数学高考模拟试题（2）

06年数学高考模拟试题(2)

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

（1）与向量平行的单位向量为（　 ）

A．　　　　　　　　　　　  B．

 C．或　　　　　 　D．　　　　

（2）函数的定义域为（　 ）

A.．　　　　　　　  B．　

 C．　　　　　　　　　　　　  D．

（3）某地区高中分三类：A类校共有学生4000人，B类校共有学生2000人，C类校共有学生3000人。现欲抽样分析某次考试的情况，若抽取900份试卷进行分析，则从A类校抽取的试卷份数应为　（　 ）

A．450份　 B．400份　 C．300份　 D．200份

（4）已知直线m、n和平面，则m∥n的一个必要条件是（　　）

A．m∥，n∥　　　　　　　　　　  Ｂ．m⊥，n⊥

C．m∥，n　　　　　　　　　　  D．m、n与成等角

（5）若正数满足，则的取值范围是（　　）

A．　　　　 Ｂ．　　　　C．　　　　　 D．

（6）设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为（　　）

A．　　　　　　　  B．　　　　　　 C．　　　　　  D．

（7）若函数y=f(x) (xÎR)满足f(x+2)=f(x)，且xÎ(－1,1]时，f(x)=x．则函数y=f(x)的图象与函数y=log₄x的图象的交点的个数为（　　）

A．3　 　　　　　　　　B．4　　　　　　　　  C．6　　　　　　　 D．8

（8）已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是（　　）

A．　　　　　　　　 B．4 　　　　　　　 C．　　　　　　  D．5

（9）已知函数的图象与函数的图象关于

直线对称，则的值为　（　 ）

A．1　　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．2　　　　　　 D．

（10）能够使得圆上恰有两个点到直线距离等于1的的一个值为（　　）

A．2　　　　　　　　 Ｂ．　　　　　　　 C．3　　　　　  D．

（11）关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞)，则关于x的不等式的解集是（　 ）

A．(-∞,-1)∪(2,+∞) 　　 B．(-1,2)　　　　 C．(1,2)　　　　 D．(-∞,1)∪(2,+∞)

（12）由0，1，2，…，9这十个数字组成的、无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（　　 ）

A.180　　　　　　　　  B.196　　　　　　 C.210　　　　　　 D.224

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

（13）如图，已知点是棱长为2的正方体的棱的中点，则点到平面的距离等于_____________．

（14）若，则数列的前项和_____________．

（15）已知则　　　　　 ．

（16）有两个向量，，今有动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为．设、在时刻秒时分别在、处，则当时，　　　　　 秒．

三、解答题：本大题6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17)(本小题满分12分)

某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A产品中有2件次品．

（1）求该盒产品被检验合格的概率；

（2）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．

(18)(本小题满分12分)

已知偶函数f(x)=cosqsinx－sin(x－q)+(tanq－2)sinx－sinq的最小值是0，求f(x)的最大值及此时x的集合．

(19) (本小题满分12分)

如图，直三棱柱中，，，为棱的中点．

C1

（Ⅰ）求异面直线与所成的角；

A1

（Ⅱ）求证：平面平面．

(20) (本小题满分12分)

已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值； ②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．

（I）求f(x)的解析式；

（II）求函数g(x)=f(x²)的单调递增区间。

(21) (本小题满分12分)

等差数列中，，公差是自然数，等比数列中，．

（1）试找出一个的值，使的所有项都是中的项；再找出一个的值，使的项不都是中的项（不必证明）；

（Ⅱ）判断时，是否所有的项都是中的项， 并证明你的结论；

（Ⅲ）探索当且仅当取怎样的自然数时，的所有项都是中的项，并说明理由．

(22)(本小题满分14分)

如图，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点、，点是弦的中点．

（Ⅰ）若，求点的轨迹方程；

（Ⅱ）求的取值范围．

05年数学高考模拟试题(2)参考解答及点评

一、选择题：每小题5分，满分60分．(注意：选择与填空解析及点评见最后)

(1)C (2)D (3)B (4)D (5)B (6) B (7)C (8)C (9)D (10)C (11)A (12)C

二、填空题：每小题4分，满分16分．

(13)； (14)；　(15)；　(16)2．

三、解答题

（17）(本小题满分12分)

解析: (1)从该盒10件产品中任抽4件，有等可能的结果数为种，其中次品数不超过1件有种，被检验认为是合格的概率为．

(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出该盒产品合格的概率均为， 故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为

．

答：该盒产品被检验认为是合格的概率为；两次检验得出的结果不一致的概率为．

点评：本题考查了等可能性事件与独立重复事件的概率。

（18）(本小题满分12分)

解析：f(x)=cosqsinx－(sinxcosq－cosxsinq)+(tanq－2)sinx－sinq

　　　 =sinqcosx+(tanq－2)sinx－sinq．

因为f(x)是偶函数，所以对任意xÎR，都有f(－x)=f(x)，

即sinqcos(－x)+(tanq－2)sin(－x)－sinq=sinqcosx+(tanq－2)sinx－sinq,

即(tanq－2)sinx=0，所以tanq=2．

由解得或

此时，f(x)=sinq(cosx－1).

当sinq=时，f(x)=(cosx－1)最大值为0，不合题意最小值为0，舍去；

当sinq=时，f(x)=(cosx－1)最小值为0，

当cosx=－1时，f(x)有最大值为,自变量x的集合为{xx=2kp+p,kÎZ}．

点评：本题将函数性质应用于三角函数中。

（19）(本小题满分12分)

解法一：

（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系.

设，

则，

于是．

，

异面直线与所成的角为．

（Ⅱ），

.　则．

平面．　　又平面，

平面平面．

解法二：

（Ⅰ）连结交于点，取中点，连结，则∥．

∴直线与所成的角就是异面直线与所成的角．

设，

则 ，

．　　

　　 ．

中，，，

直三棱柱中，，则．

．

，

异面直线与所成的角为．

（Ⅱ）直三棱柱中，，平面．

 则．

又，，，

则，　 于是．

平面．　 又平面，

平面平面．

点评：两种思路，从两个不同角度研究了直三棱柱背景下线面位置关系与数量关系。

（20）(本小题满分12分)

解析：（I）设f(x)=ax²+bx+c，则f ¢(x)=2ax+b．

　　由题设可得：即

解得所以f(x)=x²-2x-3．

　 （II）g(x)=f(x²)=x⁴－2x²－3，g ¢(x)=4x³－4x=4x(x－1)(x+1)．

列表：

x	(-∞,-1)	-1	(-1,0)	0	(0,1)	1	(1,+∞)
f¢(x)	－	0	+	0	－	0	+
f(x)	↘		↗		↘		↗

由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)．

点评：利用导数研究函数性质是导数重要应用之一。

（21）(本小题满分12分)

解析：（Ⅰ）时，的项都是中的项；（任一非负偶数均可）

时，的项不都是中的项．（任一正奇数均可）

　 （Ⅱ）时，

的项一定都是中的项．

（Ⅲ）当且仅当取（即非负偶数）时，的项都是中的项．理由是：

①当时，

时，，

其中是的非负整数倍，设为（），

只要取即（为正整数）即可得，即的项都是中的项；

②当时，不是整数，也不可能是的项．

点评：将数列与二项式定理知识综合考查，很有新意。

（22）(本小题满分14分)

解析：（Ⅰ）①若直线∥轴，则点为；

②设直线，并设点的坐标分别是，

由消去，得 ，　　 ①

由直线与椭圆有两个不同的交点，可得，即，所以．

由及方程①，得，

，

即

由于（否则，直线与椭圆无公共点），将上方程组两式相除得，，代入到方程，得，整理，得（．

综上所述，点的轨迹方程为（．

（Ⅱ）①当∥轴时，分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点处，所以，，所以，；

②由方程①，得

所以，，

，

所以．

因为，所以，所以，所以．

综上所述，．

点评：用向量语言表述了解析几何问题，研究了直线与圆锥曲线的关系。

选择题和填空题补充解析及点评

一、选择题：(1)C， (2)D ，(3)B ，(4)D ，(5)B ，(6) B ，(7)C ，(8)C ，(9)D ，(10)C ，(11)A， (12)C 。

二、填空题：(13)； (14)；　(15)；　(16)2 。

解析及点评：

1解析：设出单位向量的坐标，通过解方程组解得答案为（C）。

点评：注意选项（C）与（D）的区别。

2解析：根据函数本身的限制，列出不等式组，解得结果为（D）。

点评：被开方数应为非负数，对数的真数要为正数。

3解析： 因为A类学校占三类学校人数的，故抽取A类试卷份数为，选（B）。

点评：本题是对新增内容的考查，要求对基本知识要熟练掌握。

4解析：m∥n 能推得D，但D不能推得m∥n，故答案为（D）。

点评：了解线面位置关系的特征。

5解析：令a+b=t，则，易得答案（B）。

点评：本题解题过程中用到了换元法。

6解析：由得离心率是，选（B）。

点评：由条件构造出关于离心率e的方程解题。

7解析：f(x)既是偶函数，又是周期函数，利用图象可得交点个数为6，选（C）。

点评：本题是对函数综合性质的考查。

8解析：将转化为动点P到定点A的距离与到准线距离之和来考虑，最小值为，选（C）。

点评：将数与形有机结合，可寻求到解题捷径。

9解析：利用原函数和反函数图象的对称性，得= -2，选（D）。

点评：原函数和反函数图象关于直线y=x对称。

10解析：c的范围满足，其一个值是3，选（C）。

点评：利用圆心到直线距离，可得心应手地解题。

11解析：由条件，关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞)，得a>0，且a=b，代入分式不等式解得(-∞,-1)∪(2,+∞)，选（A）。

点评：函数、方程与不等式之间有着天然的联系。

12解析：个位数字与百位数字之差的绝对值等于8，有0、8与1、9两类，符合条件的四位数有210个，选（C）。

点评：解排列组合问题，应“先分类，再分步”。

13解析：用等积法求得点到面的距离是 。

点评：求点到平面距离，可直接作垂线段，用等积法也是行之有效的。

14解析：，，用裂项法求得和为 。

点评：需要掌握等差与等比两个基本数列求和公式，同时也要掌握“裂项法”等求和法。

15解析：所以sin，= 。

点评：倍角关系是相对的，要认识其中的辩证关系。

16解析：经过t秒钟后，P、Q的坐标分别为P（-1+t,2+t），Q（-2+3t,-1+2t），根据条件，利用它们的数量积为0，解得t=2 。

点评：本题如果从物理的角度来理解会更流畅，反映了多学科的交汇作用。