2006年高考模拟题
数 学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页。满分为150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P（A+B）= P（A）+ P（B） S = 4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P（A·B）= P（A）·P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P 
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概 率 其中R表示球的半径
1．已知
，则
的值为
(A)
(B)
(C)
(D)
2．已知三角形的内角分别是A、B、C，若命题
命题
，则P是Q的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C )充要条件 (D)既不充分也不必要条件
3. 
,下列命题中正确的是
(A) 若
, 则
(B) 若 
, 则
(C) 若 
,则 (D)
若 
, 则
4．两条异面直线a和b上分别有5和4个点，从中任选4点作为顶点组成一个四面体的，这样的四面体的个数为
（A）
（B）
（C）
（D）
5．已知ABCDEF是正六边形，且
＝
，
＝
，则
＝
（A）
（B）
（C）＋
（D）
6．三棱锥
中，
两两垂直，且
，
，则此三棱锥的体积
(A) 有最大值3，无最小值； (B) 有最小值3，无最大值；
(C) 有最大值9，无最小值； (D) 无最大值，也无最小值；
7．
是曲线
上任意一点，则
的最大值是
（A）36 （B）、6 （C）、26 （D）、25
8. α、β为两个确定的相交平面, a、b为一对异面直线,下列条件:：① a∥α, b
β; ② a⊥α, b∥β; ③ a⊥α, , b⊥β; ④ a∥α, b∥β且a与α的距离等于b与β的距离. 其中能使a、b所成的角为定值的有
（A） 0个 （B）1个 （C） 2个 （D） 3个
9．设
, 且
则点
在
平面上的区域的面积是
(A)
(B)1
(C)2
(D)
10、若函数
的反函数为
，则函数
与函数
的图象A．关于直线
对称 B．关于直线
对称
C．关于直线
对称 D．关于直线
对称
二、填空题：（t每小题5分，共20分。第11题3+2分。）
11、将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，则这个球的体积为 ，球的表面积为 （不计损耗）.
12、如果正△
中,
,向量
,那么以
,
为焦点且过点
,
的双曲线的离心率是
.
13、已知
为实数，
展开式中
的系数为
，则
．
14、14．函数
的值域为______________。
三、解答题：
15、（x本题满分12分）
平面直角坐标系中有点
,
，且
.
（Ⅰ）求向量
与
的夹角
的余弦值用
表示的函数
；
（Ⅱ）求的最值。
16、（本小题满分12分）
已知数列
的前n项和
.
（Ⅰ）求数列
的通项公式;
（Ⅱ）设
,求数列
的前n项和.
17．（本题满分13分）
甲、乙两个同学解数学题，他们答对的概率分别是0.5与0.8，如果每人都解两道题，
（Ⅰ）求甲两题都解对且乙至少解对一题的概率；
（Ⅱ）若解对一题得10分，未解对得0分、求甲、乙得分相等的概率.
18、(本小题满分14分)
在三棱锥P－ABC中，
,
,PA = PB = PC,点P到平面ABC的距离为 AC．
(1) 求二面角P－AC－B的大小；
(2) 若
，求点B到平面PAC的距离．
19（本题满分14分）
如图所示，过定点
作一直线
交抛物线C：
于P、Q两点，又Q关于x轴对称点为Q1，连结PQ1交x轴于B点.
（Ⅰ）求证：直线PQ1恒过一定点；
（Ⅱ）若
.
20. (本小题满分14分)
由原点O向三次曲线y=x3－3ax2＋b x (a≠0)引切线,切于不同于点O的点P1(x1,y1),再由P1引此曲线的切线,切于不同于P1的点P2(x2,y2),如此继续地作下去,……,得到点列{ P n(x n , y n)},试回答下列问题:
（Ⅰ）求x1;
（Ⅱ）求x n与x n+1的关系;
（Ⅲ）若a>0,求证:当n为正偶数时, x n<a;当n为正奇数时, x n>a.
答案及评分意见
一、选择题：
1、D 2、C 3、B 4、C 5、B 6、A 7、A 8、B
9、B 10、B
二、填空题：
11、
12、
13、
14、、
三、解答题：
15、解：（Ⅰ）
x∈[
] .
6分
（Ⅱ）
10分
即
又
， 
12分
16．(Ⅰ)当
时,
故
,即数列的通项公式为
(Ⅱ)当时,
当
故
由此可知,数列
的前n项和
为
17、解（Ⅰ）
（Ⅱ）两人都得零分的概率为 
两人都得10分的概率为 
两人都得20分的概率为 
∴
18、解：(1) 法一：由条件知△ABC为直角三角形，且∠BAC = 90°，
∵ PA = PB
= PC，
∴ 点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，
即斜边BC的中点E．
取AC中点D，连PD, DE, PE．
∵ PE⊥平面ABC，DE⊥AC (∵ DE∥AB),
∵ AC⊥PD．
∴ ∠PDE为二面角P－AC－B的平面角．
又PE = AC ，DE = AC ，（
）
∴ 
tan ∠PDE = =
，
∴ ∠PDE = 60°．
故二面角P－AC－B的大小为60°．
法二：由条件知△ABC为直角三角形，且∠BAC = 90°，
∵ PA = PB = PC，
∴ 点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即斜边BC的中点．
设O为BC中点，则可证明PO⊥平面ABC．
建立如图直角坐标系，设则
A( a, a, 0), B(－a, 0, 0), C(a, 0, 0), D(0, 0, a)．
= (－a, a, 0), = ( －a, a, a)．
取AC中点D，连PD, DO, PO．
∵ AB⊥AC,
又PA = PCÞ PD⊥AC．
∴ cos < , > 即为二面角P－AC－B的余弦值．
而 cos < , > = = ．
∴ 二面角P－AC－B的大小为 60°．
(2) 法一：设，则PD = = = a．
S△APC = AC·PD = a 2．
设点B到平面PAC的距离为h，则由VP－ABC = VB－APC 得
S△ABC·PE = S△ABC·h Þ h = = = a．
故点B到平面PAC的距离为 a．
法二：点E到平面PAC的距离容易求得为 a，而点B到平面PAC的距离是其两倍．
∴ 点B到平面PAC的距离为 a．
19. 解：（Ⅰ）设
，而Q1与Q关于x轴对称，则
PQ直线方程为：
则PQ：
又PQ过点（m，0），则
因此PQ1直线方程可改写为：
因此可知PQ1直线恒过点
（Ⅱ）连结AQ1，因为Q与Q1关于x轴对称，A在x轴上
所以在△APQ1中，AB平分∠PAQ1.
由内角平分线定理可知：
而
于是
而又B，P，Q1三点共线，
、
同向，
20.(1)由y=x3－3ax2＋b x, ①
得y′=3x2－6ax＋b.
过曲线①上点P1(x1, y1)的切线l1的方程是
由它过原点,有
(2)过曲线①上点Pn+1(xn+1,yn+1)的切线ln+1的方程是
由ln+1过曲线①上点P n(x n, yn),有
∵x n－xn+1≠0,以x n－xn+1除上式,得
以x n－xn+1除之,得x n＋2xn+1－3a=0.
(3)解法1 由(2)得
故数列{x n－a}是以x 1－a=为首项,公比为－的等比数列,
∵a>0,∴当n为正偶数时, 
当n为正奇数时, 
解法2 
=
=
=
=
=
.以下同解法1.