黄冈中学高考数学第三轮综合能力测试题(五)
一、选择题：
1．已知函数y＝f(x) (x∈R)满足f(x＋3)＝f(x＋1)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝x，则y＝f(x)与y＝log5x的图象交点的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知△ABC中，若＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
3．已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(－,0)对称，且满足f(x)＝－f(x＋)，f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2005)的值为( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S1＝1，点(n,sn)在曲线C上，C和直线x－y＋1＝0交于A、B两点，且AB＝，则此数列的通项公式为( )
A．an＝2n－1 B．an＝3n－2 C．an＝4n－3 D．an＝5n－4
5．做一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，用下列四种长度的铁管，最合理(够用，且浪费最少)的是( )
A．4.6m B．4.8m C．5m D．5.2m
6．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{－1,0,1}，满足条件f(3)＝f(1)＋f(2)的映射f：A→B的个数是( )
A．7 B．6 C．4 D．2
7．若不等式4≤3sin2x－cos2x＋4cosx＋a2≤20对一切x都成立，则a的取值范围是( )
A．[―5,―3]∪[3,5] B．[－4,4] C．[－3,3] D．[―4,―3]∪[3,4]
8．正三棱锥的侧棱长为m，底面边长为a，则的取值范围是( )
A．[,＋∞) B．(,＋∞) C．[,＋∞) D．(,＋∞)
9．若复数Z＋i在映射f下的象为·i，则－1＋2i的原象为( )
A．2 B．2－i C．－2＋i D．－1＋3i
10．一同学投篮的命中率为，他连续投篮3次，其中恰有2次命中的概率为( )
A． B． C． D．
11．已知数列{an}对任意的n∈N＋，满足a2n＋2＝an·an＋4，且a3＝2，a7＝4，则a15的值是( )
A．8 B．12 C．16 D．32
12．已知二项式(－x)6展开式中不含x的项为160，则tanθ值为( )
A．2 B．－2 C． D．－
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
二、填空题：
13．定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，则集合{1,3,5,7,9}的“孙集”的个数有＿＿＿＿＿个．
14．已知数列{an}满足a1＝1，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n―1)an―1 (n≥2)．则其通项an＝＿＿＿＿＿＿＿＿
15．已知函数f(x)＝Log(x2―ax―a)的值域为R，且f(x)在(1＋,＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿
16．有两个向量＝(1,0)，＝(0,1)，今有动点P，从P0(－1,2)开始沿着与向量＋相同的方向作匀速直线运动，速度为＋，另一动点Q，从Q0(―2,―1)开始沿着与向量3＋2相同的方向作匀速直线运动，速度为3＋2，设P、Q在时刻t＝0时分别在P0、Q0处，则当⊥时，t＝＿＿＿＿＿＿秒．
三、解答题：
17．设函数f(x)＝4sinx·sin2(＋)＋cos2x，条件P：≤x≤；条件q：f(x)－m＜2，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
18．甲、乙、丙三人分别独立解一道数学题,已知甲做对这道题的概率是，甲、丙两人都做错的概率是，乙、丙两人都做对的概率是．
(1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率．
19．已知三棱锥P－ABC中，PC⊥底面ABC，AB＝BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
(1)求证：AP⊥平面BDE．
(2)若AE∶EP＝1∶2，
求截面BEF分三棱锥
P－ABC所成的上、
下两部分的体积比．
20．已知f(x)在(－1,1)上有定义，f()＝－1，且满足x,y∈(－1,1)有f(x)＋f(y)＝f()，
(1) 判断f(x)在(－1,1)上的奇偶性；
(2)对数列x1＝，xn＋1＝，求f(xn)．
(3)求证：＋＋…＋＞－．
21．将一块圆心角为120°，半径为20cm的扇形铁片截成一块矩形，如图，有2种截法：让矩形一边在扇形的一半径OA上或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值．
 |
22．已知双曲线c的中心在原点，抛物线y2＝8x的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线c过点(,)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设双曲线C的实轴左顶点为A，右焦点为F，在第一象限内任取双曲线C上一点P，试问是否存在常数λ(λ＞0)使得∠PFA＝λ∠PAF恒成立？并证明你的结论．
2006届高三数学第三轮复习训练题(五)参考答案
1．B 2．C
3．D 解：点(x，y)关于(－，0)对称点为(－－x，－y)，∴－y＝f(－－x)＝－f(－x)．
即f(－x)＝f(x)，f(x)偶，∴f(1)＝f(－1)＝1，又f(x)＝－f(x＋)＝f(x＋3)，∴T＝3，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2005)＝668·[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(1)＝668·[1＋1－2]＋1＝1．
4．C 解：令y＝n2＋(1－)n＝n＋1
n2－n－＝0，AB＝n1－n2＝·＝ ．∴d＝4，故an＝a1＋(n－1)·d＝4n－3．
5．C
6．A 解：f(3)＝f(1)＋f(2)
－1
0 共7个
1
7．D 解：4(cosx－)2≤a2≤4(cos－)2＋169≤a2≤16．
8．D 解：设侧面顶角为θ，则3θ＜360°，＜60°，sin＝＜＞．
9．A 解：·i＝－1＋2i＝i(2＋i)，∴z＝2－i，∴z＋i＝2．
10．D 解：P＝C·()2·(1－)＝．
11．C 解：∴q4＝＝2，∴a15＝a7·q8＝4×22＝16．
12．B
13．26 解：φ，单元数集5个．2元素集＝10个，3元素集＝＝10个，共26个．
14．解：an＋1－an＝nan∴＝n＋1(n≥2)．又a1＝1，a2＝1．
∴an＝a1···…＝1·1·3·4·5…n＝(n≥2)
15．(―∞,―4]∪[0,2]
解：令g(x)＝x2―ax―a，则g(x)＝0有解△≥0a≤－4或a≥0
|
a≤2．
16．2 解：＝t(＋)＝(t,t)，∴P(t－1,t＋2)，＝t(3＋2)＝(3t,2t)，
∴Q(3t―2,2t―1)．
∴＝(―1,―3)．＝(2t―1,t―3)．当·＝0时，t＝2．
17．解：f(x)＝2sinx[1－cos(＋x)]＋cos2x
＝2sinx(1＋sinx)＋1－2sin2x＝2sinx＋1
|
由Pq．∴m－2＜f(x)＜m＋2．
∴m∈(1,4)．
18．解：(1)记甲、乙、丙三人独立做对这道题的事件分别为A、B、C，
依题得：
故乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为，．
(2)甲、乙、丙三人中恰好有两人做对这道题的概率为P(AB＋AC＋BC)
＝P(A)·P(B)·P()＋P(A)·P()·P(C)＋P()·P(B)·P(C)
＝××＋××＋××
＝＋＋＝．
甲、乙、丙都做对这道题的概率为
P(ABC)＝××＝．
故甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率为．
19．(1)证明：∵PC⊥底面ABC．∴PC⊥BD．
由AB＝BC，D为AC中点．∴BD⊥AC．
∴BD⊥面PACBD⊥PA．
又DE⊥PA．∴PA⊥面BDE．
(2)解：设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2，
则h1∶h2＝EP∶AP＝2∶3
∴＝＝·＝．
20．解：(1)令x＝y＝0．得f(0)＝0．令y＝－x．f(x)＋f(－x)＝0．
∴f(x)奇；
(2)f(x1)＝f()＝－1，f(xn＋1)＝f()＝f()＝f(xn)＋f(xn)
＝2f(xn)，∴f(xn)是以－1为首项，2为公比的等比数列，
∴f(xn)＝―2n―1．
(3) ＋＋…＋＝－(1＋＋＋…＋)
＝－2＋＞－2．
又－＝―2―＜－2．
∴原不等式成立．
21．解：在甲中，连OM，设∠MOA＝θ，θ∈(0, )，则S矩＝200sin2θ．
∴当θ＝时，S甲矩max＝200cm2．
在乙中，连OM，设∠MOA＝α,α∈(0, )．∵∠DOC＝120°．∴∠DCO＝30°．∠OCM＝30°＋90°＝120°．
∴∠OMC＝180°―α―120°＝60°－α．
在△OMC中，＝＝
∴MC＝sinα．同理OC＝sin(60°－α)．
又在△OCD中，CD＝2·CE＝2·OC·sin60°＝·OC＝40sin(60°－α) ．
∴S乙矩＝CD·MC＝sinα·sin(60°－α)
＝[cos(2α－60°)－]．
∴当α＝30°时，S乙矩max＝＞200．
故乙方案裁法得到最大面积矩形，最大值为cm2．
22．解：(1)依题设双曲线C方程：－＝1(a＞0,b＞0)．将(,)代入得－＝1．①
又抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)
∴C的一个焦点为(2,0)．故c2＝a2＋b2＝4．②
由①②解得：a2＝1，b2＝3，故所求双曲线C的方程为x2－＝1．
(2)假设存在适合题意的常数λ(λ＞0)此时F(2,0)，A(－1,0)．
①当PF⊥x轴时，可得P(2,3)，PF＝AF＝3．
△PFA为等腰rt△，∠PFA＝90°，∠PAF＝45°．
此时λ＝2．
②当PF⊥x轴时，设∠PFA＝2∠PAF恒成立．
设P(x1,y1)(x1＞0,y1＞0)，KPA＝．KPF＝，
tan2∠PAF＝
＝＝．
又－＝1．
＝3(－1)＝3(x1＋1)(x1－1)代入③得：
tan2∠PAF＝＝－ ③
又∵tan∠PFA＝－KPF＝－．
即tan2∠PAF＝tan∠PFA．易知2∠PAF∈(0,π)，∠PFA(0,π)．
∴∠PFA＝2∠PAF恒成立．
综合①②知：存在常数λ＝2．满足题设要求．