《正弦定理、余弦定理、解斜三角形》第二课时
一、复习要求:
1、 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法;
2、 会利用数学建模思想,解决生产实际中的问题;
3、 灵活用正、余弦定理及三角形面积公式解决有关问题。
二、典型例题分析;
例1:甲船在A处观测到乙船在它的北偏东600的方向,两船相距S海里,乙船正向北行驶,若甲船的速度是乙船的倍,问甲船应取什么方向前进才能在最短的时间内追上乙船?此时乙船已行驶了多少海里?
解析:如图,设乙船的速度为V,则甲船的速度为,
又设甲船以北偏东角的方向行驶t时间后追上乙船,则
,,, ,于是在中,应用余弦定理,
可得:
故 =600 - 300 =300 ,所以甲船应取北偏东300的方向行驶才能在最短的时间内追上乙船,此时乙船行驶了S海里。
练习1。灯塔A在灯塔B东偏南1500的方向,这两个灯塔相距20海里,从轮船K看见灯塔B在它的正南方,求轮船离这两个灯塔的距离。
例2;在湖面上高h m处,测得云的仰角为a,而湖中云之影(即云在湖中的像)的俯角为
试证:云高为:
解:画出图,设湖面上高h m处为A,测得云C的仰角为a,而云C在湖中的像D的俯角为,CD与湖面交于M,过A的水平线交CD于E,设云高CM=x,则CE=x-h,DE=x+h,AE=(x-h)cota, 又AE=(x+h)cot,
所以,(x-h)cota=(x+h)cot,
解得
练习2:海岛0上有一座海拔1000米的山,山顶设有一个观测A,上午11时测得一轮船在岛600东的C处,俯角为300,11时10分又测得船在岛北600西的B处,俯角为600,(1)该船的速度为每小时多少千米?(2)若船以匀速继续航行,则它何时到达岛的正西方向?此时所在的点D离开海岛多少千米?
例3:在气象台A正西方向300Km处有一台风中心,它以每小时40Km的速度向东北方向移动,距离台风中心250Km以内的地方都受其影响,问从现在起,大约多长时间后,气象台A所在地将遭受台风影响,持续多长时间?
解:如图,设台风从A的正西方向300Km处沿BE方向移动,, 以A为圆心,250Km为半径画圆,交BE于C、D两点,设BC=x1,BD=x2 ,由余弦定理可知,x1, x2都满足方程
整理得 解之得
答:大约1.9小时后,A将遭受到台风影响,持续时间约为6.6小时.
练习3:我炮兵阵地位于地面点A处,两观测所分别位于地面点C处和点D处,
已知CD=6000m 目标出现于地面点B处时,测得
,如图,求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号)