2005年高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案
（河北
河南安徽山西海南）
源头学子小屋 
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页第Ⅱ卷3到10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式
如果事件A、相互独立，那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题
（1）复数
=
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）设
为全集，
是的三个非空子集，且
，则下面论断正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为
，则球的表面积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）已知直线
过点
，当直线与圆
有两个交点时，其斜率k的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且
均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）已知双曲线
的一条准线与抛物线
的准线重合，则该双曲线的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）当
时，函数
的最小值为
（A）2 （B）
（C）4 （D）
（8）设
，二次函数
的图像为下列之一
则
的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）设
，函数
，则使
的
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）在坐标平面上，不等式组
所表示的平面区域的面积为
（A）
（B）
（C）
（D）2
（11）在
中，已知
，给出以下四个论断：
①
②
③
④
其中正确的是
（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③
（12）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有
（A）18对 （B）24对 （C）30对 （D）36对
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚
3．本卷共10小题，共90分
二、本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上
（13）若正整数m满足
，则m = 
（14）
的展开式中，常数项为
（用数字作答）
（15）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
，则实数m =
（16）在正方形
中，过对角线
的一个平面交
于E，交
于F，则
①
四边形
一定是平行四边形
②
四边形有可能是正方形
③
四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形
④
四边形有可能垂直于平面
以上结论正确的为
（写出所有正确结论的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
（17）（本大题满分12分）
设函数
图像的一条对称轴是直线
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求函数
的单调增区间；
（Ⅲ）证明直线
于函数的图像不相切
（18）（本大题满分12分）
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，
底面ABCD，且PA=AD=DC=
AB=1，M是PB的中点
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小
（19）（本大题满分12分）
设等比数列
的公比为
，前n项和
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）设
，记
的前n项和为
，试比较
与的大小
（20）（本大题满分12分）
9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为
，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种; 若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望（精确到
）
（21）（本大题满分14分）
已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，
与
共线
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且
，证明
为定值
（22）（本大题满分12分）
（Ⅰ）设函数
，求
的最小值；
（Ⅱ）设正数
满足
，证明
2005年高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案
（河北河南安徽山西海南）
参考答案
一、选择题：1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D
7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D
二、填空题： 13．155 14．672 15．1 16．①③④
三、解答题
17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分
解：（Ⅰ）
的图像的对称轴，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由题意得
所以函数
（Ⅲ）证明：∵ 
所以曲线的切线斜率的取值范围为[-2,2]，
而直线的斜率为
，
所以直线于函数
的图像不相切
18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力满分12分
方案一：
（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂线定理得：CD⊥PD.
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD.
又CD
面PCD，∴面PAD⊥面PCD.
（Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA，
则∠PBE是AC与PB所成的角.
连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，
所以四边形ACBE为正方形. 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°
在Rt△PEB中BE=，PB=
， 
（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，
∴△AMC≌△BMC,
∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角
∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.
在等腰三角形AMC中，AN·MC=
，
. ∴AB=2，
故所求的二面角为
方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，
.
（Ⅰ）证明：因
又由题设知AD⊥DC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD
（Ⅱ）解：因
由此得AC与PB所成的角为
（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在
使
要使
为所求二面角的平面角.
19．（Ⅰ）
（Ⅱ）
20．（Ⅰ）
|
| 0 | 10 | 20 | 30 |
| P | 0.670 | 0.287 | 0.041 | 0.002 |
的数学期望为:
21．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学
知识解决问题及推理的能力. 满分12分
（1）解：设椭圆方程为
则直线AB的方程为
，代入
，化简得
.
令A（
），B
），则
由
与
共线，得
又
，
即
，所以
，
故离心率
（II）证明：（1）知
，所以椭圆可化为
设
，由已知得
在椭圆上，
即
①
由（1）知
22．本小题考查数学归纳法及导数应用知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力 满分12分
（Ⅰ）解：对函数求导数：
于是
，
当
时，
，在区间
是减函数，
当
时，
，在区间
是增函数，
所以
时取得最小值，
，
（II）用数学归纳法证明
(ⅰ)当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立
(ⅱ)假设当n=k时命题成立
即若正数
满足
，
则
当n=k+1时，若正数
满足
，
令
，
，……，
则
为正数，且
，
由归纳假定知
①
同理，由
，可得
②
综合①、②两式
即当n=k+1时命题也成立
根据(ⅰ)、(ⅱ)可知对一切正整数n命题成立