2004全国高考数学（文）(一)

2004年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修+选修I）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.

第I卷（选择题 共60分）

参考公式：

　　　 如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=P（A）+P（B）

　　　 如果事件A、B相互独立，那么

P（A·B）=P（A）·P（B）

　　　 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

P_n(k)=CP^k(1－P)^n－k

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（　_U B）=　　　 （　　）

　　　 A．{2}　　　　　　　　　　 B．{2，3}　　　　　　　　C．{3}　　　　　　　　　　 D． {1，3}

2．已知函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．－　　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　　　D．－2

3．已知a+b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么a+3b=　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D．4

4．函数的反函数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　 D．

5．的展开式中常数项是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．14　　　　　　　　　　　B．－14　　　　　　　　　 C．42　　　　　　　　　　　D．－42

6．设若则=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．4

7．椭圆的两个焦点为F₁、F₂，过F₁作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点

　　　 为P，则=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．4

8．设抛物线的准线与轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线

　　　 的斜率的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　B．[－2，2]　　　　　　 C．[－1，1]　　　　　　 D．[－4，4]

9．为了得到函数的图象，可以将函数的图象　　　　　　　（　　）

　　　 A．向右平移个单位长度　　　　　　　　　　　B．向右平移个单位长度

　　　 C．向左平移个单位长度　　　　　　　　　　　D．向左平移个单位长度

10．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH

　　　 的表面积为T，则等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．

11．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　D．

12．已知的最小值为　　　　　　 （　　）

　　　 A．－　　　　　　B．－　　　　　　 C．－－　　　　 D．+

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．不等式x+x³≥0的解集是　　　　　　  .

14．已知等比数列{则该数列的通项=　　　　　　　  .

15．由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为　　　　　　　　　  .

16．已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是　　　  .

①两条平行直线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②两条互相垂直的直线

③同一条直线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　④一条直线及其外一点

在一面结论中，正确结论的编号是　　　　　　　   （写出所有正确结论的编号）.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

等差数列{}的前n项和记为S_n.已知

（Ⅰ）求通项；

（Ⅱ）若S_n=242，求n.

18．（本小题满分12分）

求函数的最小正周期、最大值和最小值.

19．（本小题满分12分）

已知在R上是减函数，求的取值范围.

20．（本小题满分12分）

从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为，每位男同学能通过测验的概率均为.试求：

（I）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；

（II）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.

21．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

（I）求点P到平面ABCD的距离；

（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.

22．（本小题满分14分）

设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.

（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：

（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.

2004年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修+选修I）参考答案

一、选择题

　  DBCBABCCBACB

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．{xx≥0}　 14．3·2^n－3　 15．　　16．①②④

三、解答题

17．本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.满分12分.

解：（Ⅰ）由得方程组

　　　……4分　解得　所以　……7分

（Ⅱ）由得方程

　　   ……10分 解得………12分

18．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质.满分12分.

解：　　　　　　　　　　　

………………6分

　　　　

　所以函数的最小正周期是，最大值是最小值是…………12分

19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.

解：函数f(x)的导数：………………3分

（Ⅰ）当（）时，是减函数.

　

所以，当是减函数；………………9分

（II）当时，=

由函数在R上的单调性，可知

当时，）是减函数；

（Ⅲ）当时，在R上存在一个区间，其上有

所以，当时，函数不是减函数.

综上，所求的取值范围是（………………12分

20．本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识

　　　 解决实际问题的能力，满分12分.

　　　 解：（Ⅰ）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为

　　　　　  1－；………………6分

（Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为

　　　　　  ；………………12分

21．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.

　 （I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE.

　　∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，

∵PA=PD，∴OA=OD，

于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.

由此知∠PEB为面PAD与面ABCD

所成二面角的平面角，………………4分

∴∠PEB=120°，∠PEO=60°

由已知可求得PE=

∴PO=PE·sin60°=，

即点P到平面ABCD的距离为.………………6分

（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.

.连结AG.

又知由此得到：

所以

等于所求二面角的平面角，…………10分

于是

所以所求二面角的大小为.…………12分

解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，

FG=BC.

∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，

∴∠AGF是所求二面角的平面角.……9分

∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.

又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.

在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=.

在Rt△PEG中，EG=AD=1.　于是tan∠GAE==，

又∠AGF=π－∠GAE.　 所以所求二面角的大小为π－arctan.…………12分

22．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分14分.

解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组

有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1－a²）x²+2a²x－2a²=0.　　 ① ……2分

双曲线的离心率

（II）设

……8分

由于x₁，x₂都是方程①的根，且1－a²≠0，