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08年高考数学圆锥曲线试题分类汇编

2014-5-11 0:13:27下载本试卷

2008年高考数学试题分类汇编

圆锥曲线

一.     选择题:

1.(福建卷11)又曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1F2,若P为其上一点,且PF1=2PF2,则双曲线离心率的取值范围为B

A.(1,3)         B.      C.(3,+)   D.

2.(海南卷11)已知点P在抛物线y2 = 4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为( A )

A. (,-1)  B. (,1)   C. (1,2)  D. (1,-2)

3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:

;  ②;   ③;   ④.

其中正确式子的序号是B

A. ①③       B. ②③      C. ①④      D. ②④

4.(湖南卷8)若双曲线a>0,b>0)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是(  B  )

A.(1,2)    B.(2,+)   C.(1,5)    D. (5,+)

5.(江西卷7)已知是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是C

A.    B.  C.  D.

6.(辽宁卷10)已知点P是抛物线上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A  )

A.    B.   C.   D.

7.(全国二9)设,则双曲线的离心率的取值范围是( B  )

A.   B.    C.    D.

8.(山东卷(10)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为A

(A)                     (B)

(C)                       (D)

9.(陕西卷8)双曲线)的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为( B  )

A.  B.   C.  D.

10.(四川卷12)已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,点上且,则的面积为( B )

(A)     (B)      (C)     (D)

11.(天津卷(7)设椭圆)的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为B

(A)  (B)  (C) (D)

12.(浙江卷7)若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,则双曲线的离心率是D

  (A)3    (B)5     (C)      (D)

13.(浙江卷10)如图,AB是平面的斜线段,A为斜足,若点P在平面内运动,使得△ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是B

(A)圆      (B)椭圆    

(C)一条直线   (D)两条平行直线

14.(重庆卷(8)已知双曲线a>0,b>0)的一条渐近线为y=kx(k>0),离心率e=,则双曲线方程为C

(A)=1          (B)

 (C)            (D)

二.     填空题:

1.(海南卷14)过双曲线的右顶点为A,右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为_______

2.(湖南卷12)已知椭圆ab>0)的右焦点为F,右准线为,离心率e=过顶点A(0,b)作AM,垂足为M,则直线FM的斜率等于    .

3.(江苏卷12)在平面直角坐标系中,椭圆1( 0)的焦距为2,以O为圆心,为半径的圆,过点作圆的两切线互相垂直,则离心率=     

4.(江西卷15)过抛物线的焦点作倾角为的直线,与抛物线分别交于两点(轴左侧),则   

5.(全国一14)已知抛物线的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为    .2

6.(全国一15)在中,.若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率     

7.(全国二15)已知是抛物线的焦点,过且斜率为1的直线交两点.设,则的比值等于    

8.(浙江卷12)已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于A、B两点若,则=______________。8

三.     解答题:

1.(安徽卷22).(本小题满分13分)

设椭圆过点,且着焦点为

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时,在线段上取点,满足,证明:点总在某定直线上

(1)由题意:

      ,解得,所求椭圆方程为

(2)方法一

 设点Q、A、B的坐标分别为

由题设知均不为零,记,则

又A,P,B,Q四点共线,从而

于是      ,   

        ,  

从而

    (1)  (2)

又点A、B在椭圆C上,即

          

 (1)+(2)×2并结合(3),(4)得

即点总在定直线

方法二

设点,由题设,均不为零。

四点共线,可设,于是

                (1)

                (2)

由于在椭圆C上,将(1),(2)分别代入C的方程

整理得

    (3)

    (4)

(4)-(3)    得 

即点总在定直线

2.(北京卷19).(本小题共14分)

已知菱形的顶点在椭圆上,对角线所在直线的斜率为1.

(Ⅰ)当直线过点时,求直线的方程;

(Ⅱ)当时,求菱形面积的最大值.

解:(Ⅰ)由题意得直线的方程为

因为四边形为菱形,所以

于是可设直线的方程为

因为在椭圆上,

所以,解得

两点坐标分别为

所以

所以的中点坐标为

由四边形为菱形可知,点在直线上,

所以,解得

所以直线的方程为,即

(Ⅱ)因为四边形为菱形,且

所以

所以菱形的面积

由(Ⅰ)可得

所以

所以当时,菱形的面积取得最大值

3.(福建卷21)(本小题满分12分)

   如图、椭圆的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.

              

(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;

  (Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于AB两点.若直线l绕点F任意转动,值有,求a的取值范围.

本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识,考查分类与整合思想,考查运算能力和综合解题能力.满分12分.

  解法一:(Ⅰ)设M,N为短轴的两个三等分点,

因为△MNF为正三角形,

         所以,

         即1=

         因此,椭圆方程为

       (Ⅱ)设

       (ⅰ)当直线 ABx轴重合时,

        (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时,

           设直线AB的方程为:

           整理得

           所以

           因为恒有,所以AOB恒为钝角.

           即恒成立.

          

               

     又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立,

a2b2m2> a2 -a2b2+b2mR恒成立.

mR时,a2b2m2最小值为0,所以a2- a2b2+b2<0.

a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4,

因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0,

解得a>a<(舍去),即a>,

综合(i)(ii),a的取值范围为(,+).

解法二:

(Ⅰ)同解法一,

(Ⅱ)解:(i)当直线l垂直于x轴时,

x=1代入=1.

因为恒有OA2+OB2<AB2,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1,即>1,

解得a>a<(舍去),即a>.

(ii)当直线l不垂直于x轴时,设Ax1,y1), Bx2,y2).

设直线AB的方程为y=k(x-1)代入

得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,

x1+x2=

因为恒有OA2+OB2<AB2,

所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,

x1x2+ y1y2<0恒成立.

x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2

=(1+k2).

由题意得(a2- a2 b2+b2k2- a2 b2<0对kR恒成立.

①当a2- a2 b2+b2>0时,不合题意;

②当a2- a2 b2+b2=0时,a=;

③当a2- a2 b2+b2<0时,a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0,a4- 3a2 +1>0,

解得a2>a2>(舍去),a>,因此a.

综合(i)(ii),a的取值范围为(,+).

4.(广东卷18).(本小题满分14分)

,椭圆方程为,抛物线方程为.如图4所示,过点轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为,已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;

(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).

【解析】(1)由

G点的坐标为,过点G的切线方程为,令点的坐标为,由椭圆方程得点的坐标为

,即椭圆和抛物线的方程分别为

(2)轴的垂线与抛物线只有一个交点,为直角的只有一个,

同理为直角的只有一个。

若以为直角,设点坐标为两点的坐标分别为

关于的二次方程有一大于零的解,有两解,

即以为直角的有两个,

因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。

5.(湖北卷19).(本小题满分13分)

如图,在以点为圆心,为直径的半圆中,是半圆弧上一点,,曲线是满足为定值的动点的轨迹,且曲线过点.

(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线的方程;

(Ⅱ)设过点的直线l与曲线相交于不同的两点.

若△的面积不小于,求直线斜率的取值范围.

本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识,考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.(满分13分)

(Ⅰ)解法1:以O为原点,ABOD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P),依题意得

MA|-|MB|=|PA|-|PB|=<|AB|=4.

∴曲线C是以原点为中心,AB为焦点的双曲线.

设实平轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c

c=2,2a=2,∴a2=2,b2=c2-a2=2.

∴曲线C的方程为.

解法2:同解法1建立平面直角坐标系,则依题意可得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|<

AB|=4.

∴曲线C是以原点为中心,AB为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为>0,b>0).

则由  解得a2=b2=2,

∴曲线C的方程为

(Ⅱ)解法1:依题意,可设直线l的方程为ykx+2,代入双曲线C的方程并整理得(1-k2x2-4kx-6=0.

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点EF

∴   

k∈(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).

Exy),F(x2,y2),则由①式得x1+x2=,于是

EF|=

而原点O到直线l的距离d

S△DEF=

若△OEF面积不小于2,即SOEF,则有

    ③

综合②、③知,直线l的斜率的取值范围为[-,-1]∪(1-,1) ∪(1, ).

解法2:依题意,可设直线l的方程为ykx+2,代入双曲线C的方程并整理,

得(1-k2x2-4kx-6=0.

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点EF

∴   

.∴k∈(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).

E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得

x1-x2|=      ③

EF在同一去上时(如图1所示),

SOEF

EF在不同支上时(如图2所示).

SODE=

综上得SOEF于是

由|OD|=2及③式,得SOEF=

若△OEF面积不小于2

    ④

综合②、④知,直线l的斜率的取值范围为[-,-1]∪(-1,1)∪(1,).

6.(湖南卷20).(本小题满分13分)

A、B是抛物线y2=4x上的不同两点,弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与

x轴相交于点P,则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时,点Px,0)

存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.

(I)证明:点Px0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同;

(II) 试问:点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值?

若存在,求其最大值(用x0表示):若不存在,请说明理由.

解: (I)设AB为点P(x0,0)的任意一条“相关弦”,且点A、B的坐标分别是

x1,y1)、(x2,y2)(x1x2),则y21=4x1, y22=4x2,

两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).因为x1x2,所以y1+y20.

设直线AB的斜率是k,弦AB的中点是Mxm, ym),则

k=.从而AB的垂直平分线l的方程为

又点P(x0,0)在直线上,所以

于是故点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,弦AB所在直线的方程是,代入中,

整理得   (·)

是方程(·)的两个实根,且

设点P的“相关弦”AB的弦长为l,则

  

因为0<<4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是设t=,则t(0,4x0-8).

l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.

若x0>3,则2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当t=2(x0-3),即=2(x0-3)时,

l有最大值2(x0-1).

若2<x0<3,则2(x0-3)0,g(t)在区间(0,4 x0-8)上是减函数,

所以0<l2<16(x0-2),l不存在最大值.

综上所述,

当x0>3时,点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中存在最大值,且最大值

为2(x0-1);当2< x03时,点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中不存在最大值.

7.(江西卷21).(本小题满分12分)

设点在直线上,过点作双曲线的两条切线,切点为,定点.

(1)求证:三点共线。

(2)过点作直线的垂线,垂足为,试求的重心所在曲线方程.

证明:(1)设,由已知得到,且

设切线的方程为:

从而,解得

因此的方程为:

同理的方程为:

上,所以

即点都在直线

也在直线上,所以三点共线

(2)垂线的方程为:

得垂足

设重心

所以   解得

可得为重心所在曲线方程

8.(辽宁卷20).(本小题满分12分)

在直角坐标系中,点P到两点的距离之和等于4,设点P的轨迹为,直线C交于AB两点.

(Ⅰ)写出C的方程;

(Ⅱ)若,求k的值;

(Ⅲ)若点A在第一象限,证明:当k>0时,恒有>

20.本小题主要考查平面向量,椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分12分.

解:

(Ⅰ)设Pxy),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴

故曲线C的方程为.··················································································· 3分

(Ⅱ)设,其坐标满足

消去y并整理得

.······································································· 5分

,即

于是

化简得,所以.············································································ 8分

(Ⅲ)

         

         

         

因为A在第一象限,故.由,从而.又

即在题设条件下,恒有.··········································································· 12分

9.(全国一21).(本小题满分12分)

(注意:在试题卷上作答无效

双曲线的中心为原点,焦点在轴上,两条渐近线分别为,经过右焦点垂直于的直线分别交两点.已知成等差数列,且同向.

(Ⅰ)求双曲线的离心率;

(Ⅱ)设被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.

解:(Ⅰ)设

由勾股定理可得:

得:

由倍角公式,解得,则离心率

(Ⅱ)过直线方程为,与双曲线方程联立

代入,化简有

将数值代入,有,解得

故所求的双曲线方程为

10.(全国二21).(本小题满分12分)

设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线AB相交于点D,与椭圆相交于EF两点.

(Ⅰ)若,求的值;

(Ⅱ)求四边形面积的最大值.

(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为

直线的方程分别为.············································ 2分

如图,设,其中

满足方程

.①

,得

上知,得

所以

化简得

解得.··································································································· 6分

(Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点的距离分别为

.································································ 9分

,所以四边形的面积为

,即当时,上式取等号.所以的最大值为.····························· 12分

解法二:由题设,

,由①得

故四边形的面积为

···················································································································· 9分

时,上式取等号.所以的最大值为.·············································· 12分

11.(山东卷22) (本小题满分14分)

如图,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M为 直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为AB.

(Ⅰ)求证:AMB三点的横坐标成等差数列;

(Ⅱ)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,,求此时抛物线的方程;

(Ⅲ)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上,其中,点C满足O为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

(Ⅰ)证明:由题意设

           由,则

           所以

           因此直线MA的方程为

        直线MB的方程为

           所以          ①

          ②

由①、②得  

因此 ,即

所以AMB三点的横坐标成等差数列.

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当x0=2时,

        将其代入①、②并整理得:

        

        

     所以 x1x2是方程的两根,

       因此

       又

       所以

       由弦长公式得

       

    又

       所以p=1或p=2,

       因此所求抛物线方程为

(Ⅲ)解:设D(x3,y3),由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),

        则CD的中点坐标为

        设直线AB的方程为

        由点Q在直线AB上,并注意到点也在直线AB上,

        代入得

        若Dx3,y3)在抛物线上,则

        因此 x3=0或x3=2x0.

        即D(0,0)或

       (1)当x0=0时,则,此时,点M(0,-2p)适合题意.

       (2)当,对于D(0,0),此时

         又ABCD

所以

矛盾.

对于因为此时直线CD平行于y轴,

所以  直线AB与直线CD不垂直,与题设矛盾,

所以时,不存在符合题意的M点.

综上所述,仅存在一点M(0,-2p)适合题意.

12.(陕西卷20).(本小题满分12分)

已知抛物线,直线两点,是线段的中点,过轴的垂线交于点

(Ⅰ)证明:抛物线在点处的切线与平行;

(Ⅱ)是否存在实数使,若存在,求的值;若不存在,说明理由.

20.解法一:(Ⅰ)如图,设,把代入

由韦达定理得

点的坐标为

设抛物线在点处的切线的方程为

代入上式得

直线与抛物线相切,

(Ⅱ)假设存在实数,使,则,又的中点,

由(Ⅰ)知

轴,

   

,解得

即存在,使

解法二:(Ⅰ)如图,设,把代入

.由韦达定理得

点的坐标为

抛物线在点处的切线的斜率为

(Ⅱ)假设存在实数,使

由(Ⅰ)知,则

,解得

即存在,使

13.(四川卷21).(本小题满分12分)

设椭圆的左右焦点分别为,离心率,右准线为上的两个动点,

(Ⅰ)若,求的值;

(Ⅱ)证明:当取最小值时,共线。

【解】:由,得

  的方程为

   ①

(Ⅰ)由,得

  ②

  ③

由①、②、③三式,消去,并求得

(Ⅱ)

当且仅当时,取最小值

此时,

共线。

【点评】:此题重点考察椭圆中的基本量的关系,进而求椭圆待定常数,考察向量的综合应用;

【突破】:熟悉椭圆各基本量间的关系,数形结合,熟练地进行向量的坐标运算,设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用。

14.(天津卷22)(本小题满分14分)

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是,一条渐近线的方程是

(Ⅰ)求双曲线C的方程;

(Ⅱ)若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M,N,且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围.

(22)本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理运算能力.满分14分.

(Ⅰ)解:设双曲线的方程为).由题设得

,解得,所以双曲线方程为

(Ⅱ)解:设直线的方程为).点的坐标满足方程组

将①式代入②式,得,整理得

此方程有两个一等实根,于是,且.整理得. ③

由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足

从而线段的垂直平分线方程为

此直线与轴,轴的交点坐标分别为.由题设可得.整理得

将上式代入③式得,整理得

解得

所以的取值范围是

15.(浙江卷20)(本题15分)已知曲线C是到点P()和到直线距离相等的点的轨迹。是过点Q(-1,0)的直线,M是C上(不在上)的动点;A、B在上,轴(如图)。

  (Ⅰ)求曲线C的方程;

  (Ⅱ)求出直线的方程,使得为常数。

本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分15分.

(Ⅰ)解:设上的点,则

到直线的距离为

由题设得

化简,得曲线的方程为

(Ⅱ)解法一:

,直线,则

,从而

中,因为

所以 .

时,

从而所求直线方程为

解法二:设,直线,则,从而

垂直于的直线

因为,所以

时,

从而所求直线方程为

16.(重庆卷21)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)

   如图(21)图,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点,动点P满足:

(Ⅰ)求点P的轨迹方程;

(Ⅱ)若,求点P的坐标.

解:(Ⅰ)由椭圆的定义,点P的轨迹是以M、N为焦点,长轴长2a=6的椭圆.

       因此半焦距c=2,长半轴a=3,从而短半轴

b=

       所以椭圆的方程为

     (Ⅱ)由

            ①

       因为不为椭圆长轴顶点,故P、M、N构成三角形.在△PMN中,

            ②

       将①代入②,得

      

       故点P在以M、N为焦点,实轴长为的双曲线上.

       由(Ⅰ)知,点P的坐标又满足,所以

       由方程组    解得

       即P点坐标为