填 空 题 快 速 解 答
高 锋
填空题与选择题都属于客观性试题，具有共同命题的特点，评分客观、公正、准确等，但是基于填空题的特点：与选择题相比，没有备选项。因此，解答时既有不受诱误的干扰，又有缺乏提示的帮助，对考查学生独立思考问题和求解，在能力要求上会更高一些，长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，应该引起同学们的高度重视，而近年来，填空题的题型又有了新的变化和发展，多了一些创新题型，如何才能正确、合理、快速地完成一道填空题？常用的方法有：直接法、数形结合法、特殊值法、分析法、观察法、参数法等。
（一）直接法
从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得到正确的结论。
[例1] 
的展开式中
的系数为
。
解：
得展开式中的系数为
=179。
[类比1] 已知函数
在区间
上为增函数，则实数
的取值范围
是 。
[类比2] 函数
，在
中的最大值比最小值大
，则的值
为 。
[类比3] 在等差数列
中，若
，则等式
（
）成立，类比上述性质，相应地，在等比数列
中，若
，则有等
式 成立。
[类比4] 已知
是直线，
是平面，给出下列命题：
①若
，
，
，则
，或
；
②若
，
，
，则
；
③若
不垂直
，则不可能垂直于内无数条直线；
④若，，且
，
，则
且
。
其中正确的命题的序号是 。（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
（二）特殊值法
根据题设条件的特征，选取恰当的特殊值进行计算，从而得出探求的结论。
[例2] 不论取何值，直线
恒过一定点，这个定点坐标是 .
解：取
两个值分别代入直线得不同方程为
。解得交点坐标为
。
[类比1] 如图所示，三棱柱
中，若E、
F分别为AB、AC的中点，平面
将三棱柱分成
体积为
两部分，则
=
。
[类比2] 设
，且
，则直线
通过的定点为
。
[类比3] 若
，则
= 。
[类比4] 已知等差数列的各项均为正数，且满足
，
则该数列的前12项之和等于 。
（三）构造法
根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题的一种方法。
[例3] 4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒中，则只有1个空盒的放法共有
种（用数字作答）。
解：符合条件的放法是：有一个盒中放2个球，有2个盒中各放1个球。因此可先将球
分成3堆（一堆2个，其余2堆各1个，即构造了球的“堆”），然后从4个盒中选出3个盒
放1堆球，依分步计算原理，符合条件的放法有
（种）。
[类比1] 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=
PC=，那么这个球面面积是
。
（四）分析法
根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论。
[例4] 设含有10个元素的集合全部子集数为
，其中由3个元素组成的子集数为
，则
的值为
。
解：由
，
，故
。
[类比1] 设是首项为1的正项数列，且
(n=1,2,3,…),
则它们的通项公式是
。
[类比2] 如右图，在直四棱柱
中，当底面四边形满足条件
时，有
（填上你认为正确的一个条件
即可，不必考虑所有可能性的情形）。
[类比3] 椭圆
长轴上一个顶点为
A， 以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角
三角形，该三角形的面积是 。
[类比4] 已知函数
，给出下列命题：
①
必是偶函数；
②
时，的图象必关于直线
对称；
③若
，则在区间
上是增函数；
④有最大值
。
其中正确的命题的序号是 。
（五）整体代入法
将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体功能或作种种整体处理后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的。
[例5] 三棱锥的三个侧面两两互相垂直，它们的侧面积分别是6、4、3，则它的体积等于 。
解：设三条棱长分别为
，则
。
得
。
[类比1] 不等式
的解集为
。
（六）数形结合法
根据题目条件的特点，作出符合题意的图形（象），然后通过对图形的分析而得出正确的结论。
[例6] 设对任意实数
，函数
总有意义，则实数的取值范围是
。
解：函数有意义，有
，
即
在时恒成立。
设
，则当时，
恒成立。
依右图抛物线的特征，有
，
得
，解得
。
另解：函数有意义，有，
即在时恒成立。得
，运用导数可求得
在时的极大值为4，于是。
[类比1] 定义在R上的函数是增函数，
是其图象上的两点，则不等式
的解集为
。
[类比2] 对任意实数
表示
中较小的那个数，若
，
，则
的最大值是
。
[类比3] 关于
的方程
有且只有一个实根，则实数
的取值范围是 。
参考答案
（一）直接法：
1、
. 2、
. 3、
. 4、②⑷.
（二）特殊值法
1、7:5. 2、(1,1). 3、1. 4、48.
（三）构造法
1、
.
（四）分析法
1、
. 2、
. 3、
. 4、③.
（五）整体代入法
1、
.
（六）数形结合法
1、
. 2、1. 3、
。
（柯正摘自《状元之路·高考热点专题专练·数学》北京教育出版社）