上海市高中理科班、数学班招生选拔测试数学试卷
一、填空题(本大题满分80分,每小题8分)本题共有10道小题,要求直接将答案写在横线上.
1．
= .
2． 已知关于ｘ的方程2ｘ2-4ｘ+ａ-1=0至少有一个正实数根,则ａ的取值范围是. .
3. 在梯形ＡＢＣＤ中,ＡＢ∥ＤＣ,ＡＢ=ＡＣ=ＡＤ=
,ＢＣ=
,则ＢＤ= .
4. 已知ａ2-ａ-1=0,且
则ｘ= .
5. 在凸四边形ＡＢＣＤ中,ＡＤ=,ＡＢ+ＣＤ=2, ∠ＢＡＤ=60°,∠ＡＤＣ=120°.Ｍ是ＢＣ的中点, 则ＤＭ= .
6. 在平面直角坐标系中,点Ｐ的坐标是(+ｍ, +ｎ),这里ｍ,ｎ都是有理数, 过点Ｐ作ｙ轴的垂线, 垂足为Ｈ, 已知△ＯＰＨ的面积为
, 其中Ｏ为坐标原点,则满足条件的有序数对(ｍ,ｎ)有对. .
7. 今有浓度分别为3%、8%、11%的甲、乙、丙三种盐水50千克、70千克、60千克,现要用甲、乙、丙这三种盐水配制浓度为7%的盐水100千克,则丙种盐水最多可用. 千克.
8. 已知实数ｘ,ｙ满足方程(ｘ2+2ｘ+3)(3y2+2ｙ+1)=,
则ｘ+ｙ= .
9. 已知ＡＢ是半径为1的圆Ｏ的直径,ＣＤ是过ＯＢ中点的弦,且ＣＤ⊥ＡＢ,以ＣＤ为直径的圆交ＡＢ于Ｅ,ＤＥ的延长线交圆Ｏ于Ｆ,连结ＣＦ,则ＣＦ=. .
10. 已知二次函数ｙ=ａｘ2(ａ≥1)的图象上点Ａ,Ｂ的横坐标分别为-1,2,Ｏ是坐标原点,如果△ＯＡＢ是直角三角形,则△ＯＡＢ的周长为 .
二、解答题(本大题满分70分,共4小题)
11. (本题满分14分)已知实数ａ,ｂ,ｃ满足不等式ａ≥ｂ+ｃ,ｂ≥ｃ+ａ,ｃ≥ａ+ｂ,求证:ａ+ｂ+ｃ=0.
12. (本题满分16分)在凸四边形ＡＢＣＤ中,Ｍ是ＡＢ的中点,Ｏ是对角线ＡＣ与ＢＤ的交点,延长ＭＯ与ＣＤ交于Ｑ点,求证: 
.
13. (本题满分20分)求满足方程ｘ2+ｙ2=2(ｘ+ｙ)+ｘｙ的所有正整数ｘ,ｙ.
14 (本题满分20分)如图所示,在梯形ＡＢＣＤ中,ＡＤ∥ＢＣ,ＢＣ=ＢＤ=1,ＡＢ=ＡＣ,ＣＤ<1,且∠ＢＡＣ+∠ＢＤＣ=180°,求ＣＤ的长.