08 立体几何
一、选择题
1．（安徽3）．已知
是两条不同直线，
是三个不同平面，下列命题中正确的是省（ B ）
A．
B．
C．
D．
2．（北京8）如图，动点
在正方体
的对角线
上，过点作垂直于平面
的直线，与正方体表面相交于
．设
，
，则函数
的图象大致是（ B ）
3．(福建6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（ D ）
A.
B.
C.
D.
4．（广东7）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△CHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）
5．（宁夏12）已知平面
平面
，
，点
，
，直线
，直线
，直线
，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ D ）
A．
B．
C．
D．
6．（湖南5）已知直线m,n和平面
满足
,则 ( D )
或
或
7．（湖南9）长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=
，
，则顶点A、B间的球面距离是( B )
A．
B．
C．
D．2
8．（江西9）．设直线
与平面
相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ B ）
A．在平面内有且只有一条直线与直线垂直
B．过直线有且只有一个平面与平面垂直
C．与直线垂直的直线不可能与平面平行
D．与直线平行的平面不可能与平面垂直
9．（辽宁12）在正方体中，
分别为棱
，
的中点，则在空间中与三条直线
，
，
都相交的直线（ D ）
A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条
10．（全国Ⅰ11）已知三棱柱
的侧棱与底面边长都相等，
在底面
内的射影为
的中心，则
与底面所成角的正弦值等于（ B ）
A． B．
C．
D．
11．（全国Ⅱ8）正四棱锥的侧棱长为
，侧棱与底面所成的角为
，则该棱锥的体积为（ B ）
A．3 B．6 C．9 D．18
12．（全国Ⅱ12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ C ）
A．1 B．
C． D．2
13．(山东
6) 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是（ D ）
A．
B．
C．
D．
14．（上海13）给定空间中的直线l及平面．条件“直线l与平面内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（ C ）
Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件
C．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件
15．（四川８）设
是球心
的半径
的中点，分别过
作垂直于的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：( D )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
16．（四川
10）设直线
平面，过平面外一点
与
都成
角的直线有且只有：( B )
（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条
17．（四川12）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为
的菱形，则该棱柱的体积等于( B )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
18．(天津5) 设
是两条直线，
是两个平面，则
的一个充分条件是（ C
）
A．
B．
C．
D．
19．（浙江9）对两条不相交的空间直线
和
，必定存在平面，使得 ( B
)
（A）
（B）
（C）
（D）
20．(重庆11)如题（11）图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为 ( A )
(A)模块①，②，⑤ (B)模块①，③，⑤
(C)模块②，④，⑥ (D)模块③，④，⑤
21．(湖北4).用与球必距离为1的平面去截面面积为
，则球的体积为 ( D )
A.
B.
C.
D. 
22．(陕西8)长方体的各顶点都在半径为1的球面上,其中
,则两
点的球面距离为( C )
A．
B．
C．
D．
23．(陕西10) 如图，
到
的距离分别是和，
与所成的角分别是
和
，在内的射影分别是和
，若
，则（ D ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
1．（安徽16）已知点
在同一个球面上,
若
,则
两点间的球面距离是
2．（福建15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为
，则其外接球的表面积是 . 9
3．（广东15）（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切点，切点为A，PA＝2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R=________.
4．（宁夏14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，则这个球的体积为 ．
5．（江西15）连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦
的长度分别等于
、
，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为
．5
6．（辽宁14）在体积为
的球的表面上有A、B，C三点，AB=1，BC=
，A，C两点的球面距离为
，则球心到平面ABC的距离为_________．
7．（全国Ⅰ16）已知菱形
中，
，
，沿对角线
将
折起，使二面角
为
，则点到
所在平面的距离等于
．
8．（全国Ⅱ16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件① ；
充要条件② ．
（写出你认为正确的两个充要条件）
两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．
注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．
9．（浙江15）已知球O的面上四点A、B、C、D，DA
平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O点体积等于 。
10．(天津13) 若一个球的体积为，则它的表面积为
．
三、解答题
1．（安徽19）．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥
中，底面四边长为1的 菱形，
, 
, 
,为
的中点。
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小
；
（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。
方法一（综合法）
（1）
为异面直线与
所成的角（或其补角）
作
连接
，
所以 与所成角的大小为
（２）
点A和点B到平面OCD的距离相等，
连接OP,过点A作
于点Q，
又 
,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
，
，所以点B到平面OCD的距离为
方法二(向量法)
作
于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为
轴建立坐标系
,
(1)设与所成的角为,
,
与所成角的大小为
(2) 
设平面OCD的法向量为
,则
即 
取
,解得
设点B到平面OCD的距离为
,则为
在向量上的投影的绝对值,
, 
.
所以点B到平面OCD的距离为
2．（北京16）（本小题共14分）
如图，在三棱锥
中，
，
，
，
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小．
解法一：
（Ⅰ）取中点
，连结
．
，
．
，
．
，
平面
．
平面，
．
（Ⅱ），
，
．
又，
．
又，即
，且
，
平面
．
取
中点
．连结
．
，
．
是
在平面内的射影，
．
是二面角的平面角．
在
中，
，
，
，
．
二面角的大小为
．
解法二：
（Ⅰ），，
．
又，
．
，
平面．
平面，
．
（Ⅱ）如图，以
为原点建立空间直角坐标系
．
则
．
设
．
，
，
．
取中点，连结．
，
，
，
．
是二面角的平面角．
，
，
，
．
二面角的大小为
．
3．
（福建19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.
解法一：
（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO
平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，
在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，
在Rt△PBO中，PB＝
,
cos∠PBO=
,
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为
.
(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，
在Rt△POC中，PC＝
，
所以PC＝CD＝DP，S△PCD=
·2=
.
又S△=
设点A到平面PCD的距离h，
由VP-ACD=VA-PCD，
得
S△ACD·OP＝S△PCD·h，
即×1×1＝××h，
解得h＝
.
解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）以O为坐标原点，
的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.
则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），
D（0，1，0），P（0，0，1）.
所以
＝（-1，1，0），
＝（t，-1，-1），
∞〈、〉=
，
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，
（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x0,y0,x0），
由（Ⅱ）知
=（-1，0，1），＝（-1，1，0），
则 n·＝0，所以 -x0+ x0=0,
n·＝0， -x0+ y0=0，
即x0=y0=x0,
取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).
又
=(1,1,0).
从而点A到平面PCD的距离d＝
4．
（广东18）（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP～△BAD.
(1)求线段PD的长；
(2)若PC=
R，求三棱锥P-ABC的体积.
解：（1）
BD是圆的直径
又 
,
, 
;
(2 ) 在
中，
又 
底面ABCD
三棱锥的体积为
.
5．（宁夏18）（本小题满分12分）
如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm）
（Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（Ⅲ）在所给直观图中连结
，证明：
面
．
解：（Ⅰ）如图
···················································································· 3分
（Ⅱ）所求多面体体积
．··································································· 7分
（Ⅲ）证明：在长方体
中，
连结
，则
．
因为
分别为
，
中点，
所以
，
从而
．又
平面，
所以面． 12分
6．（江苏16）（14分）
在四面体
中，
，且E、F分别是AB、BD的中点，
求证：（1）直线EF//面ACD
（2）面EFC⊥面BCD
【解析】：本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置关系的判定，
考查空间想象能力、推理论证能力。
（1）∵E、F分别是AB、BD的中点 ∴EF是△ABD的中位线∴EF//AD
又∵
面ACD，AD面ACD∴直线EF//面ACD
（2）
7．（江西20）如图，正三棱锥
的三条侧棱、
、
两两垂直，且长度均为2．、
分别是、
的中点，
是的中点，过的平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、
、
，已知
．
（1）求证：
⊥面
；
（2）求二面角
的大小．
解
：（1）证明：依题设，是
的中位线，所以∥
，
则∥平面
，所以∥。
又是的中点，所以
⊥，
则⊥。
因为⊥，⊥，
所以⊥面，则⊥，
因此⊥面。
（2）作
⊥
于
，连
。
因为
⊥平面
，
根据三垂线定理知，⊥，
就是二面角的平面角。
作
⊥
于，则∥，则是的中点，则
。
设
，由
得，
，解得
，
在
中，
，则，
。
所以
，故二面角为
。
解法二：（1）以直线
分别为
轴，建立空间直角坐标系，
则
所以
所以
所以
平面
由∥得∥，故：
平面
(2)由已知
设
则
由
与
共线得:存在
有
得
同理:
设
是平面
的一个法向量,
则
令
得
又
是平面的一个法量
所以二面角的大小为
8．（江苏选修）记动点P是棱长为1的正方体
的对角线上一点，记
．当
为钝角时，求
的取值范围．
解：由题设可知，以
、
、
为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
，则有
,
,
,
由
，得
，所以
显然不是平角，所以为钝角等价于
，则等价于
即 
，得
因此，的取值范围是
9．（湖南18）（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥P－ABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面积ABCD，PA＝.
(Ⅰ)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(Ⅱ)求二面角A－BE－P的大小.
解 解法一(Ⅰ)如图年示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，ΔBCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE
平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.
又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE.
又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角.
在RtΔPAB中，tan∠PBA＝
，∠PBA＝60°.
故二面角A－BE－P的大小是60°.
解法二 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(
)，D(
)，P(
)，E(
).
(Ⅰ)因为
，平面PAB的一个法向量是
＝(0,1,0)，所以
和共线.从而BE⊥平面PAB.又因为BE平面BEF，所以平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)易知
=(1,0,-), 
=(0,,0),
设
=(x1,y1,z1)是平面PBE的一个法向量，则有
所以y1=0,x1=z1.故可取=(,0,1).
而平面ABE的一个法向量是
=(0,0,1).
于是，cos＜,＞＝
.
故二面角A-BE-P的大小是
10．（辽宁19）（本小题满分12分）
如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF∥
，截面PQGH∥．
（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，
并求出这个值；
（Ⅲ）若
，求
与平面PQEF所成角的正弦值．
解法一：
（Ⅰ）证明：在正方体中，
，
，
又由已知可得
，
，
，
所以
，
，
所以
平面
．
所以平面和平面
互相垂直．·································································· 4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是
，是定值．······································································ 8分
（Ⅲ）解：设交
于点，连结
，
因为
平面，
所以
为与平面所成的角．
因为，所以
分别为，
，，
的中点．
可知
，
．
所以
．················································································ 12分
解法二：
以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz．由已知得
，故
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得
，
，
．
因为
，所以
是平面PQEF的法向量．
因为
，所以
是平面PQGH的法向量．
因为
，所以
，
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．····································································· 4分
（Ⅱ）证明：因为
，所以
，又
，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．
在所建立的坐标系中可求得
，
，
所以
，又
，
所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值．············································· 8分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知
是平面的法向量．
由为中点可知，
分别为，，的中点．
所以
，
，因此与平面所成角的正弦值等于
． 12分
11．（全国Ⅰ18）（本小题满分12分）
四棱锥
中，底面
为矩形，侧面
底面，，
，
．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）设侧面为等边三角形，求二面角
的大小．
解：（1）取中点，连接
交
于点，
，
，
又面面，
面，
．
，
，
，即
，
面
，
．
（2）在面
内过点做的垂线，垂足为
．
，
，
面
，
，
则
即为所求二面角．
，
，
，
，
则
，
．
12．（全国Ⅱ20）（本小题满分12分）
如图，正四棱柱中，
，点在
上且
．
（Ⅰ）证明：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小．
解法一：
依题设，，
．
（Ⅰ）连结交于点，则
．
由三垂线定理知，
．···················································································· 3分
在平面
内，连结交
于点，
由于
，
故
，
，
与
互余．
于是
．
与平面内两条相交直线
都垂直，
所以平面．······························································································· 6分
（Ⅱ）作
，垂足为，连结
．由三垂线定理知
，
故
是二面角的平面角．································································· 8分
，
，
．
，
．
又
，
．
．
所以二面角的大小为
．·························································· 12分
解法二：
以为坐标原点，射线
为
轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系．
依题设，
．
，
．·································· 3分
（Ⅰ）因为
，
，
故
，
．
又
，
所以平面
．······························································································· 6分
（Ⅱ）设向量
是平面
的法向量，则
，
．
故
，
．
令
，则
，
，
．······························································ 9分
等于二面角的平面角，
．
所以二面角的大小为
．························································· 12分
13．(山东19)（本小题满分12分）
如图，在四棱锥
中，平面
平面，
，
是等边三角形，已知
，
．
（Ⅰ）设是
上的一点，证明：平面
平面
；
（Ⅱ）求四棱锥的体积．
（Ⅰ）证明：在中，
由于
，
，
，
所以
．
故
．
又平面平面，平面
平面
，
平面，
所以
平面，
又平面
，
故平面平面．
（Ⅱ）解：过作
交于，
由于平面平面，
所以
平面．
因此
为四棱锥的高，
又是边长为4的等边三角形．
因此
．
在底面四边形中，，
，
所以四边形是梯形，在
中，斜边边上的高为
，
此即为梯形的高，
所以四边形的面积为
．
故
．
14．（上海16）(本题满分12分)
如图，在棱长为2的正方体中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
【解】过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF.
∵ EF⊥平面ABCD，
∴ ∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角. ……………4分
由题意，得EF=
∵
…………………………..8分
∵ EF⊥DF， ∴ 
……………..10分
故直线DE与平面ABCD所成角的大小是
….12分
15．（四川19）（本小题满分12分）
如图，平面
平面，四边形
与都是直角梯形，
，
，
分别为
的中点
（Ⅰ）证明：四边形
是平行四边形；
（Ⅱ）
四点是否共面？为什么？
（Ⅲ）设
，证明：平面
平面
；
【解1】：（Ⅰ）由题意知，
所以
又，故
所以四边形是平行四边形。
（Ⅱ）四点共面。理由如下：
由，是
的中点知，
，所以
由（Ⅰ）知
，所以
，故
共面。又点在直线
上
所以四点共面。
（Ⅲ）连结
，由，
及
知
是正方形
故
。由题设知
两两垂直，故
平面
，
因此
是
在平面内的射影，根据三垂线定理，
又
，所以
平面
由（Ⅰ）知
，所以
平面。
由（Ⅱ）知
平面，故
平面，得平面平面
【解2】：由平面平面，
，得平面，
以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系
（Ⅰ）设
，则由题设得
所以
于是
又点不在直线上
所以四边形是平行四边形。
（Ⅱ）四点共面。理由如下：
由题设知
，所以
又
，故
四点共面。
（Ⅲ）由得，所以
又
，因此
即
又
，所以平面
故由平面
，得平面平面
16．(天津19)（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知
，
，
，
，
．
（Ⅰ）证明平面
；
（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角
的大小．
（Ⅰ）证明：在中，由题设，，，可得
，于是
．在矩形中，
，又
，所以平面．
（Ⅱ）解：由题设，
，所以
（或其补角）是异面直线与所成的角．
在
中，由余弦定理得
．
由（Ⅰ）知平面，
平面，
所以
，因而
，于是
是直角三角形，
故
．
所以异面直线与所成的角的大小为
．
（Ⅲ）解：过点作
于，过点作
于，连结
．
因为平面，
平面，所以
．又
，因而平面，故
为在平面内的射影．由三垂线定理可知，
．从而
是二面角的平面角．
由题设可得，
，
，
，
，
．
于是在
中，
．
所以二面角的大小为
．
17．（浙江20）（本题14分）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，
BCF=CEF=
,AD=,EF=2。
（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？
方法一：
（Ⅰ）证明：过点作
交
于，连结
，
可得四边形
为矩形，
又为矩形，
所以
，从而四边形
为平行四边形，
故
．
因为
平面
，
平面，
所以
平面．
（Ⅱ）解：过点
作
交
的延长线于，连结．
由平面
平面
，
，得
平面，
从而
．
所以
为二面角
的平面角．
在
中，因为
，
，所以
，
．
又因为
，所以
，
从而
．
于是
．
因为
，
所以当为
时，二面角的大小为．
方法二：如图，以点为坐标原点，以
和分别作为轴，
轴和
轴，建立空间直角坐标系．
设
，
则
，
，
，
，
．
（Ⅰ）证明：
，
，
，
所以
，
，从而
，
，
所以
平面
．
因为平面，
所以平面
平面．
故平面．
（Ⅱ）解：因为
，
，
所以
，
，从而
解得
．
所以
，
．
设
与平面
垂直，
则
，
，
解得
．
又因为
平面，
，
所以
，
得到
．
所以当为时，二面角的大小为．
18．（重庆20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分.）
如图（20）图，
为平面，
AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′，B′，AA′＝3，BB′＝2.若二面角
的大小为
，求：
（Ⅰ）点B到平面
的距离;
（Ⅱ）异面直线l与AB所成的角（用反三角函数表示）.
解：（1）如答（20）图，过点B′C∥A′A且使B′C=A′A.过点B作BD⊥CB′，交CB′的延长线于D.
由已知AA′⊥l，可得DB′⊥l，又已知BB′⊥l，故l⊥平面BB′D，得BD⊥l又因BD⊥CB′，从而BD⊥平面α,BD之长即为点B到平面α的距离.
因B′C⊥l且BB′⊥l，故∠BB′C为二面角α-l-β的平面角.由题意，∠BB′C=
.因此在Rt△BB′D中，BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C=
,BD=BB′·sinBB′D
=
.
（Ⅱ）连接AC、BC.因B′C∥A′A，B′C=A′A,AA′⊥l,知A′ACB′为矩形，故AC∥l.所以∠BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角.
在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=，则由余弦定理，
BC=
.
因BD平面，且DCCA，由三策划线定理知ACBC.
故在△ABC中，∠BCA=
，sinBAC=
.
因此，异面直线l与AB所成的角为arcsin
.
19．(湖北18).（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，平面
侧面
（Ⅰ）求证： 
（Ⅱ）若
，直线AC与平面
所成的角为
，二面角
(Ⅰ)证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B，
得AD⊥平面
A1BC.又BC平面A1BC
所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱,
则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.
又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,
又AB侧面A1ABB1，
故AB⊥BC.
(Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA1=j.
于是在RtΔADC中，sinθ=
,在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝
,
∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ＝∠AA1D.
又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋j＝∠AA1B＋j＝
，故θ＋j＝.
证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=c（c＜a＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(
),
A1(0,c,a)，于是
，
＝（0，c,a）,
,
=(0,c,a)
设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),
则由
可取n＝（0，－a，c），于是
n·
=ac＞0，与n的夹角b为锐角,则b与q互为余角.
sinq=cosb=
,
cosj=
所以sinq=cosj=sin(
),又0＜q，j＜，所以q+j=.
20．(陕西19)（本小题满分12分）
三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，
，
平面，
，
，为中点．
（Ⅰ）证明：平面
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小．
解法一：（Ⅰ）平面
平面，
．在
中，，为中点
．又
，平面
，
平面，平面平面．
（Ⅱ）如图，作
交
于点，连接，
由已知得平面
．
是在面内的射影．
由三垂线定理知
，
为二面角的平面角．
过作
交于点，
则
，
，
．
在
中，
．
在
中，
．
，
即二面角为
．
解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，
则
，
为中点，
点坐标为
．
，
．
，
，
，，又，
平面，又
平面，平面平面．
（Ⅱ）
平面，如图可取
为平面的法向量，
设平面的法向量为
，则
．
，
如图，令
，则
，
，
即二面角为
为所求．