2006年高考模拟测试数学4
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合要求的，请把正确答案的字母填在题后的括号内）
1．设集合A和集合B都是实数集R，映身f:A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的
元素lg（x2+1）,则在映射f下，象1的原象所成的集合是 （ ）
A．{－1，1} B．{3，0} C．{3，－3} D．{3}
2．如果复数z适合z+2+2i=z，那么z－1+i的最小值是 （ ）
A．4 B．
C．2 D．
3．若函数
为增函数，那么
的图象是 （ ）
A． B． C． D．
4．
展开式的各项系数和大于8且小于32，则展开式中系数最大的项是（ ）
A．6
B．
C．
D．
5．（理）直线
关于直线
对称的直线的极坐标方程是 （ ）
A．
B．
C．
D．
（文）把直线
沿y轴正方向平移1个单位，再关于原点对称后，所得直线
的方程是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．设有如下三个命题：
甲：相交的直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内；
乙：直线l,m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交 .
当甲成立时 （ ）
A．乙是丙的充分而不必要条件； B．乙是丙的必要而不充分条件
C．乙是丙的充分且必要条件 D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件.
7．△ABC的内角A满足
则A的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．直线
、
的倾斜角的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．在轴截面为直角三角形的圆锥内有一个内接圆柱，已知此圆柱的全面积等于该圆锥的侧
面积，则圆锥顶点到圆柱上底面的距离是圆锥母线长的 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知
,则n等
于 （ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
11．已知双曲线
，给出以下四个命题：
（1）双曲线C的渐近线方程是
；
（2）直线
与双曲线C只有一个交点；
（3）将双曲线
向左平移1个单位，并向上平移2个单位可得到双曲线C；
（4）双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离为3.
其中所有正确命题的序号是 （ ）
A．（1）（4） B．（2）（4） C．（2）（3） D．（3）（4）
12．若直线
、
)始终平分圆
的周长，则
a、b的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把正确答案填在题中的横线上）
13．
.
14．从5名男生和4名女生中，选出3个分别承担三项不同的工作，要求3人中既有男生
又有女生，则不同的选配方法共 （用数字作答）种.
15．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的
，经过这3个点的小
圆的周长为4π，那么这个球的半径为 .
16．椭圆
,若离心率为e，则
的最小值为
.
三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（理）（本小题满分12分）若复数
且
的值.
（文）已知函数
(a为常数).
（1）求反函数
与它的定义域；
（2）如果
上不同两点，求PQ中点R的坐标.
18．（理）（本小题满分12分）如图所示：四棱锥P-ABCD底面一直角梯形，BA⊥AD，CD
⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点.
（1）证明：EB∥平面PAD；
（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC；
（3）当PA=AD=DC时，求二面角E-BD-C的正切值.
（文）若复数
且
的值.
19．（理）（本小题满分12分）
已知数列{an}的前n项和
（1）求数列{an}和{bn}的通项；
（2）求证存在自然数n0,对一切不小n0的自然数n，恒有an>5bn.
（文）如图所示：四棱锥P-ABCD底面一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，
CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点.
（1）证明：EB∥平面PAD；
（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC；
（3）当PA=AD=DC时，求二面角E-BD-C的正切值.
20．（理）（本小题满分12分）某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以58万元的
优惠价转让给企业乙，约定乙用经营该店的利润偿还转让费（不计息）。已知经营
该店的固定成本为6.8万元/月，该消费品的进价为16元/件，月销量q（万件）
与售价p(元/件)的关系如图.
(1）写出销量q与售价p的函数关系式；
（2）当售价p定为多少时，月利润最多？
（3）企业乙最早可望在经营该专卖店几
个月后还清转让费？
(文) 已知数列{an}的前n项和
（1）求数列{an}和{bn}的通项；
（2）求证存在自然数n0,对一切不小n0的自然数n，恒有an>5bn.
21．（理）（本小题满分12分）如图：已知不垂直于x轴
的动直线l交抛物线
于A、
B两点，若A、B两点满足
原点O为PQ的中点.
（1）求证：A、P、B三点共线；
（2）当m=2时，是否存在垂直于x轴的直线l′，
使得l′被以AP为直径的圆所截得的弦长
为定值？如果存在，求出的l′方程；如果不存在，试说明理由.
（文）某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以58万元的
优惠价转让给企业乙，约定乙用经营该店的利润偿还转让费（不计息）。已知经营
该店的固定成本为6.8万元/月，该消费品的进价为16元/件，月销量q（万件）
与售价p(元/件)的关系如图.
(1）写出销量q与售价p的函数关系式；
（2）当售价p定为多少时，月利润最多？
（3）企业乙最早可望在经营该专卖店几个月后还清转
让费？
22．（本小题满分14分）
（理）已知函数
是
图象上不同的三点.
（1）如果存在正实数x，使
、y2、y3成等差数列，试用x表示实数a；
（2）在（1）的条件下，如果实数x是唯一的，试求实数a的取值范围.
（文）如图：已知不垂直于x轴的动直线l交抛物线
于A、B两点,若A、B两点满足
原点O为PQ的中点。
（1）求证：A、P、B三点共线；
（2）当m=2时，是否存在垂直于x轴的直线l′，使得l′被以AP为直径的圆所
截得的弦长为定值？如果存在，求出的l′方程；如果不存在，试说明理由.
高考模拟测试4
数学参考答案及评分标准
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．C 2．D 3．C 4．A 5. C 6．C 7．C 8．B 9．C 10．D 11．B 12．A
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13． 14．420 15．2
16．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分.）
17．（理）解：
. 
…2分
………………………………………………………4分
（1）2+（2）2得：
……………… ……6分
由（1）得：
…………（3）
由（2）得：
…………（4）……………………………8分
（4）÷（3）得：
…………………………………………………………10分
…………………………………………………………………12分
（文）解：（1）由
……………2分
……4分 定义域为
…………………………5分
（2）由已知得1=
即
…9分
∴P（1，1）、Q（3，2）.则PQ中点Q坐标是
…………………………12分
18．（理）证明：（1）取PD中点Q，连EQ、AQ，则∵QE∥CD，CD∥AB，∴QE∥AB，
又
∥AQ
又
∥平面PAD…3分
（2）PA⊥底面ABCD ∴CD⊥PA，又CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD ∴AQ⊥CD若PA=AD，
∴Q为PD中点，∴AQ⊥PD ∴AQ⊥平面PCD
∵BE∥AQ，∴BE⊥平面PCD…………………7分
（3）连结AC，取AC的中点G，连EG，EG∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，∴EC⊥平面ABCD，过G作GH⊥BD，连EH，则EH⊥BD，
∴∠EHG是二面角E—BD—C的平面角.……………………………………………10分
设AB=1，则PA=AD=DC=2AB=2.
∴
又
∽△ABG，
∴BG∥AD，∠GBH=∠ADB，∴△ABD∽△HBG.
.……12分
（文）同（理）17题的答案.
19．（理）解：（1）
时，
……………………………………………………………………3分
又
…5分
………………………………………………7分
（2）（i）当n=1时，
不成立；
（ii）当
恒成立 即
恒成立
只须
恒成立……………………………………………………………11分
由于
………12分
（文）同（理）18题的答案.
20．（理）解：（1）
………………………………………………3分
（2）设月利润为W（万元），则W=（p－16）q－6.8
=
……………………………………5分
当
……7分
当
∴当售价定为23元/件时，月利润最多为3万元…………………………9分
（3）设最早n个月后还清转让费，则
∴企业乙最早可望20个月后还清转让费…………………………………12分
（文）同（理）19题的答案.
21．（理）解：（1）设
……………………………………………1分
∵∠AQP=∠BQP ∴tg∠AQP=tg∠BQP 
……………3分
……………………………………………………………………4分
∵O点是PQ的中点，且Q（－4，0），∴P（4，0）
又
…6分
、P、B三点共线………8分
（2）假设l′存在，设其方程为x=n. 设
被圆截得的弦长为
…………………………………………10分
=
∴存在直线l′:x=3满足要求.……………………………………………………12分
（文）同（理）20题的答案.
22．（理）解：（1）f(x)的反函数是
P、Q、R是
图象上不同三点，
…2分
是不同三点，
……………………………………………………3分
已知y1、y2、y3成等差数列，即y1+y3=2y2
……①…………………………………………………5分
（2）等量关系①等价于
方程②等价于 
………………④
………………………………………………………8分
1°当
方程④仅有一个实数解
且满足③
满足①有唯一解；
2°当
方程②有二个相异实数解
又
满足条件③
是方程①的解………………………………………………………………………11分
要使方程①有唯一解，则x2不能是①的解 
的取值范围是
………………14分
（文）同（理）21题的答案.