当前位置:首页 -高中数学试卷 - 高考数学试题 - 正文*

2004全国高考数学(文)(二)

2014-5-11 0:13:27下载本试卷

2004年普通高等学校招生全国统一考试

文 科 数 学

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分. 共150分. 考试时间120分钟.

第I卷

文本框: 球的表面积公式
S=4 
其中R表示球的半径,
球的体积公式
V= ,
其中R表示球的半径

参考公式:

    如果事件A、B互斥,那么

P(A+B)=P(A)+P(B)

    如果事件A、B相互独立,那么

P(A·B)=P(A)·P(B)

    如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

Pn(k)=CPk(1-P)n-k

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合,则集合=      (  )

    A.{}                   B.{}    

    C.{}                                D. {}

2.函数的反函数是                                 (   )

    A.               B.            

    C.               D.

3.曲线在点(1,-1)处的切线方程为                    (  )

    A.     B.   C.   D.

4.已知圆C与圆关于直线对称,则圆C的方程为      (  )

    A.                B.

    C.                D.

5.已知函数的图象过点,则可以是               (  )

    A.          B.           C.         D.

6.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为            (  )

    A.75°          B.60°          C.45°          D.30°

7.函数的图象                                             (  )

    A.与的图象 关于轴对称     B.与的图象关于坐标原点对称

    C.与的图象关于轴对称     D.与的图象关于坐标原点对称

8.已知点A(1,2)、B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是            (  )

    A.   B.   C.    D.

9.已知向量ab满足:a=1,b=2,ab=2,则a+b=                    (  )

    A.1            B.          C.          D.

10.已知球O的半径为1,A、B、C三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为,则

    球心O到平面ABC的距离为                                      (  )

    A.           B.          C.           D.

11.函数的最小正周期为                             (  )

    A.           B.           C.           D.2

12.在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23145且小于43521

    的数共有                                                     (  )

    A.56个         B.57个         C.58个         D.60个

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.

13.已知a为实数,展开式中的系数是-15,则        .

14.设满足约束条件:

    则的最大值是         .

15.设中心的原点的椭圆与双曲线=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是           .

16.下面是关于四棱柱的四个命题:

①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱

②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱

③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱                      

④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱

其中,真命题的编号是          (写出所有正确结论的编号).

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

已知等差数列{},

(Ⅰ)求{}的通项公式;

(Ⅱ)令,求数列的前n项和Sn.

18.(本小题满分12分)

    已知锐角三角形ABC中,

(Ⅰ)求证

(Ⅱ)设AB=3,求AB边上的高.

19.(本小题满分12分)

    已知8支球队中有3支弱队,以抽签方式将这8支球队分为A、B两组,每组4支.

求:(Ⅰ)A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率;

(Ⅱ)A组中至少有两支弱队的概率.

20.(本小题满分12分)

    如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,

 
CB=,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D,

B1C1的中点为M.

(Ⅰ)求证CD⊥平面BDM;

(Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.

21.(本小题满分12分)

    若函数在区间(1,4)内为减函数,在区间

(6,+∞)上为增函数,试求实数a的取值范围.

22.(本小题满分14分)

    给定抛物线C:F是C的焦点,过点F的直线与C相交于A、B两点.

(Ⅰ)设的斜率为1,求夹角的大小;

(Ⅱ)设,求轴上截距的变化范围.

2004年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学(必修+选修Ⅱ)参考答案

一、选择题

  C A B C A C D B D B B C

二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.

13.  14.5  15.  16.②④

三、解答题

17.本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质,考查运算能力,满分12分.

  解:(Ⅰ)设数列的公差为d,依题意得方程组

      解得

   所以的通项公式为

(Ⅱ)由所以是首项,公式的等比数列.

于是得的前n项和 

18.本小题主要考查三角函数概念,两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力,

    满分12分.

(Ⅰ)证明:

所以

(Ⅱ)解:

     即 ,将代入上式并整理得

    

解得,舍去负值得

  设AB边上的高为CD.

则AB=AD+DB=

由AB=3,得CD=2+. 所以AB边上的高等于2+.

19.本小题主要考查组合、概率等基本概念,相互独立事件和互斥事件等概率的计算,运用

    数学知识解决问题的能力,满分12分.

(Ⅰ)解法一:三支弱队在同一组的概率为

故有一组恰有两支弱队的概率为

解法二:有一组恰有两支弱队的概率

(Ⅱ)解法一:A组中至少有两支弱队的概率

    解法二:A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1,由于对A组和B组来说,至少有两支弱队的概率是相同的,所以A组中至少有两支弱队的概率为

 
20.本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力.

  满分12分.

解法一:(Ⅰ)如图,连结CA1、AC1、CM,则CA1=

   ∵CB=CA1=,∴△CBA1为等腰三角形,

又知D为其底边A1B的中点,

   ∴CD⊥A1B. ∵A1C1=1,C1B1=,∴A1B1=

   又BB1=1,A1B=2. ∵△A1CB为直角三角形,D为A1B的中点,

  ∴CD=A1B=1,CD=CC1,又DM=AC1=,DM=C1M.

  ∴△CDM≌△CC1M,∠CDM=∠CC1M=90°,即CD⊥DM.

  因为A1B、DM为平在BDM内两条相交直线,所以CD⊥平面BDM.

(Ⅱ)设F、G分别为BC、BD的中点,连结B1G、FG、B1F,则FG//CD,FG=CD.

   ∴FG=,FG⊥BD.

  由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D知BD=B1D=A1B=1,

  所以△BB1D是边长为1的正三角形.

  于是B1G⊥BD,B1G=  ∴∠B1GF是所求二面角的平面角,

  又 B1F2=B1B2+BF2=1+(=

  ∴ 

  即所求二面角的大小为

 
解法二:如图,以C为原点建立坐标系.

(Ⅰ)B(,0,0),B1,1,0),A1(0,1,1),

D(,M(,1,0),

  ∴CD⊥A1B,CD⊥DM.

因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线,所以CD⊥平面BDM.

(Ⅱ)设BD中点为G,连结B1G,则

G(),),

所以所求的二面角等于

21.本小题主要考查导数的概念的计算,应用导数研究函数单调性的基本方法,考查综合运

    用数学知识解决问题的能力.满分12分.

 解:函数的导数  令,解得

 

为增函数.

依题意应有 当

所以  解得

所以a的取值范围是[5,7].

22.本小题主要考查抛物线的性质,直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。满分14分。

解:(Ⅰ)C的焦点为F(1,0),直线l的斜率为1,所以l的方程为

代入方程,并整理得 

则有 

所以夹角的大小为

(Ⅱ)由题设 得 

 

由②得, ∵   ∴

联立①、③解得,依题意有

又F(1,0),得直线l方程为

 

时,l在方程y轴上的截距为

由   可知在[4,9]上是递减的,

直线l在y轴上截距的变化范围为