绵阳市高中2007级第二次诊断性考试
理科数学参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．
CDACB ACBDA BD
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
13． 14．b≤且 b≠0 15． 16．4
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．由 知B为锐角，得 ，，
所以 ，得 A + B = 45?，
因此∠C = 135?，表明c边最长． ........................... 5分
∵ tanA＞tanB，且正切函数在（0?，90?）内单调增加，
∴ A＞B，于是b边最短，即 b = 1．
∵ ，
∴ 由正弦定理 得 ，
故最长边的值为． ...........................12分
18．设不等式︱2x－4︱＜5－x，，2x2 + mx－1＜0的解集分别为A，B，C．
则由︱2x－4︱＜5－x得，当x≥2时，不等式化为 2x－4＜5－x，得 x＜3，所以有2≤x＜3；当x＜2时，不等式化为 4－2x＜5－x，得 x＞－1，所以有－1＜x＜2，故A =（－1，3）． ............... 3分
? ? ?
? 0≤x＜1 或 2＜x≤4， 即 B = [ 0，1∪（2，4．
............... 6分
若同时满足①②的x值也满足③，则有A∩B?C．
设 f（x）= 2x2 + mx－1，则由于A∩B = [ 0，1∪（2，3），
故结合二次函数的图象，得 ．
............... 12分
19．设开办初中班x个，高中班y个，收取的学费总额为z万元．
根据题意，有 x≥0，y≥0，且x、y∈Z； ①
20≤x + y≤30； ②
25x + 50y + 2.5×3.2x + 4.0×4.0y ≤1320，
即 x + 2y≤40． ③
目标函数为 z = 0.7×40 x + 0.8×45 y = 28 x + 36 y，可行域如图：
............... 6分
把z = 28 x + 36 y变形为，
得到斜率为，在y轴上的截距为，随z
变化的一簇平行直线．由图象可以看到，当直
线z = 28 x + 36 y经过可行域上的点A时，z最大．
解方程组 得x = 20，y = 10，
即点A的坐标为（20，10），所以 zmax = 28×20 + 36×10 = 920．
由此可知，开办20个初中班和10个高中班，收取的学费总额最多，为920万元． ............... 12分
20． （Ⅰ） ∵ f（x）= x3 +（m2－4m + 2）x + m3－6m2 + 9m－1，
∴ f ′（x）= 3x2 +（m2－4m + 2）．
因为f（x）有极值，故 f ′（x）= 0有两个不同的实数根，
∴ m2－4m + 2＜0， ∴ ． .................. 4分
（Ⅱ）设 f ′（x）= 0的实数根为?，?（?＜?），则 ? +? = 0．
于是 g（m）= f（?）+ f（?）
= ?3 + ?3 +（m2－4m + 2）（? + ?）+ 2（m3－6m2 + 9m－1）
=（? + ?）（?2－?? + ?2）+（m2－4m－2）（? + ?）+ 2（m3－6m2 + 9m－1），
由 ? +? = 0 得 g（m）= 2（m3－6m2 + 9m－1），（）． .................. 8分
∴ g ′（m）= 6（m2－4m + 3），由 g ′（m）= 0，得 m = 1，3．
m
...
1
...
3
...
g ′(m)
+
0
－
0
+
g（m）
6
－2
由上表得，最大值 g（1）= 6，最小值 g（3）=－2． ............12分
21．设直线FA的斜率为k，其方程为y = kx + 1． ①
因为点A（x，y）同时满足式①和圆，所以把式①代入圆的方程中，得 （x－3）2 +（kx + 1）2 = 1，
即 （1 + k2）x2－（6－2k）x + 9 = 0．
其根的判别式 △ =（6－2k）2－4 · 9 ·（1 + k2）≥0，
解得 ． ② ......... 3分
设 、，把式①代入抛物线方程中，得
，即 x2－4kx－4 = 0． ③
显然△ =（4k）2－4×1×（－4）= 16（k2 + 1）＞0，xB，xC是方程③的两个实数根，
有 xB + xC = 4k，xB · xC =－4． ④ ......... 6分
于是切线CP、BP的方程为
， ⑤
， ⑥
由⑤－⑥得 ，
∴ ，
=．
于是CP与BP的交点为P（2k，－1），即点P的轨迹为一条水平线段，其轨迹方程为． .................. 12分
22． （Ⅰ）当n≥2时，由已知式子，得 an [ an－（2n－1）] = an－1（a n－1 + 2n－1），
整理，得 an 2－an－12 =（2n－1）（an + a n－1）．
因为 { an } 是正项数列，所以 an + a n－1 ≠0，
故只有 an = an－1 + 2n－1． ............2分
于是，当n≥2时， a2 = a1 + 2×1，
a3 = a2 + 2×1，
......
an = an－1 + 2n－1，
上面n－1个式子相加得 an－a1 = 2（2 + 3 + ... + n）－（n－1），
解得 an = n2．
又当 n = 1时，a1 = 1满足上式，故an = n2． ............5分
（Ⅱ）
，，
............7分
当n = 1时，；当n = 2时，；当n = 3时，； 猜想当n≥3时，． ............9分
以下用数学归纳法证明：
① 当n = 3时，左边右边，命题成立．
② 假设当n = k（k≥3）时，，即 ．
当n = k + 1时，（因为 ?
（k + 2）2 ＜3 k（k + 3）? 2k2－4k + 5＞0 ? 2（k－1）2 + 3＞0），命题成立．
故当n≥3时，．
综上所述，当n = 1时，，n = 2时，，当n≥3时，． ............14分