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2004全国高考数学(文)(一)

2014-5-11 0:13:27下载本试卷

2004年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学(必修+选修I)

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分. 共150分. 考试时间120分钟.

第I卷(选择题 共60分)

文本框: 球的表面积公式
S=4 
其中R表示球的半径,
球的体积公式
V= ,
其中R表示球的半径

参考公式:

    如果事件A、B互斥,那么

P(A+B)=P(A)+P(B)

    如果事件A、B相互独立,那么

P(A·B)=P(A)·P(B)

    如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

Pn(k)=CPk(1-P)n-k

 
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.

1.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},则A∩( U B)=    (  )

    A.{2}           B.{2,3}        C.{3}           D. {1,3}

2.已知函数                       (  )

    A.           B.-          C.2            D.-2

3.已知a+b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么a+3b=                (  )

    A.          B.         C.         D.4

4.函数的反函数是                                (  )

    A.           B.

    C.              D.

5.的展开式中常数项是                                  (  )

    A.14           B.-14          C.42           D.-42

6.设=                         (  )

    A.           B.           C.           D.4

7.椭圆的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于轴的直线与椭圆相交,一个交点

    为P,则=                                               (  )

    A.          B.          C.           D.4

8.设抛物线的准线与轴交于点Q,若过点Q的直线与抛物线有公共点,则直线

    的斜率的取值范围是                                           (  )

    A.      B.[-2,2]       C.[-1,1]       D.[-4,4]

9.为了得到函数的图象,可以将函数的图象       (  )

    A.向右平移个单位长度           B.向右平移个单位长度

    C.向左平移个单位长度           D.向左平移个单位长度

10.已知正四面体ABCD的表面积为S,其四个面的中心分别为E、F、G、H,设四面体EFGH

    的表面积为T,则等于                                        (  )

    A.           B.           C.           D.

11.从1,2,……,9这九个数中,随机抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率是

                                                               (  )

    A.           B.           C.          D.

12.已知的最小值为       (  )

    A.      B.       C.-     D.+

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.

13.不等式x+x3≥0的解集是        .

14.已知等比数列{则该数列的通项=         .

15.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为           .

16.已知a、b为不垂直的异面直线,是一个平面,则a、b在上的射影有可能是     .

①两条平行直线                   ②两条互相垂直的直线

③同一条直线                     ④一条直线及其外一点

在一面结论中,正确结论的编号是          (写出所有正确结论的编号).

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

等差数列{}的前n项和记为Sn.已知

(Ⅰ)求通项

(Ⅱ)若Sn=242,求n.

18.(本小题满分12分)

求函数的最小正周期、最大值和最小值.

19.(本小题满分12分)

已知R上是减函数,求的取值范围.

20.(本小题满分12分)

从10位同学(其中6女,4男)中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为,每位男同学能通过测验的概率均为.试求:

(I)选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率;

(II)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.

21.(本小题满分12分)

如图,已知四棱锥 P—ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

 
(I)求点P到平面ABCD的距离;

(II)求面APB与面CPB所成二面角的大小.

22.(本小题满分14分)

设双曲线C:相交于两个不同的点A、B.

(I)求双曲线C的离心率e的取值范围:

(II)设直线l与y轴的交点为P,且a的值.

2004年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学(必修+选修I)参考答案

一、选择题

   DBCBABCCBACB

二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.

13.{xx≥0}  14.3·2n-3  15.  16.①②④

三、解答题

17.本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式,考查运算能力.满分12分.

解:(Ⅰ)由得方程组

   ……4分 解得 所以 ……7分

(Ⅱ)由得方程

     ……10分 解得………12分

18.本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形,以及三角函数的有关性质.满分12分.

解:           

………………6分

 
    

 所以函数的最小正周期是,最大值是最小值是…………12分

19.本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法,考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.

解:函数f(x)的导数:………………3分

(Ⅰ)当)时,是减函数.

 

所以,当是减函数;………………9分

(II)当时,=

由函数在R上的单调性,可知

时,)是减函数;

(Ⅲ)当时,在R上存在一个区间,其上有

所以,当时,函数不是减函数.

综上,所求的取值范围是(………………12分

20.本小题主要考查组合,概率等基本概念,独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识

    解决实际问题的能力,满分12分.

    解:(Ⅰ)随机选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率为

       1-;………………6分

(Ⅱ)甲、乙被选中且能通过测验的概率为

       ;………………12分

21.本小题主要考查棱锥,二面角和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.

  (I)解:如图,作PO⊥平面ABCD,垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E,连结PE.

 
  ∵AD⊥PB,∴AD⊥OB,

∵PA=PD,∴OA=OD,

于是OB平分AD,点E为AD的中点,所以PE⊥AD.

由此知∠PEB为面PAD与面ABCD

所成二面角的平面角,………………4分

∴∠PEB=120°,∠PEO=60°

由已知可求得PE=

∴PO=PE·sin60°=

即点P到平面ABCD的距离为.………………6分

(II)解法一:如图建立直角坐标系,其中O为坐标原点,x轴平行于DA.

.连结AG.

 
又知由此得到:

所以

等于所求二面角的平面角,…………10分

于是

所以所求二面角的大小为.…………12分

解法二:如图,取PB的中点G,PC的中点F,连结EG、AG、GF,则AG⊥PB,FG//BC,

 
FG=BC.

∵AD⊥PB,∴BC⊥PB,FG⊥PB,

∴∠AGF是所求二面角的平面角.……9分

∵AD⊥面POB,∴AD⊥EG.

又∵PE=BE,∴EG⊥PB,且∠PEG=60°.

在Rt△PEG中,EG=PE·cos60°=.

在Rt△PEG中,EG=AD=1. 于是tan∠GAE==

又∠AGF=π-∠GAE.  所以所求二面角的大小为π-arctan.…………12分

22.(本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分14分.

解:(I)由C与t相交于两个不同的点,故知方程组

有两个不同的实数解.消去y并整理得 (1-a2x2+2a2x-2a2=0.   ① ……2分

双曲线的离心率

(II)设

……8分

由于x1x2都是方程①的根,且1-a2≠0,