2006届高三联考试卷（2006.1）
数 学
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（每小题5分，共10小题，共50分），把答案涂在答题卡上.
1．圆
与圆
关于直线
对称，则
与
的值分别等于( )
A．
，
B．
， C．，
D．，
2．等差数列
的通项公式是
，其前
项和为
，则数列
的前10项和为 ( )
A．75 B．70 C．120 D．100
3．先将
的图象沿
轴向右平移
个单位，再将图象上每一个点的横坐标伸长为原来的2倍，而保持它们的纵坐标不变，得到的曲线与
的图象相同，则是（ ）
A．
B． 
C．
D．
4．已知直线
、和平面
，则
的一个必要不充分条件是（ ）
A． 
，
B．
，
C． ，
D． 、与成等角
5．函数
在其定义域上单调递减，且值域为
，则它的反函数的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．函数
满足：
，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线
对称
B．的图象关于点（1，0）对称
C．函数
是奇函数
D．函数周期函数
7．无穷数列中，
，其前项和为．当
，
时，
，则
等于( )
A．0 B．
C．
D．3
8．已知
，全集U=R，集合M=
，N=
，P=
，则P与M、N的关系为
（ ）
A．P= (CUM) 
N B．P=M(CUN) C．P=MN D．P=M
N
9．
为三角形的一个内角，且
，则
与
的值依次为 ( )
A．
B．
C．
D．
10．已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
和
．若
是
与的等比中项，
是
与
的等差中项，则椭圆的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）
11．不等式
对所有
都成立，则
的取值范围是 ．
12．右图所示的流程图是将一系列指令和问题
用框图的形式排列而成，箭头说明下一步是到
哪一个框图。阅读这个流程图，回答下列问题：
若a<b<c，则输出的数是 ；（2分）
若a=
,b=
,c=
，则输出的数是
．
（用字母a、b、c填空）（3分）
13．点A、B、C是表面积为
的球O表面上的三点，且每两点间的球面距离都等于
，则三棱锥O–ABC的体积等于
．
14．有下列四个命题：
① 函数
的值域是
；
②平面内的动点P到点F
和到直线
:
的距离相等，则P的轨迹是抛物线；
③直线AB与平面相交于点B，且AB与内相交于C的三条互不重合的直线CD、CE、CF所成的角相等，则AB
；
④函数
的最小正周期是
． 其中正确的命题的编号是 ．
2006届高三联考试卷（2006.1）数学答案、评分说明
一、选择题（5
10=50）
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| B | A | C | D | C | D | A | B | C | B |
二、填空题（54=20）
11． 
12． c （2分） b （3分）
13． 
14． ③、④
三、解答题：（共6小题，共80分）
15．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为、、．其中
，
．
（1）求角B的大小；
（2）求+的取值范围．
解：(1)由得
1分
可知
，否则有，
，
，互相矛盾． 2分
∴ 
，即
3分
而
，所以
．
4分
∴ B=
．
5分
（2）由正弦定理有，
，
∴ 
， 
，
7分
∴
9分
∵ 
， ∴ 
， 于是
，
11分
则+的取值范围是
．
12分
16．（13分）设
，函数
是奇函数．
（1）求常数的值；
（2）实数
，
是函数的反函数，解关于的不等式
．
解：(1)为奇函数的充要条件是：对任意
，
都成立． 1分
4分
即
恒成立，
∴ 
5分
(2) 函数的定义域是R．
可得的值域为
．
6分
由
得， 
，从而得到
8分
则原不等式为 
由及函数
单调递增知，不等式等价于
10分
当
时，原不等式的解集为
；
11分
当
时，原不等式的解集为．
13分
17.（13分）我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用了价格调控等手段来达到节约用水的目的．某市用水收费的方法是：水费=基本费 + 超额费 + 定额损耗费．
若每月用水量不超过最低限量
时，只付基本费8元和每月的定额损耗费元；若用水量超过
时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每1
付元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．
该市一家庭今年一季度的用水量和支付费用见下表，根据表中的数据求、、．
| 月份 | 用水量（ | 水费（元） |
| 1 | 9 | 9 |
| 2 | 15 | 19 |
| 3 | 22 | 33 |
解：设月用水量为，当月支付费用为
元，则
3分
由题知，
4分
从表中知，2月、3月的费用均大于13元，故用水量15、22均大于最低限量，将
、
分别代入上述(2)可得
解得
6分
(3)
7分
若1月份用水量9超过最低限量，即
，将
代入上述（2）式中得
得
，这与（3）式矛盾.
，
10分
因此1月份的付款应为：
11分
故
12分
答：略. 13分
18. （14分）如图，棱柱ABCD–A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=
，
平面A A1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=．
(1) 求二面角D–A1A–C的大小；
(2) 求点B1到平面A1ADD1的距离；
(3) 在直线CC1上是否存在点P，使BP // 平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．
解：（1）在平面ABCD上，AB=BC=CD=DA=2
∴四边形ABCD为菱形
∴BD⊥AC
∵平面A A1C1C⊥平面ABCD
∴BD⊥平面A A1C1C
设AC∩BD=O，过O作OE⊥AA1于E点，连结DE，由三垂线定理有，AA1⊥DE，
则∠DEO为二面角D–A1A–C的平面角 2分
在菱形ABCD中，AB=2， ∠ABC=
∴AC=AB=BC=2
∴AO=1, DO=
在Rt△AEO中，
在Rt△DEO中，
∴∠DEO=
4分
∴二面角D–A1A–C的大小为．
5分
（2）连结A1O、A1B．由于B1B //平面A1A DD1，所以B、B1到平面A1A DD1的距离相等，设点B到平面A1A DD1的距离等于
．
6分
在△AA1 O中，
∴
∴A1O⊥AO
而平面A A1C1C⊥平面ABCD ∴A1O⊥平面ABCD 7分
由上述第（1）问有，ED ⊥A1A1且
∴
又
由
有,
9分
∴
即点B1到平面A1ADD1的距离等于
．
10分
（3）存在这样的点P． 连结B1C．
∵A1B1
ABDC ∴四边形A1B1CD为平行四边形 ∴A1D//B1C
12分
在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连结BP，
因B1B
C1C ∴B1BCP ∴四边形BB1CP为平行四边形
∴BP//B1C ∴BP//A1D 13分
则有BP // 平面DA1C1 14分
注：本题的侧棱长为2是一个多余的条件，其作为已知可以减少向量坐标解法的运算量。
19.（14分）在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，
，
．过点M作MM1⊥轴于M1，过N作NN1⊥
轴于点N1，
．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）．
（1） 求曲线C的方程；
（2） 证明不存在直线，使得
；
（3） 
过点P作轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若
，证明
．
（1）解：设点T的坐标为
，点M的坐标为
，则M1的坐标为
∴点N的坐标为
1分
∴N1的坐标为
∴
2分
由
有 
∴
由此得
3分
由有
∴
即
，即为所求的方程．曲线C为椭圆． 4分
（2）证：点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线的斜率不存在时，直线与椭圆C无交点，所以直线斜率存在，并设为．直线的方程为
．
5分
由方程组
得
6分
依题意
，得
．
7分
当时，设交点
，PQ的中点为R
，则
，
∴
8分
又
BR⊥
9分
但
不可能成立，所以不存在直线使得．
10分
（3）证明：由题有S
，
．
则有方程组
11分
由（1）得：
将（2）、（5）代入（3）有
整理并将（4）、（5）代入得 
易知
，解得
12分
因
，故
，
，
∴
∴．
14分
20．（14分）数列的各项均为正值，
，对任意，
，
都成立．
(1)
求数列、
的通项公式；
(2)
当
且
时，证明对任意都有
成立．
(1)
解：由得，
2分
数列
的各项为正值，
∴
3分
∴
4分
又
∴数列
为等比数列．
6分
∴
， 
，即为数列
的通项公式． 7分
8分
（2）设
∴
(1) 10分
当
时，
，
∴
∴
, 当且仅当
时等号成立．
12分
上述（1）式中，，
，
全为正，所以
13分
∴
14分
得证．