知向量 () 和=(),.
(1) 求的最大值;(2)当=时,求的值
18.(12分)口袋里装有红色和白色共36个不同的球,且红色球多于白色球.从袋子中同时取出2个球,若是同色的概率为 ,求:
(1) 袋中红色、白色球各是多少?
(2) 从袋中任取3个小球,求其中红球个数的分布列与数学期望?
19.(12分)已知函数 () ,
(Ⅰ)试确定的单调区间 , 并证明你的结论 ;
(Ⅱ)若时 , 不等式恒成立 , 求实数的取值范围.
20.(12分)已知在四边形中,//,,,,将△沿对角线折起到如图所示的位置,使平面平面。
(1)求证:;
(2)求二面角的大小(用反三角函数表示);
(3)求点到平面的距离。
21.(本小题满分12分)如图,三条直线a、b、c两两平行,直线a、b间的距离为p,直线b、c间的距离为,A、B为直线a上两定点,且|AB|=2p,MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段.
(1)求△AMN的外心C的轨迹E;
|
|
|
b
O M N x
c
22.(14分)直线与轴、轴所围成区域内部(不包括边界)的整点个数为,所围成区域内部(包括边界)的整点个数为,(整点就是横纵坐标都为整数的点)
(1)求和的值;
(2)求及的表达式;
(3)对个整点用红、黄、蓝、白四色涂色,其方法总数为,对个整点用红、黄两色涂色,其方法总数为,试比较与的大小.
2006届高三年级第二次调研试题
数学理科参考答案
一.选择题.
DCBDC DCDDA CA
二.填空题
13. 14. 15. 16 . ②③④
三.解答题
17.解:(1) (2分)
=
== (4分)
∵, ∴,
。 (6分)
(2) 由已知,得 (8分)
又 ∴ (10分)
∵ ∴, ∴. (12分)
18. (1)令红色球为个,则依题意得, (3分)
所以得或,又红色球多于白色球,所以.所以红色球为个,白色球为个. ( 6分)
(2)设取出红球个数为,则
;;
, (10分)
则的分布列为
| 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
|
|
|
|
(12分)
19. 解: (1) 当时 , , (2分)
令可得 ; 令可得 .(4分)
∴函数 ()在区间上是增函数;
在区间上是减函数 . (6分)
(2) 由(Ⅰ)得,函数函数 ()在区间上是增函数 ,
∴当时, . (8分)
∵不等式恒成立 , ∴ , 解之得 (12分)
20. 解法一 (1)
, (2分)
又.
(4分)
(2) 过作,
过,连结,由三垂线定理可证
,在
,
二面角的大小为. (8分)
(3) 设到平面的距离为,由
,,
,则可得:
, 即到平面的距离为 (12分)
解法二,
.如图所示建立空间直角坐标系,
设,则.
(1),,
(4分)
(2) 取平面的法向量,设平面的法向量为
即
令
二面角的大小为. (8分)
(3) 由(2)知,
到平面的距离为 (12分)
21、解:(1)设△AMN的外心为C(x,y),则有A(0,p)、M(x–p,0),N(x+p,0),
由题意,有|CA|=|CM| (2分)
∴,化简,得
x2=2py
它是以原点为顶点,y轴为对称轴,开口向上的抛物线. (4分)
(2)由(1)得,直线C恰为轨迹E的准线.
由抛物线的定义知d=|CF|,其中F(0,)是抛物线的焦点.
∴d+|BC|=|CF|+|BC| (6分)
由两点间直线段最短知,线段BF与轨迹E的交点即为所求的点
直线BF的方程为联立方程组
得. (10分)
即C点坐标为().
此时d+|BC|的最小值为|BF|=. (12分)
22. 解:(1)时,直线上有(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)个点,直线上有(1,0)(1,1)(1,2),直线上有(2,0)(2,1),直线上有(3,0)
所以……………………………4(分)
(2)时,; 时,
当时,
。 当时也满足。
所以……………9(分)
(3)对于个整点中的每一个点都有4种着色方法,故
对于个整点中的每一个点都有2种着色方法,故……11(分)
当n=1.2.3.4.5.6.7.8时
当n≥9且n∈N*时,…………………………………14(分)