2005高一（上）深圳实验学校数学期末复习（二）
一、选择题
1．给出下列四个命题：
（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行；
（3）垂直于同一平面的两条直线平行；
（4）垂直于同一平面的两平面平行。
其中正确命题的个数为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2．已知平面
和直线
，则在平面内至少有一条直线与直线
（A）平行 （B）垂直 （C）相交 （D）以上都有可能
3．已知直线l⊥平面α，直线m
平面β，有下面四个命题：
①
；②
；③
；④
，其中正确的两个命题的序号是
（A）①与② （B）③与④ （C）②与④ （D）①与③
4．对于相异直线a，b和不重合平面
∥b的一个充分条件是
（A）a∥
, b∥ （B）a∥，b∥
，∥
（C）a ⊥，b ⊥，∥ （D）⊥，a ⊥，b ∥
5．有一块直角三角板ABC，∠A=30°，∠B=90°，BC边在桌面上，当三角板所在平面与桌面成45°角时，AB边与桌面所成的角等于
（A）
（B）
（C）
（D）
6．从P点引三条射线PA，PB，PC，每两条射线夹角为60°，则平面PAB和平面PBC所成二面角正弦值为
（A）
（B）
（C）
（D）
7．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为
（A） （B）
（C）
（D）
8．等边△ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面BPQC，若折叠后AB的长为d，则d的最小值是
（A）
（B）
（C）
（D）
9．如图，在正三棱锥P—ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是
（A） （B）
（C）
（D）
10．正四棱锥P—ABCD的侧棱长和底面边长都等于
，
有两个正四面体的棱长也都等于.当这两个正四面体各
有一个面与正四棱锥的侧面PAD，侧面PBC完全重合时，得到一个新的多面体，该多面体是
（A）五面体 （B）七面体 （C）九面体 （D）十一面体
11．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论
①AB⊥EF ②AB与CM成60° ③EF与MN是异面直线 ④MN//CD
其中正确的是
（A）①② （B）③④ （C）②③ （D）①③
 |
12．正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则球的表面积为
（A）
（B）18
（C）36 （D）
二、填空题
13．三棱锥三条侧棱两两互相垂直，三个侧面积分别为1.5cm2、2 cm2、及6 cm2，则它的体积为 ．
14．空间四边形ABCD中，AB=CD，且AB与CD成60°角，E、F分别为AC，BD的中点，则EF与AB所成角的度数为 ．
15．在150°的二面角内，放入一半径为4的球，分别与两个半平面相切于A、B两点，则A、B间的球面距离为 ．
16．在正三棱锥P—ABC中，D为PA的中点，O为△ABC的中心，给出下列四个结论：①OD∥平面PBC； ②OD⊥PA；③OD⊥BC； ④PA=2OD.
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
17．如图，
MN，A
，C
MN，且∠ACM＝
，
为
，AC＝1，求A点到的距离。
18．试构造出一个三棱锥S—ABC，使其四个面中成直角三角形的个数最多，作出图形，指出所有的直角，并证明你的结论。
19．已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝3，棱BB1＝4，连结B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.
（1）求证A1C⊥平面EBD；
（2）求二面角B1—BE—A1的大小.
20．如图棱长是1的正方体，P、Q分别是棱AB、CC1上的点，且
.
（1）求证：A1P⊥平面AQD；
（2）求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值.
21．如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别为棱PD、PC的中点.
（1）求证：PD⊥平面AMN；
（2）求三棱锥P—AMN的体积；
（3）求二面角P—AN—M的大小.
22．如图，四棱锥P—ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直，
且ABCD为菱形.
（1）求证：PA⊥CD；
（2）求异面直线PB和AD所成角的余弦值；
（3）求二面角P—AD—C的正切值.
参考答案
一、选择题
1 B 2B 3 D 4 C 5C 6A 7C 8B 9C 10A 11D 12C
二、填空题
13．2；14．60°或30°；15．
；16．③，④
17．解：作AH⊥于H，则AH是A点到的距离，
作HO⊥MN于O，连结AO，则∠AOH＝60°，
在直角三角形AOC中，AO＝
，在直角三角形AOH中，AH＝
．
18．解：如图，SA⊥平面ABC，∠ABC＝
，
则∠SAC＝∠SAB＝，
又AB⊥BC，所以BC⊥SB，
所以∠SBC＝，
即四个面SAB，SAC，SBC，ABC为直角三角形。
19．解：（1）连结AC，则AC⊥BD，又AC是A1C在平面ABCD内的射影
∴A1C⊥BD；又∵A1B1⊥面B1C1CB，且A1C在平面B1C1CB内的射影B1C⊥BE，
∴A1C⊥BE，
∵BD∩BE=B，∴A1C⊥面EBD.
（2）连结A1F，∵BE⊥B1C，BE⊥A1B1，∴BE⊥平面A1B1C，
∴∠B1FA1就是二面角B1—BE—A1的平面角.
，
所以二面角B1—BE—A1的大小 等于
．
20（1）平面AQD与侧棱B1B的交点是R，
显然
在正方形ABB1A1中
由
所以
,
又AA1⊥平面ABCD，AP⊥AD，得A1P⊥AD，A1P⊥平面AQD
（2）设A1P与AR交于点S，连接SQ，则
即为PQ与平面AQD所成角.
在Rt△PQS中，
，
，
即直线PQ与平面AQD所成角的正弦值是
．
21（1）证明：∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD ，
∵PA⊥底面ABCD ，∴AD是PD在平面ABCD内的射影，
∴CD⊥PD ，在△PCD中，M、N分别是PD、PC的中点，
则MN//CD，∴MN⊥PD，在△PAD中，PA=AD=2，M为PD的中点.
∴AM⊥PD 则PD⊥平面AMN ．
（2）解：∵CD⊥AD，CD⊥PD ∴CD⊥平面PAD．
∵MN//CD，∴MN⊥平面PAD，又∵AM平面PAD ∴MN⊥AM，∠AMN=90°.
在Rt△PAD中，PA=AD=2，M为PD的中点，∴AM=PM=. 又MN=
CD=1，
．∵PM⊥平面AMN，
∴PM为三棱锥P—AMN的高，
．
（3）解：作MH⊥AN于H，连结PH，
∵PM⊥平面AMN，∴PH⊥AN，
∴∠PHM为二面角P—AN—M的平面角，
∵PM⊥平面AMN，∴PM⊥MH．
在Rt△AMN中，
，
在Rt△PMH中，
，
所以
， 即二面角P—AN—M的大小为600．
22．解（1）证明，取CD中点O，连OA、OP， ∵面PCD⊥面ABCD， PO⊥CD，
∴PO⊥面ABCD， 即AO为PA在面ABCD上的射影， 又在菱形ABCD中，∠ADC=60°，O为CD中点∴AO⊥CD， ∴PA⊥CD．
（2）显然∠PBC是PB和AD所成的角，其余弦值为
．
（3）由O引OG⊥AD于G，连PG，则PG⊥AD， ∠PGO为二面角P—AD—C为平面角，
，即二面角P—AD—C的正切值为2．