2005－2006学年度上学期
高中学生学科素质训练
高一数学同步测试（5）—反函数与函数的单调性
说明：本试卷分第I卷和第II卷两部分，第I卷60分，第II卷90分，共150分；答题时间150分钟．
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数
的反函数是 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
有反函数，且
的图象经过点
，则下列函数中可能
是的反函数的一个函数是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设函数
为奇函数，
则
（ ）A．0 B．1 C．
D．5
4．函数
在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．若f(x)=-x2+2ax与
在区间[1,2]上都是减函数，则a的值范围是 （ ）
A．
B．
C．（0，1） D．
6．函数
的反函数为 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
的反函数就是
本身，则
的值为 （ ）
A．
B．1 C．3 D．
8．设偶函数f(x)的定义域为R，当x
时f(x)是增函数，则f(-2),f(
),f(-3)的大小关系
是 （ ）
A.
f()>f(-3)>f(-2) B.
f()>f(-2)>f(-3)
C.
f()<f(-3)<f(-2) D.
f()<f(-2)<f(-3)
9． 函数存在反函数，则方程
（ ）
A．有且只有一个实数根 B．至少有一个实数根
C．至多有一个实数根 D．没有实数根
10．已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是 （ ）
A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b) B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b) D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
11．点(2，1)既在函数f(x)=
的图象上，又在它的反函数的图象上，则适合条件的数组(a，b)有 （ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
12．设
是函数f(x)=
的反函数，则下列不等式中恒成立的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上．
13．已知函数是奇函数，当
时, 
，设
的反函数是y=g(x)，则g(-8)=__ .
14．函数f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__ ．
15．已知f(x) = 4x－2x＋1 ，求f－1(0)的值___________________.
16．若f(x)=-x2+2ax与在区间[1,2]上都是减函数，则a的值范围是________.
三、解答题:本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．用定义证明：函数
在
上是增函数. (12分)
18．设f(x)是R上的奇函数 ，且当x
[0,+ ∞
时，f(x)=x(1+
),求f(x)在(- 
,0)上的表达式和在R上的表达式．(12分)
19. 讨论函数f(x)=
,在-1<x<1上的单调性. (12分)
20．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数且f(x)+g(x)=
，求f(x),g(x). (12分)
21．定义在（-1，1）上的奇函数f(x)是减函数且f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值围. (12分)
22．已知函数f(x)=
，x∈［1，＋∞(14分)
（1）当a=
时，求函数f(x)的最小值；
（2）若对任意x∈1，＋∞，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
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2005－2006学年度上学期
高中学生学科素质训练
高一数学同步测试（5）—反函数与函数的单调性答案
一、选择题
1．A 2．B 3．C 4．D 5．D 6．B 7．D 8．A 9．C 10．B 11.A 12.C
二、填空题
13. 14. 
15. 1. 16. .
三、解答题
17．任给
且
,
则
=
=
.
且，
.
即有
,
,
， 即在上是增函数.
18．设x(-,0),则-x (0,+ ),∴f(-x)=-x(1-)。
f(x)是R上的奇函数，
∴
f(x)=x(1-)(x(- ,0)),f(x)在R上的表达式是f(x)=x(1+
)．
19．设-1<x1<x2<1,则f(x2)-f(x1)=
∴当a>0时，f(x)在（-1，1）上为减函数；当a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数．
20．f(x)+g(x)=, ∴f(-x)+g(-x)= 
即f(x)-g(x)=- ,将
联立解得f(x)=
.
21．f(x)在(-1,1)上为奇函数且为减函数， 
，则a(0,1).
22．(1)当a=时，f(x)=x＋
＋2，x∈[1，＋∞). 设x2＞x1≥1，则f(x2)－f(x1)=x2＋
=(x2－x1)＋
=(x2－x1)(1－
).
∵x2＞x1≥1，∴x2－x1＞0，1－＞0，则f(x2)＞f(x1)
可知f(x)在［1，＋∞上是增函数．
∴f(x)在区间［1，＋∞上的最小值为f(1)=
．
(2)在区间［1，＋∞上，
f(x)=＞0恒成立
x2＋2x＋a＞0恒成立
设y=x2＋2x＋a，x∈1，＋∞)，由y=(x＋1)2＋a－1可知其在[1，＋∞)上是增函数，
当x=1时，ymin=3＋a，于是当且仅当ymin=3＋a＞0时函数f(x)＞0恒成立．故a＞－3．