2004年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
数 学
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立,那么
P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是
P,那么n次独立重复试验中恰好发生k
次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1.若的终边所在象限是
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.对于,给出下列四个不等式
① ②
③ ④
其中成立的是
A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④
3.已知α、β是不同的两个平面,直线,命题无公共点;命题
. 则的
A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件
4.设复数z满足
A.0 B.1 C. D.2
5.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p1,乙解决这个问题的概率是
p2,那么恰好有1人解决这个问题的概率是
A. B.
C. D.
6.已知点、,动点,则点P的轨迹是
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
7.已知函数,则下列命题正确的是
A.是周期为1的奇函数 B.是周期为2的偶函数
C.是周期为1的非奇非偶函数 D.是周期为2的非奇非偶函数
8.已知随机变量的概率分布如下:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
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|
| m |
则
A. B. C. D.
9.已知点、,动点P满足. 当点P的纵坐标是时,
点P到坐标原点的距离是
A. B. C. D.2
10.设A、B、C、D是球面上的四个点,且在同一平面内,AB=BC=CD=DA=3,球心到该
平面的距离是球半径的一半,则球的体积是
A. B. C. D.
|
A. B.
C. D.
12.有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个
座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是
A.234 B.346 C.350 D.363
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
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的截距是 .
14.= .
15.如图,四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD
为正方形,侧棱与底面边长均为2a,
且,则侧棱AA1和截面B1D1DB的距离是 .
16.口袋内装有10个相同的球,其中5个球标有数字0,5个球标有数字1,若从袋中摸出
5个球,那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 .(以
数值作答)
三、解答题:本大题共6小题,共74分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
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点E为AB中点,点F为PD中点.
(1)证明平面PED⊥平面PAB;
(2)求二面角P—AB—F的平面角的余弦值.
18.(本小题满分12分)
设全集U=R
(1)解关于x的不等式
|
若( ∪A)∩B恰有3个元素,求a的取值范围.
19.(本小题满分12分)
设椭圆方程为,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,
点P满足,点N的坐标为,当l绕点M旋转时,求:
(1)动点P的轨迹方程;
(2)的最小值与最大值.
20.(本小题满分12分)
甲方是一农场,乙方是一工厂. 由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方
索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x
(元)与年产量t(吨)满足函数关系.
若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格),
(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润
的年产量;
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额(元),在乙方按照获得最大
利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的
赔付价格s是多少?
21.(本小题满分14分)
已知函数的最大值不大于,又当
(1)求a的值;
(2)设
22.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)求函数的反函数的导数
(2)假设对任意成立,求实
数m的取值范围.
2004年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
数学试题答案与评分参考
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分,满分60分.
1.D 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.B 8.C 9.A 10.A 11.C 12.B
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算. 每小题4分,满分16分.
13.1 14. 15.a 16.
三、解答题
17.本小题主要考查空间中的线面关系,四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识,考查空
间想象能力和推理能力. 满分12分.
(1)证明:连接BD.
为等边三角形.
是AB中点,…………2分
面ABCD,AB面ABCD,
面PED,PD面PED,面PED.…………4分
面PAB,面PAB. ……………………6分
(2)解:平面PED,PE面PED,
连接EF,PED,
|
设AD=2,那么PF=FD=1,DE=.
在
即二面角P—AB—F的平面角的余弦值为…12分
18.本小题主要考查集合的有关概念,含绝对值的不等式,简单三角函数式的化简和已知三
角函数值求角等基础知识,考查简单的分类讨论方法,以及分析问题和推理计算能力. 满
分12分.
解:(1)由
当时,解集是R;
当时,解集是……………………3分
|
|
因
由…………8分
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19.本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识,以
及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分
12分.
(1)解法一:直线l过点M(0,1)设其斜率为k,则l的方程为
记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组
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将①代入②并化简得,,所以
于是
…………6分
设点P的坐标为则
消去参数k得 ③
当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P的轨迹方
程为………………8分
解法二:设点P的坐标为,因、在椭圆上,所以
④ ⑤
④—⑤得,所以
当时,有 ⑥
并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 ⑧
当时,点A、B的坐标为(0,2)、(0,-2),这时点P的坐标为(0,0)
也满足⑧,所以点P的轨迹方程为
………………8分
(2)解:由点P的轨迹方程知所以
……10分
故当,取得最小值,最小值为时,取得最大值,
最大值为……………………12分
注:若将代入的表达式求解,可参照上述标准给分.
21.本小题主要考查函数和不等式的概念,考查数学归纳法,以及灵活运用数学方法分析和
解决问题的能力. 满分14分.
(1)解:由于的最大值不大于所以
① ………………3分
又所以. ②
由①②得………………6分
(2)证法一:(i)当n=1时,,不等式成立;
因时不等式也成立.
(ii)假设时,不等式成立,因为的
对称轴为知为增函数,所以由得
………………8分
于是有
…………12分
所以当n=k+1时,不等式也成立.
根据(i)(ii)可知,对任何,不等式成立.…………14分
证法二:(i)当n=1时,,不等式成立;
(ii)假设时不等式成立,即,则当n=k+1时,
………………8分
因所以
……12分
于是 因此当n=k+1时,不等式也成立.
根据(i)(ii)可知,对任何,不等式成立.…………14分
证法三:(i)当n=1时,不等式成立;
(ii)假设时.
若则 ①…………8分
所以都是增函数.
因此当时,的最大值为的最小值为
而不等式②成立当且仅当即
,于是得 ………………12分
解法二:由得
设
于是原不等式对于恒成立等价于 ③…7分
由,注意到
故有,从而可均在
上单调递增,因此不等式③成立当且仅当
即 ………………12分