2004年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修Ⅱ）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.
第I卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
Pn(k)=C
Pk(1－P)n－k
一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共60。
1．(1－i)2·i= （ ）
A．2－2i B．2+2i C．－2 D．2
2．已知函数
（ ）
A．b B．－b C．
D．－
3．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么a+3b= （ ）
A．
B．
C．
D．4
4．函数
的反函数是 （ ）
A．y=x2－2x+2(x<1) B．y=x2－2x+2(x≥1)
C．y=x2－2x (x<1) D．y=x2－2x (x≥1)
5．
的展开式中常数项是 （ ）
A．14 B．－14 C．42 D．－42
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|
B I，则下列各式中错误的是 （ ）
|
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C．A∩( I B)=
D．( I A)∪( I B)= I B
7．椭圆
的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点
为P，则
= （ ）
A．
B．
C．
D．4
8．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l
的斜率的取值范围是 （ ）
A．[－
，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
9．为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象 （ ）
A．向右平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
10．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则
等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．
的最小值为 （ ）
A．－ B．－ C．－－ D．+
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．不等式x+2≥x的解集是 .
14．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .
15．已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项
1,
n=1,
an=
,n≥2.
16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 .
①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线
③同一条直线 ④一条直线及其外一点
在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
求函数
的最小正周期、最大值和最小值.
18．（本小题满分12分）
一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.
19．（本小题满分12分）
已知
求函数
的单调区间.
20．（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.
|
（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.
21．（本小题满分12分）
设双曲线C：
相交于两个不同的点A、B.
（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（II）设直线l与y轴的交点为P，且
求a的值.
22．（本小题满分14分）
已知数列
，且
a2k=a2k－1+(－1)k,
a2k+1=a2k+3k,
其中k=1,2,3,…….
（I）求a3, a5；
（II）求{ an}的通项公式.
2004年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修I）参考答案
一、选择题
DBCBABCCBADB
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．{xx≥－1} 14．x2+y2=4 15．
16．①②④
三、解答题
17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.
解：
所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是
，最小值是.
18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.
解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.
P(ξ=1)=
×0.52×0.62+ ×0.52×0.4×0.6=0.3
P(ξ=2)= 
×0.52×0.62+×0.52×0.4×0.6+ ×0.52×0.42=0.37.
P(ξ=3)= ×0.52×0.4×0.6+×0.52×0.42=0.2
P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04
于是得到随机变量ξ的概率分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | 0.09 | 0.3 | 0.37 | 0.2 | 0.04 |
所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.
19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.
解：函数f(x)的导数：
（I）当a=0时，若x<0，则
<0，若x>0,则>0.
所以当a=0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.
（II）当
由
所以，当a>0时，函数f(x)在区间（－∞，－
）内为增函数，在区间（－，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；
（III）当a<0时，由2x+ax2>0，解得0<x<－,
由2x+ax2<0，解得x<0或x>－.
所以当a<0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－）内为增函数，在区间（－，+∞）内为减函数.
20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.
（I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE.
|
∵PA=PD，∴OA=OD，
于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.
由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，
∴∠PEB=120°，∠PEO=60°
由已知可求得PE=
∴PO=PE·sin60°=
，
即点P到平面ABCD的距离为
.
（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.
.连结AG.
|
由此得到：
所以
等于所求二面角的平面角，
于是
所以所求二面角的大小为
.
解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，FG=BC.
|
∴∠AGF是所求二面角的平面角.
∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.
又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.
在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=.
在Rt△PEG中，EG=AD=1.
于是tan∠GAE=
=,
又∠AGF=π－∠GAE.
所以所求二面角的大小为π－arctan.
21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.
解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得
（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①
双曲线的离心率
（II）设
由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，
22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.
解：（I）a2=a1+(－1)1=0,
a3=a2+31=3.
a4=a3+(－1)2=4,
a5=a4+32=13,
所以，a3=3,a5=13.
(II) a2k+1=a2k+3k
= a2k－1+(－1)k+3k,
所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k,
同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,
……
a3－a1=3+(－1).
所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)
=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],
由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1],
于是a2k+1=
a2k= a2k－1+(－1)k
=
(－1)k－1－1+(－1)k
=(－1)k=1.
{an}的通项公式为：
当n为奇数时，an=
当n为偶数时，