2005年上海市高考数学最新测试卷
(七校联考：华师大一附中、曹杨二中、市西中学、市三女子、控江、格致、市北)
一、填空题（4′×12）
1．函数
图象恒过定点
，若
存在反函数
，则
的图象必过定点 
。
2．已知集合
，集合
，则集合
。
3．若角
终边落在射线
上，则
。
4．关于
的方程
有一实根为
，则
。
5．数列
的首项为
，且
，记
为数列前项和，则
。
6．新教材同学做：
若
满足
，则目标函数
取最大值时
。
老教材同学做：
若
的展开式中第3项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第 
项。
7．已知函数
，若对任意
有
成立，则方程
在
上的解为 
。
8．新教材同学做：
某校高二（8）班四位同学的数学期中、期末和平时成绩可分别用矩阵
表示，总评成绩分别按期中、期末和平时成绩的30%、40%、30%的总和计算，则四位同学总评成绩的矩阵
可用
表示为 
。
老教材同学做：
某足球队共有11名主力队员和3名替补队员参加一场足球比赛，其中有2名主力和1名替补队员不慎误服违禁药物，依照比赛规定，比赛后必须随机抽取2名队员的尿样化验，则能查到服用违禁药物的主力队员的概率为 
。（结果用分数表示）
9．将最小正周期为
的函数
的图象向左平移
个单位，得到偶函数图象，则满足题意的
的一个可能值为 。
10．据某报《自然健康状况》的调查报道，所测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据规律，并将最适当的数据填入表中括号内。
| 年龄（岁） | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 | …… |
| 收缩压 （水银柱/毫米） | 110 | 115 | 120 | 125 | 130 | 135 | （140） | 145 | …… |
| 舒张压 （水银柱/毫米） | 70 | 73 | 75 | 78 | 80 | 73 | 85 | （88） | …… |
11．若函数
，其中
表示
两者中的较小者，
则
的解为 
。
12．如图，
是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径
为
的半圆得到图形
，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径是前
一个被剪掉半圆的半径）可得图形
，记纸板
的面积为，则
。
二、选择题（4′×4）
13．已知
满足
，则下列选项中不一定能成立的是
（ C
）
A、
B、
C、
D、
14．下列命题正确的是 （ C ）
A、若
，
，则
。
B、函数
的反函数为
。
C、函数
为奇函数。
D、函数
，当
时，
恒成立。
15．函数
为奇函数的充要条件是
（ B
）
A、
B、
C、
D、
16．不等式
对任意
都成立，则
的取值范围为
（ B
）
A、
B、
C、
D、
三、解答题：
17．（本题满分12分）
新教材同学做：在
中，角
所对边分别为，已知
0
0 
= 0，求的面积S。
0 1
解：计算行列式的值，得 
，由正弦定理，得
即
，∴
，再由
，得
，∴
∴是直角三角形，∴
。
老教材同学做：在中，角所对边分别为，已知
，求 的面积S。
解：由及正弦定理，得 
，即 ，（其余同上）
18．（本题满分12分）
设复数
，复数
，且
在复平面上所对应点在直线
上，求
的取值范围。
解：
∴
19．（本题满分14分）
已知关于的不等式
的解集为
。
（1）当
时，求集合；
（2）若
，求实数的取值范围。
解：（1）时，不等式为
，解之，得 
（2）
时，
时，不等式为
， 解之，得 
，
则 ， ∴满足条件
综上，得 
。
20．（本题满分14分）
如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数
时，输出结果记为
，且计算装置运算原理如下：
①
若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则
；②若Ⅰ输入固定的正整数，
Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1，
Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。
试求：
（1）
的表达式
；（2）的表达式
；
（3）若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数，则输出结果
能否为2005？
若能，求出相应的；若不能，则请说明理由。
解：（1）
（2）
（3）
，∵
，
∴输出结果不可能为
。
21．（本题满分16分）
对数列，规定
为数列的一阶差分数列，其中
。
对自然数
，规定
为的阶差分数列，其中
。
（1）已知数列的通项公式
，试判断，
是否为等差或等比数列，为什么？
（2）若数列首项
，且满足
，求数列的通项公式。
（3）对（2）中数列，是否存在等差数列
，使得
对一切自然
都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由。
解：（1）
，∴是首项为4，公差为2的等差数列。
∴是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。
（2）
，即
，即
，∴
∵，∴
，
，
，猜想：
证明：ⅰ）当
时，
；
ⅱ）假设
时，
时，
结论也成立
∴由ⅰ）、ⅱ）可知，
（3），即 
∵
∴存在等差数列，
，使得对一切自然都成立。
22．（本题满分18分）
已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
（
为常数）。
（1）求函数的解析式；
（2）当
时，求在
上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在
上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当
时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线
上。
解：（1）
时，
， 则 
∵函数是定义在上的奇函数，即
∴
，即 ，又可知 
∴函数的解析式为 ，
（2）
，∵，
，∴
∵ 
∴
，即 
时，
。
猜想在上的单调递增区间为
。
（3）时，任取
，∵
∴
在上单调递增，即
，即
∵，∴
，∴
∴当时，函数的图象上至少有一个点落在直线上。