承德市2006年高考模拟试题（二）
理科数学
命题人：廖洪学 审题人：贾增辉
本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分． 第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页．满分150分, 考试用时120分钟, 考试结束后，将第Ⅱ卷交回．
第I卷
注意事项：
1．考生务必将自己的姓名、准考证号填写在第Ⅱ卷上．
2．每小题选出答案后，将所选答案填在第二卷的答题卡处，不能答在第I卷上．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P (A + B ) =
P ( A ) + P ( B )
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P ( A · B ) = P ( A ) · P ( B )
如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k
次的概率 
其中R表示球的半径
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的中四选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集U=R，集合
（ ）
A．{xx<2} B．{xx≤2} C．{x－1<x≤2} D．{x－1≤x<2}
2．满足
的复数z是 （ ）
A．2+i B．－2+3i C．2+2i D．2－i
3．已知等比数列{an}的前n项和是Sn,S5=2，S10=6，则a16+a17+a18+a19+a20= （ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
4．已知
，C为线段AB上距A较近的于个三等分点，D为线段CB上距C
较近的一个三等分点，则用
、
表示
的表达式为 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x－1，那么不等式f(x)<
的解集是 （ ）
A{x0<x<
} B{x－<x<0}
C{x－<x<0或0<x<} D{xx<－或0≤x<}
6．设函数f(x)是偶函数，且对于任意正实数x满足f(2+x)=－2f(2－x),已知f(－1)=4,那么f(－3)的值是 （ ）
A．2 B．－2 C．8 D．－8
7．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，A1A=AB=2，若棱AB上存在一点P，使得D1P⊥PC，则棱AD的长的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
则实数a的取值范围
是 （ ）
A．（－∞，－2）∪（1，+∞） B．（－2，1）
C．
D．
9．设实数
满足条件
的最大值为 （ ）
A．23 B．25 C．
D．5
10．已知函数
表示的曲线过原点，且在
处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①
的解析式为
；②的极值点有且仅有一个；③
的最大值与最小值之和等于0，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．若对于任意的
，函数
，则称在[a，b]上
可以替代.若
，则下列函数中可以在[4，16]替代是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．ABCD—A1B1C1D1是单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→……，黑蚂蚁爬行的路是AB→BB1→……，它们都遵循如下规则：所爬行的第
段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）.设白、黑蚂蚁都走完2006段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是 （ ）
A．1 B．
C．
D．0
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请将答案填在题中的横线上）
13．设
则
=
14．设P是双曲线
上一点，双曲线的一条渐近线方程为
，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若PF1=3，则点P到双曲线右准线的距离是
.
15．6个不同大小的数按如图形式随机排列，设 ★ ……第一行
第一行这个数为M1，M2、M3分别表示第二、 ★ ★ ……第二行
三行中的最大数，则满足M1<M2<M3的所有 ★ ★ ★ ……第三行
排列的个数是 .
16．购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元，若某用户每月手机费预算为120元，则它购买
卡才合算.
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题答题卡：
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 得分 |
| 选项 |
二、填空题答题卡：
⒔ 。⒕ 。⒖ 。⒗ 。填空题答题卡：
13． 14.
15. 16.
三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
| 得分 | 评卷人 |
|
|
（17）（本大题满分12分）
设
是平面上的两个向量，且
互相垂直
（1）求λ的值；
（2）若
的值.
| 得分 | 评卷人 |
|
|
（18）（本大题满分12分）
函数f（x）=1-2a cosx-2sin2x的最小值为g（a）（a∈R）
（1）求g（a）的表达式；（2）若g（a）=，求a及此时f（x）的最大值
| 得分 | 评卷人 |
|
|
（19）（本大题满分12分）
如图是一个方格迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的A、B两处，现以每分钟一格的速度同时出发，在每个路口只能向东、西、南、北四个方向之一行走。若甲向东、向西行走的概率均为
，向南、向北行走的概率分别为
和p，乙向东、南、西、北四个方向行走的概率均为q
（1）求p和q的值；
（2）设至少经过t分钟，甲、乙两人能首次相遇，
试确定t的值，并求t分钟时，甲、乙两人
相遇的概率.
| 得分 | 评卷人 |
|
|
（20）（本大题满分12分）
|
（1）求CD的长；
（2）求证：AF⊥BD；
（3）求平面ADF与平面ABC
所成的较小的二面角的大小.
| 得分 | 评卷人 |
|
|
（21）（本大题满分12分）
已知函数
的反函数
.
（1）已知数列
求数列
的通项公式；
（2）已知数列
求证：对一切n≥2的正整数
| 得分 | 评卷人 |
|
|
（22）（本大题满分14分）
已知椭圆
两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足
=1，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点，
（1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值；
（3）求△PAB面积的最大值.
承德市2006年高考模拟试卷（一） 理科数学
参考答案及评分标准
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | B | A | C | A | D | D | D | C | A | C | C | B |
二、填空题
13．1 14．
15．240 16．神州行
三、解答题：
17．解：（1）
（2）当垂直时，
，则
|
|
18．解：（1）f（x）=1-2a cosx-2sin2x=2 cos2x-2a cosx -2a-1
设h（t）=2t2-2a t -2a-1=2（t-
）2 -
-2a-1，t=
cosx ∈
。
①当<-1时，即a<-2时，g（a）=h（t）min= h（-1）=1。
|
≤1时，即-2≤a≤2时，g（a）=h（t）min= h（）=--2a-1。
③当>1时，即a>2时，g（a）=h（t）min= h（1）=1-4 a。
（2）当a<-2时，g（a）=1≠；
当a>2时，g（a）=h（t）min= h（1）=1-4 a=，得a=
；
|
-2a-1=，则a= -3（舍）或a= -1。
|
）2 +。
当cosx= 1时，f（x）有最大值为5。
19．解：（1）
……（2分）
（2）t=2甲、乙两人可以相遇（如图，在C、D、E三处相遇）……（4分）
设在C、D、E三处相遇的概率分别为PC、PD、PE，则：
PC=
……………………（6分）
PD=
……………………（8分）
PE=
……………………（10分）
PC+PD+PE=
即所求的概率为………………（12分）
20．方法一：（1）取AB中点G，连FG、CG，则FG//AE，又AE和CD都垂直平面ABC，
所以AE//CD，所以FG//CD，所以F、G、C、D四点共面.又平面
FGCD∩平面ABC=CG，DF//平面ABC，所以DF//CG，所以四边形FGCD是平行四边形，所以CD=FG=AE=1.………………（4分）
（2）直角三角形ABE中，AE=AB，F是BE的中点，
所以AF⊥BE，又△ABC中，AC=BC，G是AB中
点，所以CG⊥AB，又AE垂直于平面ABC，所以
AE⊥CG，又AE∩AB=A，所以CG⊥面ABE.因为
DF//CG，所以DF⊥面ABE，AF⊥BE，由三垂线定
理得AF⊥BD. ……（8分）
（3）设面ADF∩面ABC=L，因为DF//平面ABC，所以DF//L，又DF⊥面ABE，所以L⊥面ABE，所以L⊥AF，L⊥AB，所以∠EAB即为二面角的平面角.直角三角形ABE中，易得∠FAB=45°，所以平面ADF与平面ABC所形成的较小的二面角为45°…………（12分
方法二：取AB的中点G，∵AB=BC，∴CG⊥AB
又∵AE⊥平面ABC，∴GF⊥平面ABC以G
为原点，GB、GC、GF所在的直线为x, y,
z建
立空间直角坐标系，则A（－1，0，0）B（1，0，0），
E（－1，0，2）F（0，0，1），设C（0，t，0）
∵DF//平面ABC，则D（0，t，1）
∴
即CD的长为1…………………………（4分）
（2）
=（1，0，1），
=（－1，t，1）∵·=－1+1=0，∴AF⊥BD（8分）
（3）∵=（1，0，1），
=（0，t，0），设
=(x, y, z)是平面ADF的一个法向量，
∴
GF⊥平面ABC，则
=（0，0，1）是平面ABC的一个法向量，设平面ADF与平面ABC所成的二面角（锐角）为θ，则
所以θ=45°
即：平面ADF与平面ABC所成的较小的二面角为45°……………………（12分）
21．（1）解：
）
∴数列
是以1为首项，公差为1的差数列，an=
………………（4分）
（2）证明：
则
………………（6分）
22．解：（1）由题可得F1(0, ), F2(0, －), 设P(x0, y0)(x0>0,
y0>0)
则
在曲线上，则
则点P的坐标为（1，）………………………………（2分）
（2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为k(k>0)
则BP的直线方程为：y－=k(x－1)
所以：AB的斜率
为定值…………………………（8分）
（4）设AB的直线方程：
当且仅当m=±2∈（－2，2）取等号
∴三角形PAB面积的最大值为………………………………（14分）