1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为
，相应于焦点
（
）的准线
与x轴相交于点
，
，过点的直线与椭圆相交于
、
两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若
，求直线
的方程；
（3）设
（
），过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点
，证明
. (14分)
2．
已知函数
对任意实数x都有
，且当
时，
。
（1） 
时，求的表达式。
（2） 证明是偶函数。
（3） 试问方程
是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。当
3．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：
。
（1） 若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；
（2） 过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值；
（3） 
过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。
4.以椭圆
＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.
5 已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝0.
（Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；
（Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求A1B1的取值范围.
6
已知过函数f（x）=
的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。
（1） 求a、b的值；
（2） 求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立；
（3）
令
。是否存在一个实数t，使得当
时，g（x）有最大值1？
7
已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，︱
︱是2和
的等比中项。
（1） 求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
（2） 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。
8．已知数列{an}满足
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前项和为Sn，试比较Sn与
的大小，并证明你的结论.
9．已知焦点在
轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点
为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线
对称．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线
与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（-2，0）及AB的中点，求直线在
轴上的截距b的取值范围；
（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，
为双曲线C的左，右两个焦点，从
引
的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．
10. 对任意
都有
（Ⅰ）求
和
的值．
（Ⅱ）数列
满足：
=
+
，数列是等差数列吗？请给予证明；
（Ⅲ）令
试比较
与
的大小．
11. ：如图，设OA、OB是过抛物线y2＝2px顶点O的两条弦，且＝0，求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹.(13分)
12.知函数f(x)＝log3(x2－2mx＋2m2＋)的定义域为R
(1)求实数m的取值集合M；
(2)求证：对m∈M所确定的所有函数f(x)中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m的值和x的值.
13.设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为
函数f(x)=
(1). 求f(
的值。
（2）。证明：f(x)在[
上是增函数。
（3）。对任意正数x1、x2,求证：
14．已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和.对于任意的
，都有
.
I、求数列
的通项公式.
II、若
对于任意的恒成立，求实数
的最大值.
15.(
12分)已知点H（－3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足
·
=0，=－
，
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过点T（－1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0,0），使得△ABE为等边三角形，求x0的值.
16.（14分）设f1(x)=
,定义fn+1 (x)=f1［fn(x)］,an=
,其中n∈N*.
(1) 求数列｛an｝的通项公式；
(2)若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n,Qn=
,其中n∈N*,试比较9T2n与Qn的大小.
17． 已知
=（x,0），
=（1，y），（+
）
（–）．
（I）
求点
（x，y）的轨迹C的方程；
（II）
若直线L：y=kx+m(m
0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有 AD=BD，试求m的取值范围．
18．已知函数对任意实数p、q都满足
（1）当
时，求
的表达式；
（2）设
求证：
（3）设
试比较
与6的大小．
19．已知函数
若数列：
…，
成等差数列.
（1）求数列
的通项
；
（2）若
的前n项和为Sn，求
；
（3）若
，对任意
,求实数t的取值范围.
20．已知△OFQ的面积为
（1）设
正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），
，
当
取得最小值时，求此双曲线的方程.
（3）设F1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动
|
21、已知函数
是偶函数，
是奇函数，正数数列
满足
①
求的通项公式；
②若的前
项和为
，求.
22、直角梯形ABCD中∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝
，BC＝
．椭圆C以A、B为焦点且经过点D．
（1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程；
（2）若点E满足
，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且
，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由．
23、．设函数
（1）求证：对一切
为定值；
（2）记
求数列的通项公式及前n项和.
24. 已知函数是定义在R上的偶函数.当X
0时, =
.
(I)
求当X<0时, 的解析式;
(II)
试确定函数= (X0)在
的单调性，并证明你的结论.
(III)
若
且
，证明：
－
<2.
25、已知抛物线
的准线与轴交于
点，过作直线与抛物线交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线与X轴交于D(X0,0)
⑴求X0的取值范围。
⑵△ABD能否是正三角形？若能求出X0的值，若不能，说明理由。
26、已知□ABCD，A（-2，0），B（2，0），且∣AD∣=2
⑴求□ABCD对角线交点E的轨迹方程。
⑵过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，且∣MN∣=
，MN的中点到Y轴的距离为
，求椭圆的方程。
⑶与E点轨迹相切的直线l交椭圆于P、Q两点，求∣PQ∣的最大值及此时l的方程。
 |
27．（14分）（理）已知椭圆
，直线l过点A（－a，0）和点B（a，ta）
（t＞0）交椭圆于M.直线MO交椭圆于N.（1）用a，t表示△AMN的面积S；
（2）若t∈[1，2]，a为定值，求S的最大值.
28．已知函数f(x)= 的图象过原点，且关于点（-1，1）成中心对称.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若数列{an}（n∈N*）满足：an>0，a1=1，an+1= [f()]2，求数列{an}的通项公式an，并证明你的结论.
30、已知点集
其中
点列
在
中，
为与轴的交点，等差数列的公差为1，
。
（1）求数列，
的通项公式；
（2）若
求
；
（3）若
是否存在
使得
若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由。
21．经过抛物线
的焦点F的直线
与该抛物线交于、
两点. (12分)
（1）若线段
的中点为
,直线的斜率为,试求点的坐标,并求点的轨迹方程
（2）若直线的斜率
,且点到直线
的距离为
,试确定
的取值范围.
1（1）解：由题意，可设椭圆的方程为
。
由已知得
解得
所以椭圆的方程为
，离心率
。
（2）解：由（1）可得A（3，0）。
设直线PQ的方程为
。由方程组
得
，依题意
，得
。
设
，则
， ① 
。 ②
由直线PQ的方程得
。于是
。 ③
∵，∴
。 ④
由①②③④得
，从而
。
所以直线PQ的方程为
或
（3，理工类考生做）证明：
。由已知得方程组
注意
，解得
因
，故
。
而
，所以。
2 ①f(x)=
(2k≦x≦2k+2,
k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根
3 ①x2=4y ②x1x2=-4 ⑶P(±2,1) SMIN=
4 .解：因a＞1，不防设短轴一端点为B（0，1）
设BC∶y＝kx＋1（k＞0）
则AB∶y＝－
x＋1
把BC方程代入椭圆，
是（1＋a2k2）x2＋2a2kx＝0
∴BC＝
，同理AB＝
由AB＝BC，得k3－a2k2＋ka2－1＝0
（k－1）［k2＋（1－a2）k＋1］＝0
∴k＝1或k2＋（1－a2）k＋1＝0
当k2＋（1－a2）k＋1＝0时，Δ＝（a2－1）2－4
由Δ＜0，得1＜a＜
由Δ＝0，得a＝，此时，k＝1
故，由Δ≤0，即1＜a≤时有一解
由Δ＞0即a＞时有三解
5 解：依题意，知a、b≠0
∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0
∴a＞0且c＜0
（Ⅰ）令f（x）＝g（x），
得ax2＋2bx＋c＝0.（*）
Δ＝4（b2－ac）
∵a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴Δ＞0
∴f（x）、g（x）相交于相异两点
（Ⅱ）设x1、x2为交点A、B之横坐标
则A1B12＝x1－x22，由方程（*），知
A1B12＝
∵
，而a＞0，∴
∵
，∴
∴
∴4［（
）2＋＋1］∈（3，12）
∴A1B1∈（，2）
6、解：（1）
=
依题意得k=
=3+2a=－3， ∴a=－3
，把B（1，b）代入得b=
∴a=－3，b=－1
（2）令=3x2－6x=0得x=0或x=2
∵f（0）=1，f（2）=23－3×22＋1=－3
f（－1）=－3，f（4）=17
∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17
要使f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A－1987
∴A≥2004。
（1）
已知g（x）=－
∴
∵0＜x≤1，∴－3≤－3x2＜0，
①
当t＞3时，t－3x2＞0，
∴g（x）在
上为增函数，
g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去）
②
当0≤t≤3时,
令
=0,得x=
列表如下:
| x | （0, |
|
|
|
| ＋ | 0 | － |
| g（x） | ↗ | 极大值 | ↘ |
g（x）在x=处取最大值－
＋t=1
∴t=
=
＜3
∴x=＜1
③当t＜0时，＜0，∴g（x）在上为减函数，
∴g（x）在上为增函数，
∴存在一个a=，使g（x）在上有最大值1。
7、解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）,
,
=（－2－x,－y）
=（2－x,－y）
∴·=（－2－x,－y）·（2－x,－y）=
由题意得∣PH∣2=2··
即
即
，所求点P的轨迹为椭圆
（2）由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1，－1），则∣QE∣=∣QN∣
双曲线的C实轴长2a=
（当且仅当Q、E、M共线时取“=”），此时，实轴长2a最大为
所以，双曲线C的实半轴长a=
又
∴双曲线C的方程式为
8.（1）
（2）
9．解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0
∵该直线与圆
相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．…………………………………………2分
故设双曲线C的方程为
．
又双曲线C的一个焦点为 
∴
，
．
∴双曲线C的方程为
．………………………………………………4分
（Ⅱ）由
得
．
令
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在
上有两个不等实根．
因此
解得
．
又AB中点为
，
∴直线l的方程为
．………………………………6分
令x=0，得
．
∵
，
∴
∴
．………………………………………………8分
（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长
到T，使
，
若Q在双曲线的左支上，则在上取一点T，使．
根据双曲线的定义
，所以点T在以
为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是
①…………………………………………10分
由于点N是线段
的中点，设
，
．
则
，即
．
代入①并整理得点N的轨迹方程为
．
………………12分
10 解：（Ⅰ）因为
．所以
．……2分
令
，得
，即
．……………4分
（Ⅱ）
又
………………5分
两式相加
．
所以
，………………7分
又
．故数列是等差数列．………………9分
（Ⅲ）
………………10分
………………12分
所以
……………………………………………………………………14分
11．设直线OA的斜率为k，显然k存在且不等于0
则OA的方程为y＝kx
由解得A() ……4分
又由，知OA⊥OB，所以OB的方程为y＝－x
由解得B(2pk2，－2pk) ……4分
从而OA的中点为A'()，OB的中点为B'(pk2，－pk) ……6分
所以，以OA、OB为直径的圆的方程分别为
x2＋y2－＝0
……①
x2＋y2－2pk2x＋2pky＝0
……② ……10分
∵P(x，y)是异于O点的两圆交点，所以x≠0，y≠0
由①－②并化简得y＝(k－)x
……③
将③代入①，并化简得x(k2＋－1)＝2p ……④
由③④消去k，有x2＋y2－2px＝0
∴点P的轨迹为以(p，0)为圆心，p为半径的圆(除去原点). ……13分
12．(1)由题意，有x2－2mx＋2m2＋＞0对任意的x∈R恒成立
所以△＝4m2－4(2m2＋)＜0
即－m2－＜0
∴＞0
由于分子恒大于0，只需m2－3＞0即可
所以m＜－或m＞
∴M＝{mm＜－或m＞} ……4分
(2)x2－2mx＋2m2＋＝(x－m)2＋m2＋≥m2＋
当且仅当x＝m时等号成立.
所以，题设对数函数的真数的最小值为m2＋ ……7分
又因为以3为底的对数函数为增函数
∴f(x)≥log3(m2＋)
∴当且仅当x＝m(m∈M)时，f(x)有最小值为log3(m2＋) ……10分
又当m∈M时，m2－3＞0
∴m2＋＝m2－3＋＋3≥2＋3＝9
当且仅当m2－3＝，即m＝±时，
log3(m2＋)有最小值log3(6＋)＝log39＝2
∴当x＝m＝±时，其函数有最小值2.
13．解析：（1）。，由根与系数的关系得，
同法得f(
(2).证明：
f/(x)=
而当x
时，
2x2-tx-2=2(x-
故当x时, f/(x)≥0,
函数f(x)在[上是增函数。
（3）。证明：
, 同理
.
又f(
两式相加得:
即
而由（1），f(
且f(
,
.
14(I)
当
时,
,
,又{an}各项均为正数,
.数列是等差数列, 
(II) 
,若对于任意的恒成立,则
.令
,.当
时,
.又
，
. 的最大值是
.
15.（1）设点M的坐标为(x,y)，由=－,得P(0,－
),Q(
,0), 2分
由·=0，得（3，－）(x,
)=0,又得y2=4x, 5分
由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0,
所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点. 6分
（2）设直线l:y=k(x+1),其中k≠0,代入y2=4x,得k2x2+2(k2－2)x+k2=0,① 7分
设A（x1,y1）,B(x2,y2),
则x1,x2是方程①的两个实根，∴x1+x2=－
,x1x2=1,
所以，线段AB的中点坐标为(
,
), 8分
线段AB的垂直平分线方程为y－=－
(x－), 9分
令y=0,x0=
+1,所以点E的坐标为(+1,0)
因为△ABE为正三角形，所以点E（+1,0）到直线AB的距离等于
｜AB｜,
而｜AB｜=
=
·
, 10分
所以，
=
, 11分
解得k=±,得x0=
. 12分
16.（1）f1(0)=2,a1=
=
,fn+1(0)=f1［fn(0)］=
,
an+1=
=
=
=－
=－an, 4分
∴数列｛an｝是首项为,公比为－的等比数列，∴an=(－)n－1. 6分
（2）T2n=a1+2a2+3a3+…+(2n－1)a2n－1+2na2n,
－T2n=(－a1)+(－)2a2+(－)3a3+…+(－)(2n－1)a2n－1+(－)·2na2n
=a2+2a3+…+(2n－1)a2n－na2n, 8分
两式相减得T2n=a1+a2+a3+…+a2n+na2n,
所以，T2n=
+n×(－)2n－1=
－(－)2n+
(－)2n－1, 10分
T2n=
－(－)2n+
(－)2n－1=(1－
).
∴9T2n=1－,
Qn=1－
, 12分
当n=1时，22n=4,(2n+1)2=9,∴9T2n＜Qn;
当n=2时，22n=16,(2n+1)2=25,∴9T2n＜Qn; 13分
当n≥3时，22n=［（1+1）n］2
=(C
+C
+C
+…+C
)2＞(2n+1)2,∴9T2n＞Qn. 14分
17．解（I）+=（x,0）+(1,y)=(x+, y),
–=（x, 0）
(1,y)= (x,– y).
(+)(),
(+)·()=0, (x+)( x)+y·(y)=0,
故P点的轨迹方程为
． （６分）
（II）考虑方程组
消去y，得（1–3k2）x2-6kmx-3m2-3=0
(*)
显然1-3k20, 
=(6km)2-4(1-3k2)( -3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0.
设x1,x2为方程*的两根，则x1+x2=
，x0=
, y0=kx0+m=
,
故AB中点M的坐标为（
，
）,
线段AB的垂直平分线方程为y
=（）
,
将D（0，–1）坐标代入，化简得 4m=3k21,
故m、k满足
消去k2得 m24m>0, 解得 m<0或m>4.
又4m=3k21>1, 
故m
(
,0)
(4,+
)． （１２分）
18．(1)解 由已知得
． (4分)
(2)证明 由(1)可 知 
设
则
．
两式相减得
+…+
． （9分）
（3）解 由（1）可知
则
=
故有
=6
． （１４分）
19．（1）
（2）
（3）
为递增数列 
中最小项为
20．（1）
（2）设所求的双曲线方程为
又由
当且仅当c=4时，最小，此时Q的坐标为
所求方程为
（3）设
的方程为
的方程为
则有
①
② 
③ 设
由①②得
，
代入③得
的轨迹为
焦点在y轴上的椭圆.
21、解：（1）
为偶函数 
为奇函数 
是以
为首项，公比为
的等比数列. 
（2）
22、解析：（1）如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，
A（-1，0），B（1，0）
设椭圆方程为：
令
∴
∴ 椭圆C的方程是：
（2）
，
，l⊥AB时不符，
设l：y＝kx＋m（k≠0）
由 
M、N存在
设M（
，
），N（
，
），MN的中点F（
，
）
∴ 
，
∴
∴
∴
∴
且
∴ l与AB的夹角的范围是
，
．
23、（1）
24、（1）当X<0时, 
（3分）
（2）函数= (X0)在是增函数；（证明略）
（9分）
（3）因为函数= (X0)在是增函数，由x
得
；
又因为
，所以
，所以
；
因为
，所以
，且
，即
，
所以，-2≤f(x1)
– f(x2) ≤2即－<2. （14分）
25、解：⑴由题意易得M(-1,0)
设过点M的直线方程为
代入得
………………………………………（１）
再设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）
则ｘ１＋x2=
，ｘ１·x2=１
y１＋y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(ｘ１＋x2)+2k=
∴ＡＢ的中点坐标为（
）
那么线段ＡＢ的垂直平分线方程为
，令
得
，即
又方程（１）中△＝
⑵若△ABD是正三角形，则需点D到AB的距离等于
点到AB的距离d=
据
得：
∴
，∴
，满足
∴△ABD可以为正△，此时
26、解：⑴设E（x，y），D（x0，y0）
∵ABCD是平行四边形，∴
，
∴（4，0）+（x0+2，y0）=2（x+2，y）∴（x0+6，y0）=(2x+4，2y)
∴
又
即：
∴□ABCD对角线交点E的轨迹方程为
⑵设过A的直线方程为
以A、B为焦点的椭圆的焦距2C=4，则C=2
设椭圆方程为
， 即
…………………（*）
将代入（*）得 
即 
设M（x1，y1），N（x2，y2）则
∵MN中点到Y轴的距离为，且MN过点A，而点A在Y轴的左侧，∴MN中点也在Y轴的左侧。
∴
，∴
∴
∵
∴
∴
即 
∴
∴
∴
， 
，∵
，∴
∴
∴所求椭圆方程为
⑶由⑴可知点E的轨迹是圆
设
是圆上的任一点，则过点的切线方程是
①当
时，
代入椭圆方程得：
，又
∴
∴
=
令
则
， ∵
∴当t=15时， 
取最大值为15 ，
的最大值为
。
此时 
，∴直线l的方程为
②当
时，容易求得
故：所求的最大值为，此时l的方程为
27．解（理）（1）易得l的方程为
…1分 由
，得（a2t2+4）y2－4aty=0…2分
解得y=0或
即点M的纵坐标
………………4分
S=S△AMN=2S△AOM=OA·yM=
…7分 （2）由（1）得，
令
…………9分 由
当
时，
…10分 若1≤a≤2，则
，故当
时，Smax=a11分
若a＞2，则
在[1，2]上递增，进而S(t)为减函数. ∴当t=1时,
13分
综上可得
…………14分
28. (1) ∵函数f(x)= 的图象过原点，即f(0)=0，∴c =0，∴f(x)= .
又函数f(x)= = b - 的图象关于点（-1，1）成中心对称，∴a=1，b=1，∴f(x)= .(2)由题意有an+1=[ ]2，即 = ，即 = +1，∴ - =1.
∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列. ∴ =1+(n-1)=n，即 = ，∴an= .∴a2= ，a3= ，a4= ，an= .
29、解：（1）由
，得
…………2分
，则
…………4分
（2）当
时，，
…………6分
…………8分
（3）假设存在符合条件的使命题成立
当是偶数时，
是奇数，则
由得
…………11分
当是奇数时，是偶数，则
由得无解
综上存在，使得
…………14分
30.解：（1）设
，
，直线AB的方程为：
把
代入得：
∴
∴
∴
∴点M的坐标为
；
消去可得点M的轨迹方程为：
；
（2）∵
∴
∴
∴
∵
∴
，
∴
∴
∴
或
∴
或
∴
∴的取值范围为
。