素质能力检测（十五）
一、选择题（每小题5分，共30分）
1.如果复数
（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于
A.
B.
C.－ D.2
解析： =
=
∴2－2b=b+4，b=－.
答案：C
2.当＜m＜1时，复数z=(3m－2)+(m－1)i在复平面上对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：z对应的点为(3m－2，m－1)，
∵＜m＜1，
∴0＜3m－2＜1，－
＜m－1＜0.
答案：D
3.在下列命题中，正确命题的个数为
①两个复数不能比较大小;
②z1、z2、z3∈C，若(z1－z2)2+(z2－z3)2=0，则z1=z3;
③若(x2－1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±1;
④z为虚数的一个充要条件是z+
∈R;
⑤若a、b是两个相等的实数，则(a－b)+(a+b)i是纯虚数;
⑥复数z∈R的一个充要条件是z=.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：①错，两个复数如果都是实数则可比较大小;②错，当z1、z2、z3不全是实数时不成立，如z1=i，z2=1+i，z3=1时满足条件，但z1≠z3;③错，当x=－1时，虚部也为零，原数是实数;④错，此条件是必要非充分条件;⑤错，当a=b=0时，原数是实数;⑥对.
答案：B
4.设f(n)=(
)n+(
)n(n∈Z)，则集合｛x｜x=f(n)｝中元素的个数是
A.1 B.2 C.3 D.无穷多个
解析：∵f(n)=in+(－i)n，
∴f(0)=2，f(1)=i－i=0，f(2)=－1－1=－2，f(3)=－i+i=0.
∴｛x｜x=f(n)｝=｛－2，0，2｝.
答案：C
5.已知复平面内的圆M：z－2=1，若
为纯虚数，则与复数p对应的点P
A.必在圆M上 B.必在圆M内
C.必在圆M外 D.不能确定
解析：∵为纯虚数，设为ki(k∈R，k≠0)，
∴(1－ki)p=1+ki，取模得p=1且p≠1.
∴选C.
答案：C
6.已知复数(x－2)+yi(x、y∈R)的模为
，则
的最大值是
A.
B.
C.
D.
解析：∵｜x－2+yi｜=，
∴(x－2)2+y2=3.
∴(x，y)在以C(2，0)为圆心、以为半径的圆上，如右图，由平面几何知识知
.
答案：D
二、填空题（每小题4分，共16分）
7.已知M={1，2，(a2－3a－1)+(a2－5a－6)i}，N={－1，3}，M∩N={3}，实数a=_________.
解析：按题意(a2－3a－1)+(a2－5a－6)i=3，
∴
解得a=－1.
答案：－1
8.复数z=
－2i的模为_______________.
解析：由复数的模的性质可知
z=
－2i
=
－2i=
－2i，∴z=3.
答案：3
9.若x、y∈R，且2x－1+i=y－(3－y)i，则x=__________，y=___________.
解析：根据复数相等的定义求得.
答案：
4
10.复数z满足z·
+z+=3，则z对应点的轨迹是____________.
解析：设z=x+yi(x、y∈R)，则x2+y2+2x=3表示圆.
答案：以点（－1，0）为圆心，2为半径的圆
三、解答题(本大题共4小题，共54分)
11.(12分)设复数z1、z2满足z1·z2+2iz1－2iz2+1=0，
－z1=2i，求z1和z2.
解：∵－z1=2i，∴=z1+2i.
∴z2=
，即z2=
－2i.
又∵z1·z2+2iz1－2iz2+1=0，
∴z1(－2i)+2iz1－2i(－2i)+1=0，
即2－2i－3=0.
令z1=a+bi(a、b∈R)，
得a2+b2－2b－3－2ai=0，
即
解得
∴z1=3i，z2=－5i或z1=－i，z2=－i.
12.(14分)设复数z满足4z+2=3+i，ω=sinθ－icosθ(θ∈R)，求z的值和z－ω的取值范围.
解：设z=a+bi(a、b∈R)，则=a－bi，代入4z+2=3+i，得
4(a+bi)+2(a－bi)=3+i，
即6a+2bi=3+i.
∴
∴z=
i.
z－ω=+i－(sinθ－icosθ)
=
=
=
.
∵－1≤sin(θ－
)≤1，∴0≤2－2sin(θ－)≤4.∴0≤z－ω≤2.
13.(14分)非零复数a、b、c满足
=
=
，求
的值.
解：设===k，则a=bk，b=ck，c=ak，即c=ak，b=ak·k=ak2，a=ak2·k=ak3，
∴k3=1.∴k=1或k=－±i.
则=
=
.
若k=1，则原式=1;
若k=－+i，则原式=－－i;
若k=－－i，则原式=－+i.
综上，的值分别为1，－－i，－1+i.
14.(14分)设复数z满足｜z｜=5，且(3+4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，｜z－m｜=5 (m∈R)，求z和m的值.
解：设出z的代数形式z=x+yi(x、y∈R).
∵｜z｜=5，∴x2+y2=25.
∵(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)
=(3x－4y)+(4x+3y)i，
又(3+4i)z在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上，则它的实部与虚部互为相反数，∴3x－4y+4x+3y=0.
化简得y=7x.将其代入x2+y2=25，得x=±
，y=±
.
∴z=±(+i).则当z=+i时，
｜z－m｜=｜1+7i－m｜=5，
即(1－m)2+72=50.解得m=0或m=2.
当z=－(+i)时，同理可得m=0或m=－2.