06届南通市小海中学期中考试试卷 2005-11
数学试卷（普通班）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1页至2页，第Ⅱ卷3至6页。共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B） S球=4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P（AB）=P（A）P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
１设全集
，集合
，
，则
（ ）
A 
B 
C 
D 
２已知数列
的前
项和为
，且
则
等于 （ ）
A 
B 
C 
D 
３不等式
的解集是 （ ）
A 
B 
C 
D 
４给定两个向量
，
，若
与
平行，则x的值等于（ ）
A 1 B 2 C 
D 
５对于数列
，“对任意
，点
都在直线
上”是“为等差数列”的
（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
６已知抛物线
，则它的焦点坐标是
（ ）
A 
B 
C 
D
７若y = x + b与y = ax + 3互为反函数，则 a + b =
（ ）
A －2
B 2 C 4 D
－10
８若要得到函数y=sin(2x－
)的图像，可以把函数y=sin2x的图像
( )
A 向右平移
个单位
B 向左平移个单位
C 向左平移个单位
D 向右平移个单位
９函数
的周期与函数
的周期相等，则
等于 （ ）
A 2 B 1 C D 
１０函数f(q ) = 的最大值和最小值分别是
（ ）
A 最大值 和最小值0
B 最大值不存在和最小值
C 最大值 －和最小值0 D 最大值不存在和最小值－
１１函数
在x=
处有极值,则
的值为
( )
A 3 B －3 C 0 D 1
１２已知数列
前n项和为
，
则
的值是
（ ）
A 13 B -76 C 46 D 76
选择题答案填在下面表格内：
一、选择题答题表
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
06届南通市小海中学期中考试试卷 2005-11
数学试卷
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）
13已知 
＝1，
＝
，若//且与同向，则·____________．
14已知
为实数，
展开式中
的系数为
，则=____________．
15 在
中，
，
，则
_______．
16在数列中，
，
，则数列{an}的通项公式
三、解答题：（本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17 （本小题满分12分）
已知等比数列
中，
，
．
（I） 求通项
；
（II） 若
，
数列的前项和为
，且
，求的值．
18 （本小题满分12分）
从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加某种性能测试. 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为
，每个乙品牌元件能通过测试的概率均为
.试求：
（I）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；
（II）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率.
19 （本小题满分12分）
已知向量
=（sinB，1－cosB)，且与向量
=（2，0）的夹角为
，其中A, B, C是
ABC的内角．
（I）求角Ｂ的大小； （II）求sinA+sinC的取值范围．
20 （本小题满分12分）
已知函数
，若函数
图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数
的图象.
（1）写出函数
的解析式；
（2）当
时，总有
成立，求实数
的取值范围.
21 （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方体，PD=CD=2，E、F分别是AB、PB的中点.
（1）求证：EF⊥CD；
（2）求DB与平面DEF所成角的大小；
（3）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论.
22 （本小题满分14分）
设
，函数
的定义域为
，且
，对定义域内任意的
，满足
，
求:(1) 
及
的值； (2)函数
的单调递增区间；
(3) 
时，
，求
,并猜测
时，的表达式.
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数学试卷参考答案
一、选择题（每小题5分，共计60分）
ＡＤＤＤＡ ＤＣＡＣＡ ＢＢ
二、填空题（每小题4分，共计16分）
13． 14． 15． -5 16． 
三、解答题（本题共6小题，共计74分）
17 解：(Ⅰ) 设等比数列的公比为
，则
………………………………………………………………2分
解之得
．………………………………………………………………4分
∴
．………………………………………………6分
(Ⅱ) 
．……………………………………………8分
∵
，
∴是首项为
，公差为2的等差数列．
∴
．…………………………………………………10分
∴
，∴
或
（舍去）．…………………………………12分
18．解：（Ⅰ）随机选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率为
1－
；………………6分
（Ⅱ）至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率为
=
；………………12分
答：略.
19．解：（1）∵
=（sinB，1-cosB)
, 且与向量
（2，0）所成角为
∴
……………………………………………………………………3’
∴tan
……………………6’
第一问：另解：∵
, 且与向量
所成角为
∴ 
，……………………………………………………………3’
∴
，又
，∴ 
，即
。………………6’
（2）：由（1）可得∴
………………………………………………8’
∵
∴
……………………………………………………………………10’
∴
当且仅当
…………………………………………12’
20．解：（1）设
，则
。
∵
在函数
的图象上.
∴
，即
，
这就是说，
…………………………………4分
（2）当
，
…………………6分
由题意知，只要
.
∵
在
上是增函数.
∴ 
，故
即为所求.
…………………12分
21、（满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方体，PD=CD，E、F分别是AB、PB的中点.
（1）求证：EF⊥CD；
（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
（3）求DB与平面DEF所成角的大小
解：以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），
则D（0，0，0）、A（2，0，0）、
B（2，2，0）、C（0，2，0）、
E（2，1，0）、F（1，1，1）、
P（0，0，2）…………2分
（1）
∴EF⊥DC …………4分
（2）设平面DEF的法向量为
由
即
∴
…………………………………………6分
∴ DB与平面DEF所成角大小
为
…………………………8分
（3）设G（x，0，z），则G∈平面PAD 
∴G点坐标为（1，0，0），
即G点为AD的中点 …………………………………12分
22.解:(1)
，
，
，
，
，
.
第一问：另解：
，
又
(2)
,
的增区间为
.
（3）
，
，
所以
，
因此
是首项为
，公比为
的等比数列，故
，
猜测
.