2004年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（重庆卷）
本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分 考试时间120分钟.
第Ⅰ部分（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那幺 P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数
的定义域是： （ ）
A．
B．
C．
D．
2．设复数
, 则
（ ）
A．–3 B．3 C．－3i D．3i
3．圆
的圆心到直线
的距离为 （ ）
A．2 B．
C．1
D．
4．不等式
的解集是 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若向量
的夹角为
，
,则向量
的模为 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
7．一元二次方程
有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．设P是的二面角
内一点，
垂足，
则AB的长为 （ ）
A．
B．
C．
D．
9． 若
是等差数列，首项
，则使前n项和
成立的最大自然数n是： （ ）
A．4005 B．4006 C．4007 D．4008
10．已知双曲线
的左，右焦点分别为
,点P在双曲线的右支上，且
,则此双曲线的离心率e的最大值为： （ ）
A．
B．
C．
D．
11．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为： （ ）
A．
B．
C．
D．
12．若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是 （ ）
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（A） （B）
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（C） （D）
第Ⅱ部分（非选择题 共90分）
| 题 号 | 二 | 三 | 总 分 | |||||
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | |||
| 分 数 | ||||||||
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13.若在
的展开式中
的系数为
，则
.
14．曲线
在交点处切线的夹角是______，（用幅度数作答）
15．如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、…..，Pn，…,记纸板Pn的面积为
，则
.
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16．对任意实数K，直线：
与椭圆：
恒有公共点，则b取值范围是_______________
三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
求函数
的最小正周期和最小值；并写出该函数在
上的单调递增区间。
18．（本小题满分12分）
设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为
，遇到红灯（禁止通行）的概率为
。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，
表示停车时已经通过的路口数，求：
（1）的概率的分布列及期望E;
(2 ) 停车时最多已通过3个路口的概率。
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，
（1）明MF是异面直线AB与PC的公垂线；
（2）若
,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。
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20．（本小题满分12分）
设函数
（1）求导数
; 并证明
有两个不同的极值点
;
（2）若不等式
成立，求
的取值范围.
21．（本小题满分12分）
设
是一常数，过点
的直线与抛物线
交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程.
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22．（本小题满分14分）
设数列
满足
（1）证明
对一切正整数n 成立；
（2）令
,判断
的大小，并说明理由。
参考答案
一、选择题：每小题5分，共60分.
1．D 2．A 3．D 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 10．B 11．D 12．D
二、填空题：每小题4分，共16分.
13．－2 14．
15．
16．[－1，3]
三、解答题：共74分.
17．（本小题12分）
解：
故该函数的最小正周期是
；最小值是－2；
单增区间是[
]，
18．（本小题12分）
解：（I）的所有可能值为0，1，2，3，4
用AK表示“汽车通过第k个路口时不停（遇绿灯）”，
则P（AK）=
独立.
故
从而
有分布列：
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0 1 2
3 4
P 
（II）
答：停车时最多已通过3个路口的概率为
.
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（I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，
故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，
又AM∥CD∥EF，且AM=EF，
证得AEFM是矩形，故AM⊥MF.
又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，
而MF∥AE，得MF⊥面PCD，
故MF⊥PC，
因此MF是AB与PC的公垂线.
（II）解：连结BD交AC于O，连结BE，过O作BE的垂线OH，
垂足H在BE上.
易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，
又OH⊥BE，故OH//DE，
因此OH⊥面MAE.
连结AH，则∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角
设AB=a，则PA=3a， 
.
因Rt△ADE~Rt△PDA，故
20．（本小题12分）
解：（I）
因此
是极大值点，
是极小值点.
（II）因
又由（I）知
代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得
21．（本小题12分）
解法一：由题意，直线AB不能是水平线， 故可设直线方程为：
.
又设
，则其坐标满足
|
由此得 
因此
.
故O必在圆H的圆周上.
又由题意圆心H（
）是AB的中点，故
由前已证，OH应是圆H的半径，且
.
从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.
此时，直线AB的方程为：x=2p.
解法二：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x－2p
又设，则其坐标满足
分别消去x，y得
故得A、B所在圆的方程
明显地，O（0，0）满足上面方程所表示的圆上，
又知A、B中点H的坐标为
故 
而前面圆的方程可表示为
故OH为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）.
又
，
故当k=0时，R2最小，从而圆的面积最小，此时直线AB的方程为：x=2p.
解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上
又直径AB=
上式当
时，等号成立，直径AB最小，从而圆面积最小.
此时直线AB的方程为x=2p.
22．（本小题14分）
（I）证法一：当
不等式成立.
综上由数学归纳法可知，
对一切正整数成立.
证法二：当n=1时，
.结论成立.
假设n=k时结论成立，即
当
的单增性和归纳假设有
所以当n=k+1时，结论成立.
因此，对一切正整数n均成立.
证法三：由递推公式得 
上述各式相加并化简得 
（II）解法一：
解法二：
|
解法三：
故
.
