2004年高考试题湖南卷数学（文）试题
（1）函数y=lg(1-
)的定义域是
（A）{xx>0} (B){xx>1} (C){x0<x<1} (D){xx<0，或x>1}
（2）设直线ax+by+c=0的倾斜角为a，且sina+cosa=0，则a、b满足
（A）a+b=1 （B）a-b=1 （C）a+b=0 （D）a-b=0
（3）设f-1(x)是函数f(x)=
的反函数，则以下不等式中恒成立的是
（A）f-1(x)≤2x-1 （B）f-1(x) ≤2x+1 （C）f-1(x) ≥2x-1 （D）f-1(x)≥2x+1
（4）如果双曲线
-
=1上一点P到右焦点的距离等于
，那么点P到右准线的距离是
（A）
（B）13 （C）5 （D）
（5）把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的正棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的在小为
（A）90 （B）60 （C）45 （D）30
（6）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②。则完成①、②这两项调查宜彩用的抽样方法依次是
（A）分层抽样法，系统抽样法 （B）分层抽样法，简单随机抽样法
（C）系统抽样法，分层抽样法 （D）简单随机抽样法，分层抽样法
（7）若f(x)=-x2+2ax与g(x)=
在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是
（A）（-1,0）∪(0，1)
（B）(-1，0) ∪(0，1
（C）(0，1)
（D）(0，1
（8）已知向量a=(cosθ，sinθ)，向量b=(
，-1)，则2a-b的最大值、最小值分别是
（A）4
，0
（B）4，2 （C）16，0 （D）4，0
（9）若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f＇(x)的图象是
（10）
（11）农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成。2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其他收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元，根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于
（A）4200元～4400元 （B）4400元～4600元
（C）4600元～4800元 （D）4800元～5000元
（12）设集合U={(x,y)x∈R，y∈R}，A={(x,y)2x-y+m>0}，B={(x,y)x+y-n≤0}.那么点P（2，3）∈A∩(CUB)的充要条件是
（A）m>-1,n<5 （B）m<-1,n<5
（C）m>-1,n>5 （D）m<-1,n>5
（13）过点P（-1，2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是
.
（14）(x2+)9的展开式中的常数项为
.（用数字作答）
（15）F1、F2是椭圆C:
=1的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为
.
（16）若直线y=2a与函数y=a2-1(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是
.
三.解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知tan(
+a)=2，求
的值.
（18）（本小题满分12分）
如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60º，PA=AC=a，PB=PD=a，点E是PD的中点.
（Ⅰ）证明：PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；
（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值.
（19）（本小题满分12分）
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为
，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为
，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品概率为
.
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
（20）（本小题满分12分）
已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项和，a1，2a1，3a7成等差数列.
（Ⅰ）证明：12S3，S6，S12-S6成等比数列；
（Ⅱ）求和：Tn=a1+2a4+3a7+…+na3a-2
(21)（本小题满分12分）
如图，已知曲线C1：=x3(x≥0)与曲线C2:y=-2x3+3x(x≥0)交于点O、A.直线x=t(0<t<1)与曲线C1、C2分别相交于点B、D.
（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t)；
（Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t)的最大值.
（22）（本小题满分14分）
如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）(m>0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点.
（Ⅰ）设点P分有向线段
所成的比为λ，证明
⊥(
-λ
)；
（Ⅱ）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.
参考答案：
1.D 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D 9.A 10.C 11.B 12.A
13.2x-y+4=0 14.84 15.2 16.(0,
)
三、
17.解：由tan(+a)=
=2，
得tana=
.
于是=
=
=
=
.
18.解：（Ⅰ）证法一 因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60º，
所以AB=AD=AC=a.
在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2
知PA⊥AB.
同理，PA⊥AD.所以PA⊥平面ABCD.
因为
=
=
=
.
所以
、
、
共面.
又PB
平面EAC，所以PB∥平面EAC.
证法二 同证法一得PA⊥平面ABCD.
连结BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点.
连结OE，因为E是PD的中点，所以PB∥OE.
又PB平面EAC，OE
平面EAC，故PB∥平面EAC.
（Ⅱ）解 作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD
知EG⊥平面ABCD.
作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角.
又E是PD的中点，从而G是AD的中点，
EG=a，AG=a，GH=AGsin60º=
a，
所以tanθ=
=
.
19.解：（Ⅰ）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.
P(A·
)=， P(A)·(1-P(B))= ， ①
由题设条件有 P(B·
)=，即 P(B)·(1-P(C))= ， ②
P(A·C)=. P(A)·P(C)= .
③
由①、③得P(B)=1-
P(C)代入②得27[P(C)]2-51P(C)+22=0.
解得P(C)=或
（舍去）.
将P(C)=分别代入③、②可得P(A)=，P(B)=.
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，.
（Ⅱ）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，
则P(D)=1-P(
)=1-(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))=1-·
·=
.
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为.
20．
y=x3，
21．解：（Ⅰ）由 得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1）.
y=-2x3+3x，
f(t)=S△ABD+S△OBD=BD·1-0=BD=(-3t3+3t)，
即f(t)=-
(t3-t)，(0<t<1).
（Ⅱ）f＇(t)=-
t2+.
令f＇(t)=0
解得t=
.
当0<t<时，f＇(t)>0，从而f(t)在区间（0，）上是增函数；
当<t<1时，f＇(t)<0，从而f(t)在区间（，1）上是减函数.
所以当t=时，f(t)有最大值为f()=.
22. 解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为y=kx+m，代入抛物线方程x2=4y得
x2-4kx-4m=0. ①
设A、B两点的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2)，则x1、x2是方程的两根，所以x1x2=-4m.
由点P（0，m）分有向线段所成的比为λ，
得
=0，即λ=-
.
又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，-m），从而=（0，2m），
-λ=（x1,y1+m）-λ(x2,y2+m)=(x1-λx2,y1-λy2+(1-λ)m).
·(-λ)=2m[y1-λy2+(1-λ)m]
=2m[
+·
+(1+)m]
=2m(x1+x2)·
=2m(x1+x2)·
=0，
所以⊥(-λ).
x-2y+12=0，
（Ⅱ）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（-4，4）.
x2=4y，
由x2=4y得y=x2，y=x，
所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为
设圆C的方程是(x-a) 2+(y-b) 2=r2,
=-，
则
(a-6) 2+(b-9) 2=(a+4) 2+(b-4) 2.
解之得a=-，b=
，r2=(a+4) 2+(b-4) 2=
.
所以圆C的方程是(x+)2+(y-)2=，
即x2+y2+3x-23y+72=0.