2004全国高考数学（文）（三)

2004年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文史类）（老课程）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

正棱台、圆台的侧面积公式 其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示 斜高或母线长 台体的体积公式 其中R表示球的半径

参考公式：

三角函数的和差化积公式　　　　　 　　　　　　

　　　

　

　

　　　

一、选择题

（1）设集合，，

　　则集合中元素的个数为（　 ）

A．1　　　　　　　　　 B．2　　　　 　　　　　C．3　　　　　  　　 D．4

（2）函数的最小正周期是（　 ）

A．　　  　　　　　　B．　　 　　　　　 C．　　　　  　　D．

(3)　记函数的反函数为，则（　 ）

　　A． 2　　　　  　　 B． 　　　　　　　　C． 3　　　　　　　　　 D．　

(4)　　　 等比数列中， ，则的前4项和为（　）

A．　81　　　 　　　B．　120　　　　　　 C．168　　　　　　　　　 D．　192

(5) 圆在点处的切线方程是（　 ）

A． 　　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　　　D．

(6) 展开式中的常数项为（　）

A．　 15　　　　　　　 B． 　　　　　　　C． 20　　　　　　　　D．

(7)  设复数的幅角的主值为，虚部为，则（　 ）

A． 　　　　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　　　　　 D．

(8)  设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率（　 ）

A． 5　　　　　　　　 B． 　　　　　　　 C．　　　　　　 D．

(9) 不等式的解集为（　 ）

A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．　

C． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．

(10) 正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（　）

A． 　　　　　B． 　　　　　　　　C． 　　　　　　　D．

(11) 在中，，则边上的高为（　）

A． 　　　　　　B． 　　　　　　C． 　　　　　　　　　D．

(12) 4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（　）

A． 12　种　　  　　B． 24 种　　　 　　 C　36  种　 　　　　　　D． 48 种　

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.

(13) 函数的定义域是　　　　　　　　　　　　　 .

(14) 用平面α截半径为R的球，如果球心到平面α的距离为，那么截得小圆的面积与球

的表面积的比值为　　　　　　　　　　　 .

(15) 函数的最大值为　　　　　　　　　　 .

(16) 设P为圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为

　　 　　　　　　　　 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

(17)（本小题满分12分）

解方程

(18) （本小题满分12分）

已知α为锐角，且的值.

(19) （本上题满分12分）

设数列是公差不为零的等差数列，S_n是数列的前n项和，且

，求数列的通项公式.

20．（本小题满分12分）

某村计划建造一个室内面积为800m²的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧

内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少

时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

(21) （本小题满分12分）

三棱锥P—ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.

(1) 求证AB⊥BC；

(2) 如果AB=BC=，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小.

(22)（本小题满分14分）

设椭圆的两个焦点是与，且椭圆上存在点P，

使得直线PF₂与直线PF₂垂直.

　 （1）求实数m的取值范围；

　 （2）设L是相应于焦点F₂的准线，直线PF₂与L相交于点Q. 若，

求直线PF₂的方程.

2004年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文史类）（老课程）参考答案

1—12　BCBBD　AACDC　BC

13．　　 14．　　 15．　 16．1

三、解答题

17．本小题主要考查指数和对数的性质以及解方程的有关知识. 满分12分.

解：

　　

　　（无解）. 所以

18．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等基础知识以及三角恒等变形

的能力. 满分12分.

解：原式

因为　

所以　 原式.

因为为锐角，由.

所以　原式

因为为锐角，由

所以　 原式

19．本小题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式等基础知识，根据已知条件列方程

以及运算能力.满分12分.

解：设等差数列的公差为d，由及已知条件得

， ①

　　 ②

由②得，代入①有

解得 　 当舍去.

因此　

故数列的通项公式

20．本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的

能力. 满分12分.

解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则

　　

　　　　蔬菜的种植面积

　　　　

　　　　 

　　　　所以

　　　　当

　　　　答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最

大种植面积为648m².

21．本小题主要考查两个平面垂直的性质、二面角等有关知识，以有逻辑思维能力和空间想

象能力. 满分12分.

E

（1）证明：如果，取AC中点D，连结PD、BD.

　　 因为PA=PC，所以PD⊥AC，

 又已知面PAC⊥面ABC，

D

 所以PD⊥面ABC，D为垂足.

 因为PA=PB=PC，

 所以DA=DB=DC，可知AC为△ABC外接圆直径，

 因此AB⊥BC.

（2）解：因为AB=BC，D为AC中点，所以BD⊥AC.

　　  又面PAC⊥面ABC，

　　  所以BD⊥平面PAC，D为垂足.

　　  作BE⊥PC于E，连结DE，

　　  因为DE为BE在平面PAC内的射影，

　　  所以DE⊥PC，∠BED为所求二面角的平面角.

　　  在Rt△ABC中，AB=BC=，所以BD=.

　　  在Rt△PDC中，PC=3，DC=，PD=，

　　  所以

　　  因此，在Rt△BDE中，，

　　  ，

　　  所以侧面PBC与侧面PAC所成的二面角为60°.

22．本小题主要考查直线和椭圆的基本知识，以及综合分析和解题能力. 满分14分.

解：（1）由题设有

设点P的坐标为（），由，得，

化简得　 　　①

将①与联立，解得　

由

所以m的取值范围是.

（2）准线L的方程为设点Q的坐标为，则

　 ②

将代入②，化简得

由题设，得 ，无解.

将代入②，化简得

由题设，得

解得m=2.

从而得到PF₂的方程