2006年嘉定区高考数学模拟试卷
(考试时间120分钟，满分150分) 2006年3月
| 题 号 | 一 | 二 | 三 | 总 分 | |||||
| 1—12 | 13—16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | ||
| 得 分 | |||||||||
请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
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一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接
填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．函数
的反函数是
________________________．
2．复数
满足
，则
_________．
3．已知向量
，
，则
________．
4．（理）在
的展开式中，
的系数是__________．
（文）若实数
，
满足
，则
的最大值是_________．
5．若方程
表示焦点在轴上的椭圆，则
的取值范围是______________．
6．（理）曲线
（
为参数，
）的焦点坐标是_______________．
（文）曲线
的焦点坐标是_______________．
7．（理）已知
，则实数
的取值范围是__________________．
（文）已知数列
的通项为
，
是的前
项和，则
________．
8．从集合
中取出数，从集合
中取出数，组成分数
，则
为真分数的概率是___________．
9．方程
的近似解
_____________（精确到
）．
10．若点
到平面
的距离为
，
是平面内的动点，斜线段
与平面恒成
角，
则动点在平面内的轨迹所围成的图形的面积为_______________．
11．将位选民参加无记名投票后的选票进行随机编号，依次为，
，…，，参加竞选的候选人共有
名，编号依次为,,…,，给出定义：
，其中
，且
，
，那么
的实际意义是：
______________________________________________________________________．
12．（理）已知
是定义在
上的函数，且满足
，
，
，则
______________．
（文）已知是定义在上的奇函数，且以
为周期，若
，
，
则实数的取值范围是_______________．
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代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论
是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，
选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论
是否都写在圆括号内），一律得零分．
13．已知
，
，则
为…（ ）
(A) 
(B) 
(C)
(D)
14．在实数集上定义运算
：
，则满足
的实数对
在平面直角坐标系内对应点的轨迹是……………………………………（ ）
(A) 一个圆 (B) 双曲线 (C) 一条直线 (D) 两条直线
15．（理）已知函数
，且、是方程
的两根，则实数、
、、的大小关系可能是…………………………………………………………（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
（文）函数
的定义域为
，值域为
，则的取值范
围是……………………………………………………………………………………（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
16．（理）一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人以前进步，再
后退步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向，以步的距
离为个单位长度．令
表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记
．
则下列结论中错误的是………………………………………………………………（ ）
(Ａ)
(Ｂ)
(Ｃ)
(Ｄ)
（文）设
，且
，则的值是…………（ ）
(A) 
(B)
(C)
(D)
三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
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17．（本题满分12分）
已知复数
，
，其中
．设
，且复数在复平面上对应的点在直线
上，求
的值所组成的集合．
|
18．（本题满分12分）
（理）在四面体
中，
、
、
两两互相垂直，且
，
是
中点，异面直线
与
所成角的大小是
，求四面体的体积．
（文）如图，在四面体中，
，异面直线、所成角的大小是
，
、
分别是
、的中点．求线段
的长．
|
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6
分，第2小题满分8分．
某种商品在
天内每件的销售价格(元)与时间(天)的函数关系用下图中的两条线段表示；该商品在天内的日销售量
(件)与时间(天)之间的关系如下表所示：
| 第 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（1）根据提供的图象，写出该种商品每件的
销售价格与时间的函数关系式，并根据表中数
据确定日销售量与时间的一个函数式；
（2）用表示该商品的日销售金额，写出
关于的函数关系式，求该商品的日销售金额的最
大值，并指出日销售金额最大的一天是天中的第几天？
|
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，
第2小题满分8分．
如图，已知点
，点在轴上，点在轴上，且
，点满足
．
（1）求动点的轨迹
的方程；
（2）（理）过点
作斜率为的直线
交轨迹于、两点，且
为钝角，求直线的斜率的取值范围．
（2）（文）过
作直线交轨迹于、两点，求
的值．
|
分，第2小题满分5分 , 第3小题满分7分．
用
表示数列从第项到第项（共
项）之和．
（1）在递增数列中，
与
是关于的方程
（为正整数）的两个根．求的通项公式并证明是等差数列；
（2）对（1）中的数列，判断数列
，
，
，…，
的类型；
（3）（理）对一般的首项为
，公差为
的等差数列，提出与（2）类似的问题，你可以得到怎样的结论，证明你的结论．
（3）（文）对（1）中的数列作进一步研究，提出与（2）类似的问题，你可以得到怎样的结论，证明你的结论．
|
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，
第2小题满分5分，第3小题满分8分．
已知函数
，
．
（1）作出函数
的大致图象并根据图象写出函数的单调区间；
（2）（理）证明：当
且
时，
；
（2）（文）设
，
，试比较
与
的大小；
（3）（理）若存在实数，（），使得函数在
上的函数的值域为
（
），求实数的取值范围；
（3）（文）是否存在实数，（），使得函数在上的值域也是
．若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
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2006年嘉定区高考数学模拟试卷参考答案与评分标准
一、填空题
1．
（
）；2．
；3．1；4．（理）
；（文）
；5．
；
6．（理）
；（文）
；7．（理）
；（文）
；8．
；9．
；10．
；
11．号候选人的得票数（或同意号候选人当选的选票数）；12．（理）
；（文）
．
二、选择题
13．A；14．D；15．B；16．D
三、解答题
17．
…（4分）
∴ 
，∵ 点在直线上，∴ 
，…（6分）
，
，…（9分）
∴ 的值所组成的集合是
……（12分）
18（理）．取中点
，连结
、
，则∥，
∴ 
（或其补角）是异面直线与所成的角……（2分）
设
，在△
中，
，
，……（4分）
则
，于是为锐角，
，……（6分）
解得
……（10分）
∴ 
……（12分）
18（文）．取中点，连结
、
，则∥，∥，于是
（或
其补角）是异面直线与所成的角……（1分）
当
，则
，
…（6分）
当
，
则
，
……………………（11分）
∴ 的长为
或
．……（12分）
19．（1）
……（3分）
（
）……（6分）
（2）
……（10分）
当
，
时，
，当
时，随的增大而减小，（12分）
∴ 在天中的第
天，日销售金额取得最大值
元．…………（14分）
20．（1）由已知，是
的中点，设
，则
，
，……（2分）
∴ 
，
……（3分），
由得
，……（4分）即
…………（5分）
∴ 动点的轨迹方程为 …………（6分）
（2）（理）直线的方程为
，由
得
…（8分）
△
，
……（9分），
设
，
，则
，
……（10分）
由为钝角，可得
……（11分）
，
，于是
，
即
，
，
，
，解得
……（13分）
∴ 直线的斜率的取值范围是
……（14分）
（2）（文）若直线垂直于轴，则的方程为
，则
，
，
…………（8分）
当直线不垂直于轴时，设的方程为
，
由
得
……（10分），当
时，直线与抛物线总
有两个交点．设，，则，
……（12分）
∴ 
∴ ……（14分）
21．（1）解方程得
，
……（1分）
∵ 是递增数列，∴ ，
，
……（3分）
∴ 数列是等差数列，其通项公式是（为正整数）……（4分）
（2）当为正整数时，
，∴ 
（常数）
∴数列，，，…，是等差数列……（9分）
（3）（理）可以从多个方面加以推广．对一般的以为首项，为公差的等差数列，
如照抄（2）中的问题（即三项之和）得2分，证明结论得3分，共得5分；
如对（2）中的问题有所改变，如改为四项之和，得3分，证明得3分，共6分；
如对（2）中的问题有所创新，如：“对于任意给定的正整数，判断数列
，
，……，
的类型”，得4分，证明结论得3分，共7分．
（3）（文）提出具体的若干项的问题的，如
，
，……，
的，得3分，
判断结论得3分，共6分；
如对（2）中的问题有所创新，如：“对于任意给定的正整数，判断数列
，，……，的类型”，得4分，证明结论得3分，共7分．
22．（1）图象如右图所示．……（3分）
单调递减区间：
；……（4分）
单调递增区间：
……（5分）
（2）（理）由，
及函数的单调性知，
，，……（7分）
∴ 
，
，由
得
，
∴ 
，∴ 
，即
……（10分）
（2）（文）由，
得
，
，……（7分）
于是
，
……（9分）
∴ 
……（10分）
（3）（理）当
，
时，
，而
，矛盾．
∴ 
或
……（12分）
当时，由是减函数知，
，
，
即
，
，得
，舍去．……（14分）
当时，由是增函数知，
，
，
即
，
，∴ 
是方程
的两个不相等实根，且这
两根均大于．
∴ △
且
，
，解得
……（17分）
∴ 实数的取值范围是
…（18分）
（3）（文）当，时，，而
，矛盾．
∴ 或……（12分）
当时，是减函数，于是有
，
，
即
，
，得，舍去．……（14分）
当时，由是增函数知，
，
，
即
，
，∴ ，是方程
的两根，但方程
没有实根．即实数也不存在．……（17分）
∴ 不存在这样的实数，（），使得函数在上的值域也
是．……（18分）